大数定律和中心极限定理 应用题

大数定律和中心极限定理 应用题

1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差

为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？

解 设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX

设 ∑==500

1i i X X ，则X 是这些零件的总重量

250050005.0=⨯=EX ，5050001.02=⨯=DX

由中心极限定理 )1,0(~50

2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50

25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787

(2) 设 汽车载重量为a 吨

)(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50

2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150

2500≥-a 计算得 59.2511≥a

因此汽车载重量不能低于2512公斤

2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随

机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？

解 设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X

由中心极限定理 )16,20(~N X a

)30(≥X P =)16

20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062

3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种

蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。

解 设第i 只蛋糕的价格为i X ，300,...,2,1=i ，则i X 有分布律：

由此得

29.1)(=i X E

713.1)(2=i X E

故 0489.0)()(22=-=i i i EX EX X D

（1） 设X 是这一天的总收入，则∑==300

1i i X X

29.1300300

1⨯==∑=i i EX EX

0489.0300300

1⨯==∑=i i DX DX

由中心极限定理 )0489.0300,29.1300(~⨯⨯N X a

)400(≥X P =)489.0030029.1300400489.0030029.1300(⨯⨯-≥⨯⨯-X P )39.3(10Φ-≈=9997.01-=0.0003

（2） 以Y 记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕只数，于是)2.0,300(~b Y )1,0(~8

.02.03002.0300N Y a ⨯⨯⨯- )60(>Y P =5.0)0(14860608

.02.03002.03000=Φ-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛->⨯⨯⨯-Y P 4.设某种商品第n 天的价格为Yn ，令Xn=Yn+1-Yn ，Xn 独立同分布，且Xn 期望是0，方差是2，若该商品第一天价格是100，则第19天价格在96到104之间的概率是多少？ 解：

121X Y Y =-，

232X Y Y =-，

343X Y Y =-，

……

1n n n X Y Y +=-

所以

181********n n X Y Y Y ==-=-∑ 1810n n E X ==∑， 1818

11

36n n n n D X DX ====∑∑

由中心极限定理，

()()1919961041004P Y P Y <<=-< =1818114n n n n P X E X ==⎛⎫-< ⎪

⎝⎭∑∑181811466n n n n X E X P ==⎛⎫- ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪⎝⎭

∑∑ 2213⎛⎫≈Φ- ⎪⎝⎭

=0.4972 5.（10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率和概率之间的差的绝对值不小于0.05的概率不超过0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，和（2）中心极限定理给出估计。

解

设至少要抛n 次；=X “n 次抛硬币中出现正面的次数”，

则)5.0,(~n B X ， n EX 5.0=，n DX 25.0=，正面出现的概率是5.0=p ； =n

X “n 次抛硬币中出现正面的频率”， 于是 5.0=n X E ，n

n X D 25.0= （1）由切比雪夫不等式

n n X

D

n X P 10005.005.05.02=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≥- 由

01.0100≤n

，得 10000≥n 即至少要抛10000次。 （2）由中心极限定理, )25.0,5.0(~n n N X a ,

)25.0,5.0(~n N n X a , )25.0,0(~5.0n N n X a -

所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥-n n X P /5.005.01205.05.00（ =()

01.0)1.0120≤Φ-n （

得 995.0)1.00≤Φn （，查表 995.0)58.20=Φ（， 由于)0x （Φ单调增， 故58.21.0≥n ，解得 64.665≥n

因此至少要抛666次

6.根据经验，某宾馆电话预约的客户的实际入住率为80%，服务台共接受了2500个电话预约，请分别用（1）切比雪夫不等式，和（2）中心极限定理估计实际入住的人数在1950～2050之间的概率。

解 设随机变量=X “2500个电话预约的客户实际入住的人数”，

则 )8.0,2500(~B X ，2000=EX ，400=DX

（1）由切比雪夫不等式，得

())502000(20501950<-=<

≥DX （2）由中心极限定理，得)400,2000(~N X a ，

())20

200020502020002020001950(20501950-<-<-=<