(完整word版)高等代数知识结构.doc

高等代数知识结构一、高等代数知识结构图行列式的计算

工具

线性方程组

中心课题

线性典范型

线性代数

高等代数

研究范围

线性空间

行列式

行列式的性质

矩阵的秩

矩阵矩阵的运算

与逆

矩阵的初等变换

线性方程组的解法及判别定理线性方程组

线性方程组解的结构

极大线性无关组

向量相关性

线性相关和线性无关

化为标准型（配方法，

线性方程组法，正交法）

二次型

对角化

线性流形

正定性，合同

单线性函数

线性函数

对称双线性函数

J矩阵

若尔当典范性II-C 定理

矩阵的可对角化

线性空间的性质与同构，

子空间的判定

线性空间

坐标变换与基变换

线性变换特征值与特征向量

可对角化及不变子空间

欧式空间的性质

欧式空间正交化与正交补的求法

正交变换与正交矩阵

酉空间的性质

酉空间

复数域上的正交变换

最大公因式定理

整除理论

互素与同于

因式分解唯一性

因式分解理论

重因式

多项式理论

复数域

多项式根的理论实数域

求法

有理数域

判定（爱绅斯坦因）

多元多项式 /

根的判别式

对称多项式韦达定理

二、高等代数知识结构内容

（一）线性代数：

工具：线性方程组

1. 行列式：

a

11 a

12

a

1n

1 行列式的计算设有n2个数，排成 n 行 n 列的数表a

21

a

22

a

2n ，即 n 阶行a

n1

a

n 2

a

nn

列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积

a

1j1a

2 j2

a

nj n

⑴的代数和，这里j1 j2j n是1，2，，n的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当 j1 j 2j n是偶排列时,⑴带正号；当j1j2j n是奇排列时,⑴带负号．即

a

a

11

a

12

a

1n

21

a

22 a

2 n

1 j 1j

2 j n

a 1j 1

a

2 j 2

a

nj n ，这里

=

表示

j 1 j 2

j n

j 1 j 2 j n

a

n1

a

n 2

a

nn

对所有 n 级排列求和 .

a. 行列式的性质：

性质 1. 行列互换，行列式不变。

性质 2. 一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数

乘此行列式。

性质 3. 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。

性质 4. 如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同 )

性质 5. 如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。

性质 6. 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

性质 7. 对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2.矩阵：

a. 矩阵的秩：矩阵 A 中非零行的个数叫做矩阵的秩。

b.矩阵的运算

定义同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．

矩阵相等：设 A ( a ij )

m n , B ( b ij ) m n, 若 a ij b ij ( i 1,2, , m ; j 1,2, ,n) ,称

A B .

线性运算： A ( a ij )m n , B (b ij ) m

n

加法： A B (a ij b ij )m

a

11

b

11

a

1n

b

1 n

n

a

m1

b

m1

a

mn

b

mn

数乘： kA ( k a ij ) m n k a11 k a1n

A ( 1 ) A ( a ij )m n k a m 1 k a mn

负矩阵：

减法： A B (a ij b ij )m

a11 b11 a1n b1 n

n

a m1

b m1 a mn b mn

矩阵的乘法定义：设 A (a ij ) m

s

, B ( b ij ) s n

AB a11 a1 s b11 b1n c11 c1n

其中元素a m 1 a ms b s1 b sn c m1 c mn

b1 j

c

ij a

i 1

a

i 2

a

is

b2 j a

i 1

b

1

j

a

i 2

b

2 j a is b sj ( i 1,2, , m; j 1,2, ,n)

b sj

A 的列数=

B 的行数。

AB 的行数= A 的行数；AB 的列数= B 的列数．

A 与

B 的先后次序不能改变．

(5)矩阵的初等变换