近世代数讲义子群
近世代数课件--2.10 不变子群,商群
S1S2
Sm
定理１ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是：
aNa 1 N
对于 G 的任意一个元 a 都对．
证明 …………证完
a 1 Na N ?
注5. aNa 1 N 可以换成
定理２ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： n N ana 1 N a G ， 证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１ 的直接结果．我们证明它也是充分的． 条件 ana 1 N 意味着
注9. a 1na N 等价于‥‥‥？？
小结:
n N .下面条件等价: 群 G 的一个子群 N , a G ，
1. aN Na 2. aNa 1 N 3. a 1na N 4. aNa1 N
注意: 不变子群不具有传递性.
10.4 商群
不变子群所以重要，是因为这种子群的陪 集，对于某种与原来的群有密切关系的代数 运算来说，也作成一个群．
aNa1 N
（＊）
1
因为 a …………证完
1
也是 G 的元，在（＊）中以 a
代a ,
注6. 要测验一个子群是不是不变子群，用 定理２的条件一般比较方便． 注7. 用定理２的条件可以改写成 a G ， n N a 1na N 注8 .
ana 1 N
等价于 aNa1 N
AB {ab a A, b B} ， A1 {a1 a A}
容易证明:
( AB)C A( BC ) ，A( B
C ) ( AB) ( AC )
( AB)1 B1 A1 , ( A1 )1 A
Sm 的乘积用符号 由于结合律成立, S1，S2，…，
第5节子群
近世代数
典型子群的实例:中心C
定义2.2 设G为群,令 C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}， 则C是G的子群，称为G的中心. 证 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明 ab1与G中所有的元素都可交换. x∈G，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G. 注：对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可 交换，G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G，它 9/14 的中心是{e}.
6/14
近世代数
子群判定定理2
定理2.2 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得 a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
近世代数
5.2 子群与生成子群
子群的定义 子群的性质 子群的判别 生成子群Байду номын сангаас
3/14
近世代数
子群
定义2.1 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子 群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群， 记作H(G). 例如: nZ (n是自然数) 是整数加群(Z,+) 的子群.
则G关于矩阵乘法构成群. 找出G的所有子群.
解 令A, B, C, D分别为
1 0 i 0 0 1 0 i 0 1 ， 0 i , 1 0 , i 0
近世代数课件--2.11 同态与不变子群
11.1 自然同态
定理１ 证明 一个群 G 同它的每一个商 G 我们规定 G 到
G N
N
群同态．
的一个法则 :
(a G )
( a ) aN
这显然是 G 到 G N 的一个满射．并且,对于 G 的 任意两个元 a 和 b 来说，
N 与 G间的同构映射．因为：
1) f 无歧义
aN bN b a N b a e a b f ( aN ) f (bN )
1 1
这就是说，在 f 之下 G 的象； 2) f 是单映射.上面的过程可逆. 3) f 是满射.给了 G 的一个任意元 a ，在 G 里至少 有一个元 a 满足条件 f ( a ) a ，由定义，
定理１告诉我们，一个群G 和它的一个商群同态， 定理２告诉我么，抽象地来看， G 只能和它的商群 同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反 面．我们知道，当群 G 与群 G 同态的时候， G 的性质 并不同 G 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我 们一定找得到 G 的一个不变子群 N ，使得G 的性质和 商群 G N 的完全一样．从这里我们可以看出，不变 子群和商群的重要意义．
