2019年上海市高三数学一模分类汇编：函数

1（2019静安一模）. 函数22log (4)y x =-的定义域是
1（2019普陀一模）. 函数2
()1f x x x
=-的定义域为 3（2019奉贤一模）. 设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数
1()f x -=
3（2019普陀一模）. 设11{,,1,2,3}32
α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= 3（2019松江一模）. 已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线
y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =
4（2019闵行一模）. 方程
11
0322
x =-的解为
4（2019宝山一模）. 方程ln(931)0x x +-=的根为
4（2019虹口一模）. 设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a =
5（2019黄浦一模）. 若函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，且(2)1f =，则()f x =
5（2019静安一模）. 若α、β是一元二次方程2230x x ++=的两个根，则
1
1
α
β
+
=
5（2019浦东一模）. 若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点
6（2019长嘉一模）. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2
)，则()f x 的定义域为 6（2019金山一模）. 已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=
6（2019虹口一模）. 函数8
()f x x x
=+
，[2,8)x ∈的值域为 8（2019闵行一模）. 已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是
8（2019杨浦一模）. 若函数1()ln 1x
f x x
+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为
8（2019宝山一模）. 函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x = 8（2019长嘉一模）. 已知函数
()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如
图所示，则不等式()
0()
f x
g x ≥的解集是
9（2019崇明一模）. 若函数2
()log 1
x a
f x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a = 9（2019奉贤一模）. 函数()
g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数
2
()()2
x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a
的取值范围为
9（2019徐汇一模）. 已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数()()g x f x =（[1,2]x ∈），则()g x 的反函数为 9（2019松江一模）. 若|lg(1)|0
()sin 0x x f x x
x ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对
9（2019杨浦一模）. 在行列式2744
346
51
x
x
--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是
10（2019浦东一模）. 已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为
10（2019奉贤一模）. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支. 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥
天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后， 天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为 “丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙 亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年， 那么到改革开放100年时，即2078年为 年 11（2019徐汇一模）. 已知λ∈R ，函数2
4()43x x f x x x x λ
λ-≥⎧
=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是
11（2019静安一模）. 集合12
{|log ,12}A y y x x x ==-≤≤，2
{|510}B x x tx =-+≤，若
A B A =I ，则实数t 的取值范围是
11（2019金山一模）. 设函数2
1
()lg(1||)1f x x x =+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是
11（2019青浦一模）.
已知函数()2f x +=
，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区
间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 11（2019崇明一模）. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f π=，(2)2f π=，则不等式组12
1()2x f x ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
的解集为
12（2019浦东一模）. 已知函数2||2416
()1()22
x a x x x f x x -⎧
≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2,)x ∈+∞，都存
在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为
12（2019静安一模）. 若定义在实数集R 上的奇函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，
且当01x ≤≤时，1
3()f x x =，则方程1
()3
f x =
在区间(4,10)-内的所有实根之和为 12（2019松江一模）. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和
(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当
[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为
12（2019普陀一模）. 记a 为常数，记函数1()log 2a x
f x a x
=
+-（0a >且1a ≠，0x a <<）
的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121
a
f f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++
12（2019长嘉一模）. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程
123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中
最多有 个元素
13（2019黄浦一模）. 设函数()y f x =，“该函数的图像过点(1,1)”是“该函数为幂函数”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
13（2019杨浦一模）. 下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 15（2019宝山一模）. 关于函数2
