幂数列求和公式的推导及证明

幂数列求和公式的推导及证明

我们把诸如“k 1，k 2，……，k n （k 为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如1，2，……，n ；21，22，……，2n ；31，32，……，3n ；41，42，……，4n 等。

下面几个公式经数学归纳法证明是正确的：

++21 (2)

n n 21)n(n n 2+=+=+， ++2221 (6)

n 3n 2n 61)1)(2n n(n n 232++=++=+， ++3321……4n 2n n ]21)n(n [n 23423

++=+=+， ++4421……30n 10n 15n 6n n 3454

-++=+， ++5521……12n 5n 6n 2n n 24565

-++=+， ++6621……42n 7n 21n 21n 6n n 35676

+-++=+，++7721 (24)

2n 7n 14n 12n 3n n 246787+-++=+， ++8821……903n 20n 42n 60n 45n 10n n 357898

-+-++=+， ++9921 (20)

3n 10n 14n 15n 10n 2n n 24689109-+-++=+， ++101021……665n 33n 66n 6n 655n 33n 6n n 3579101110

+-+-++=+。 我们把这几个公式叫做幂数列前n 项和公式，其中前三

个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？

下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。

我们先看一个展开式:

6n,11n 6n n 3)2)(n 1)(n n(n 234+++=+++ 由这个展开式可得6n 11n 6n 3)2)(n 1)(n n(n n 234---+++=。

取1n =，则6116432114---⨯⨯⨯=，取2n =，则

262112654322234⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=，……

这些等式两端分别相加得

++4421……+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+5432432[1n 4……

3)]2)(n 1)(n n(n ++++++-3321(6……++-+223211(1)n ……

++-+26(1)n 2……n)+

为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算

式子+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯654354324321……103102101100⨯⨯⨯+的值。

按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕1小时之内很难完成任务。若各项都乘5，得+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯565435543254321……5103102101100⨯⨯⨯⨯+，这样前两项相加得65432⨯⨯⨯⨯,再加第三项得76543⨯⨯⨯⨯，依

此类推，加到最后一项，得数应是104103102101100⨯⨯⨯⨯，故

123423453456⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+ (103)

102101100⨯⨯⨯+）（1041031021011005

1⨯⨯⨯⨯=，由此猜想+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯654354324321……

3)（n 2)(n 1)(n n +⨯+⨯+⨯+4)3)(n 2)(n 1)(n n(n 5

1++++=， 所以

++4421……+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+54324321[4n ……

3)]2)(n 1)(n n(n ++++++-3321(6……++-+22321(11)n ……

++-+26(1)n 2……)n +， 其中中括号里边的值为4)3)(n 2)(n 1)(n n(n 5

1++++,再把1，2，3次幂数列求和公式分别代入上式并化简，得

++4421……30n 10n 15n 6n n 3454

-++=+。 这个公式的正确性可用数学归纳法来证明，证明过程如 下:

取1n =，则130

110156=-++，公式显然成立；假设k n =公式也成立，即++4421……30k 10k 15k 6k k 3454-++=+，则1k n +=时

有++4421……=++4

1)(k =++-++43451)(k 30k 10k 15k 6k

3030

119k 15k 120k 45k 6k 2345+++++，而

=+-+++++30

1)(k 1)10(k 1)15(k 1)6(k 3453030

119k 15k 120k 45k 6k 2345+++++，所以

43451)(k 30k 10k 15k 6k ++-++30

1)(k 1)10(k 1)15(k 1)6(k 345+-+++++=，这就证明了当1k n +=时公式也成立。通过以上证明可知，

n 取任何自然数公式都成立。

用类似的方法可以分别推导出5至10次幂数列求和公式，并可仿照上面的方法证明.至于11次及11次以上的幂数列求和公式,相信你在读完本文后也一定能推导和证明的。