定理４ 假定 G 和 G是两个群，并且 G 与 G 同态．那 么在这个同态满射之下的 （ⅰ）G 的一个子群 H 的逆象 H 是 G 的一个子群； （ⅱ）G 的一个不变子群 N 的逆象 N 是 G 的一个不变 子群． 证明 我们用 f 来表示给定的同态满射． b （ⅰ）假定 a ， 是 H 的两个任意元，并且在 f 之下， a a ，b b ， 我们需要证明 ab 1 H .注意
近世代数课件群的概念
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
哈工大近世代数讲义6
姜维
定义12.3.1
l
设S是群G的非空子集，如果G的乘法在S中封 闭且S对此乘法也构成一个群，则称S是G的 一个子群
例12.3.1
l
任何一个至少含有两个元素的群G,至少有 两个不同的子群，一个群本身，它是最大子群， 同时还有一个单位元组成的子群，是最小的子 群
例12.3.2
定理12.3.6
l
群G的中心C是G的可交换群
定义12.3.3
l
设M是群G的子集 ，G的包含M的所有子群的 交称为由M生成的子群，记为(M)
定义12.3.4
l
设G是一个群，a和b是的两个任意元素，aba1b-1称为a与b的换位子。G的所有换位子的集 合是G的子群，称为G的换位子群。
定义12.4.1
定理12.4.1
l
任何一个群都同构于某个变换群
定义12.4.3
l
设(G, •)是一个群，如果存在一个从G到G的 一一对应φ使得∀a,b∈G φ (a•b) = φ (a) •φ (b) 则φ称是G的一个自同构源自定理12.4.2l
设G是一个群，G的所有自同构之集A(G)对映 射的合成运算构成一个群，则称为G的自同构 群
l
设(G1, •), (G2, •)是群，如果存在一个一一对应φ: G1 有 φ (a•b) = φ (a)* φ (b) 则称G1群G2与同构，记为G1 ≅ G2 而φ称G1为G2到上 的一个同构。
à G2 ，使得∀a,b∈G1
定义12.4.2
l
Sym(S)的任一子群称为S上的一个变换群。Sn 的任一子群称为置换群
l
整数集Z的加法群是有理数集Q的加法群的子 群。
定理12.3.1
2.9 子群的陪集——近世代数
第九节 子群的陪集
主讲人：XXX
Email：XXX@
安阳师范学院·数学与统计学院
第九节 子群的陪集
02
目录
CONTENTS
1 2 3
集合的积 陪集的引入 子群的陪集定义和性质
第九节 子群的陪集
03
1、集合的积 设
G 为群, A, B 是群 G 的两个非空子集, 定义
AB {ab | a A, b B} G
a ~ b a b(mod n) n | a b a b H
第九节 子群的陪集
06
Z n 0 , 1 , 2 ,
, n-1
每个类 [i] 正好是子群 H 乘上这个类中任取定的一个元素,即
[i ] {nh i | h Z } i H i [0]
第九节 子群的陪集
12
由上例可以发现： (1) H 的一个陪集一般不是G 的子群， (2) G 的不同元素可能得到关于 H 的同一个左陪集(或右陪集)， (3) H 的左陪集 aH 一般不等于相应的右陪集 Ha， (4) |aH|=|Ha|.
左陪集有如下性质：
1) a aH 2) a H aH H 3) b aH aH bH
第九节 子群的陪集
16
定理3 (Lagrange) 设 G 是有限群，H 是 G 的子群，则 |G| = |H| ·[G:H] 其中 [G:H] 是 H 在G 中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为 H 在G 中的指数.
证明 设[G:H] = r，且 a1, a2, …, ar 分别是 H 的 r个不同右陪集的代表
08
对任意的群 G，H 是G 的子群，a,bG, 规定
近世代数 第11讲
显然 和 都是 的非空子集，至此，可以重新定义子群：
结论1：设 ，那么 且
结论2：设 ，那么
对于上述结论的证明是显而易见的。
注意：结论1正是判定定理1的另一种表述；
结论2是判定定理2另一种表述。
思考题2：一个群 能表成它的两个真子空间的并集吗？
答：不能。如果 ，且 。那么必有 且 。故存在， 且 ， 且 ，而 是群 ，即 或 ，但若 矛盾。同理，若 ，矛盾。这表明 是不可能的。
有限子群的判定定理：设 ，且 ，那么 有 .
证明：
必要性：显然。
充分性：（1）条件表明 满足封闭.
（2） 中满足结合律 也满足结合律.
（3）因为 中满足消去律 中也满足消去律.
由（1）、（2）和（3） （注 是有限集）.
思考题1：
每个群都有二个不同的平凡子群吗？
的二个子群 和 有可能会 吗？
为了加深印象，可从集合的角度对上述定理进行论述：
,若 使 ,
经分析知:
定义3：设 如果 ，则称 与 可交换
注意： 只是意味着左右两个集合相等，而绝不意味着 的元素与 中元素乘积可交换。
结论4设 ，则 .
证明： .显然 。但
但
由 的任意性 。同理 .由于
使
由 的任意性 .
∴ .
由前面的分析知， 中元素满足封闭性。
另外： .则 ,∴ 逆元封闭。
所以 .