3
()2
f x x =
-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形
C. 函数有最大值
D. 当0x >时，()y f x =是减函数 15（2019闵行一模）.
已知函数y =x a ≥，0a >，0b >）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（ ）
A. a b =
B. a b <
C. a b >
D. a 与b 的大小关系不确定
15（2019虹口一模）. 已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩，若函数
()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. (0,)+∞
B. (,0)(0,1)-∞U
C. 1(,)(1,)2
-∞-+∞U D. (,0)(0,2)-∞U 15（2019徐汇一模）. 对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域
{(,)|()()0}x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：①sin y x =；
②y =
）
A. ①、②均不是“蝶型函数”
B. ①、②均是“蝶型函数”
C. ①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”
D. ①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数”
15（2019杨浦一模）. 已知sin ()log f x x θ=，(0,)2
π
θ∈，设sin cos (
)2
a f θθ
+=
，b f =，sin 2(
)sin cos c f θ
θθ
=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A. a c b ≤≤
B. b c a ≤≤
C. c b a ≤≤
D. a b c ≤≤
16（2019青浦一模）. 记号[]x 表示不超过实数x
的最大整数，若2
()[]30
x f x =+，则
(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）
A. 899
B. 900
C. 901
D. 902
16（2019金山一模）. 已知函数52
|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪
=⎨--+≥⎪⎩
，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个数不可能为（ ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个 16（2019普陀一模）. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且
2sin 201()2log 14
x x f x x x π≤≤⎧=⎨
<<⎩，记()()g x f x a =-，若1
02a <<，则函数()g x 在区间[4,5]-上零点的个数是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
16（2019杨浦一模）. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） A. [0,4) B. [1,4)- C. [3,5]- D. [0,7)
16（2019虹口一模）. 已知点E 是抛物线2:2C y px =(0)p >的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线C 上，在△EFP 中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅，则μ的最大值为（ ）
A.
B. C.
D. 16（2019长嘉一模）. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数；② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数.下列判断正确的是（ ）
A. ①和②都是真命题
B. ①是真命题，②是假命题
C. ①和②都是假命题
D. ①是假命题，②是真命题
16（2019崇明一模）. 函数()f x x =，2()2g x x x =-+，若存在129
,,,[0,]2
n x x x ⋅⋅⋅∈，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，则n 的最大值 是（ ）
A. 11
B. 13
C. 14
D. 18 18（2019松江一模）. 已知函数2
()21
x
f x a =-
+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2
x m
f x ≥成立，求m 的最大值.
18（2019徐汇一模）. 已知函数2
()2
ax f x x -=+，其中a ∈R . （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；
（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.
18（2019虹口一模）. 已知函数16
()1x f x a a
+=-
+(0a >且1)a ≠是定义在R 上的奇函数.
（1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；
（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.
18（2019青浦一模）. 如图，某广场有一块边长为1()hm 的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图像的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.
（1）用t 表示PQ 的长度，并研究△CPQ 的周长l 是否为定值？
（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少2hm ？
19（2019黄浦一模）. 已知函数()21
x
a
f x b =
+-，其中a 、b ∈R . （1）当6a =，0b =时，求满足(||)2x f x =的x 的值； （2）若()f x 为奇函数且非偶函数，求a 与b 的关系式.
19（2019奉贤一模）. 入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()|log (1)|21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈.
（1）若1
2
a =
，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （2）规定每天中()f x 的最大值最为当天空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超
过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？
19（2019青浦一模）. 对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数
()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是
函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数. （1）若函数()3g x x =是函数()3m
f x x x
=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的 取值范围；
（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数.
19（2019金山一模）. 设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ； （2）在（1）的条件下，设1
1()()()2
H x g x f x -=-
，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.
19（2019浦东一模）. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下： ① 3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++； ② 3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0 （即累积经验值．．．．．
不变）； ③ 超过5小时为不健康时间，累积经验．．．．值．开始损失，损失的经验值与不健康时间成 正比例关系，比例系数为50.
（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．
； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ； 若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24， 求实数a 的取值范围.
19（2019杨浦一模）. 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获
得的利润是3
(51)x x
+-元，其中110x ≤≤.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.
19（2019宝山一模）. 某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y （单位：度）与时间t （单位：小时，[0,20]t ∈）近似地满足函数关系|13|2
b y t t =-++，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.
（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度 （精确到0.1C ︒）；
（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒，求大棚一天中保温时段通风 量的最小值.
19（2019崇明一模）. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当
[25,1600]x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5
x
f x ≤
恒成立.） （1）判断函数()1030
x
f x =
+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（2）已知函数()5g x =（1a ≥）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值 范围.
20（2019闵行一模）. 对于函数()y f x =，若函数()(1)()F x f x f x =+-是增函数，则称
函数()y f x =具有性质A .
（1）若2()2x f x x =+，求()F x 的解析式，并判断()f x 是否具有性质A ； （2）判断命题“减函数不具有性质A ”是否真命题，并说明理由；
（3）若函数23()f x kx x =+(0)x ≥具有性质A ，求实数k 的取值范围，并讨论此时函数
()(sin )sin g x f x x =-在区间[0,]π上零点的个数.
21（2019普陀一模）. 已知函数()2x f x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--. （1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；
（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得2
00(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；
（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1
|()|2
h x ≤，求a 、b 的值.。