仔细分析， 不能构成群的本质原因是“不够大”。也就是说，需要对 扩张——往 中添加其他元素，但应添加什么元素呢？——添加那些 应具备，但没具备的元素。
如果将那些应添加的元素做成的集合记为 ，则 。现令 ，那么 中元素应如何表示？ 是什么结构？
近世代数 2.8子群
§8 子群一、子群的定义定义若群G的非空子集H对于G的乘法来说作成一个群, 则称H为G的子群, 记为H ≤G .例1 设G是一个群, 则H1 = G和H2 = { e } 都是G的子群(平凡子群).非平凡子群H也叫真子群, 记为H <G .例2 对于普通乘法来说, C*是一个群. R*是C*的一个子群.例3 在整数加群Z中, H = { 2n | n∈Z } 是一个子群.推论设H ≤G, 则H的单位元就是G的单位元e ; ∀a∈H, a 在H中的逆元就是a在G中的逆元.二、子群的判别定理1 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H⇒ab∈H；(ii )∀a∈H⇒a -1∈H.定理2 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(iii) ∀a, b∈H⇒ab -1∈H.定理3 群G的非空有限子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H ⇒ab∈H.三、子群的生成设G是一个群, 取定a∈G, 作子集H = { a n | n∈Z }.则H是G的一个子群. H叫做元a生成的(循环)子群:H = ( a ) .例4 G = { 1, -1, i, -i} 关于普通乘法作成一个群( i是虚数单位) . 由元- 1 生成的循环子群为H = ( -1 ) = { 1, -1 }.例5 在模6的剩余类加群Z6中, 由元[ 2 ] 生成的循环子群为H = ( [ 2 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] }.四、循环群的子群定理4 循环群的子群仍为循环群.例6 在模6的剩余类加群Z6是循环群, 所以其子群都是循环子群. 故Z6的所有子群为H0 = ( [ 0 ] ) = { [ 0 ] };H1 = ( [ 1 ] ) = ( [ 5 ] ) = Z6= { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] };H2 = ( [ 2 ] ) = ( [ 4 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] };H3 = ( [ 3 ] ) = { [ 0 ], [ 3 ] }.。
近世代数课件-2-7子群的陪集
§2.7 子群的陪集
一.等价关系与陪集 二.左陪集的定义与性质 三.右陪集的定义与性质 四.左、右陪集之间的关系 五.指数的定义与拉格朗日定理 六.子群乘积的性质
2020/4/27
18:22
一、等价关系和陪集
2020/4/27
18:22
一、等价关系、左陪集的定义与性质
2020/4/27
18:22
二、左陪集的定义与性质
2020/4/27
18:22
二、左陪集的定义与性质
2020/4/27
18:22
二、左陪集的定义与性质
2020/4/27
18:22
三. 右陪集的定义和性质
2020/4/27
18:22
三. 右陪集的定义和性质
2020/4/27
本节教学目的与要求： 辨清陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系；
了解群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项；掌握陪集 和陪集的代表元所形成的系列性质； 掌握Lagrange定理和推 论及其有关理论应用。
对陪集概念的了解和拉格朗日定理的应用是重点，学会并 掌握有关陪集理论的等式命题证明方法掌握其中的定理证明方 法是难点。
18:22
三. 右陪集的定义和性质
注：例1中有
2020/4/27
18:22
四.左、右陪集之间的关系
2020/4/27
18:22
五. 指数的定义及Lagrange定理
2020/4/27
18:22
五. 指数的定义及Lagrange定理
2020/4/27
18:22
五. 指数的定义及Lagrange定理
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
近世代数课件--1.5正规子群与商群
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
§5
正规子群与商群
定义 5.1 件:
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§5
正规子群与商群
为了进一步讨论右陪集,先引入如下定 义:对于群 G 的任意非空子集 A 和 B ,我们 将集合
{ab | a A, b B}
称为 A 与 B 的乘积,记作 AB . 特别 地,当
A {a} 时,可将 AB 简记作 aB ;当 B {b} 时,
(a b) (a1 b1 ) (a a1 ) (b b1 ) ,
立即可知， n | (( a b) (a1 b1 )) ,从而,
a b a1 b1 (mod n) .
“ 是 (2)由(1)可知, ” Z n 上的代数运算.
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AH HA H .
命题 5.7 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 子群.那么,对于任意的 a G , H 的以 a 为代表 的右陪集为 [a] Ha .
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§5
正规子群与商群
证明 我们有
正规子群与商群
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 a ～ b 和 b ～ c 总可以推得 a ～ c ,则称～具有传递 性. (4)若～同时具有自反性、对称性和传 递性,则称～是 A 上的一个等价关系.
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近世代数课件-1.3子群
04
子群的应用
在密码学中的应用
子群概念在密码学中用于构造密码算 法，如基于子群特性的密码算法，利 用子群性质来提高算法的安全性和效 率。
子群概念在密码学中用于设计数字签 名方案，如基于子群特性的数字签名 方案，利用子群性质来验证信息的完 整性和真实性。
子群概念在密码学中用于设计公钥密 码系统，如基于子群特性的公钥密码 系统，利用子群性质来保证信息的安 全性和机密性。
THANKS
感谢观看
结合律
对于任意的$a, b, c in H$，都有 $(ab)c = a(bc)$。
单位元存在
存在一个元素$e in H$，使得对 于任意的$a in H$，都有$ea = a = ae$。
逆元存在
对于任意的$a in H$，都存在一 个元素$b in H$，使得$ab = e
= ba$。
子群与群的关系
子群是群的子集，具 有群的全部性质。
子群可以包含在另一 个子群中，也可以是 群的全部元素构成的 子集。
子群可以由群的元素 构成，也可以由群的 所有子集构成群
定义
如果存在一个元素$a$属于子群$H$，使得$H$中的每一个元素都可以表示为 $a^k$（$k$为整数），则称$H$为循环子群。
例子
在模3的加法下，集合${0,1,2}$的子群${0,2}$是一个循环子群，因为可以表示 为${a^k | k in Z}$，其中$a=2$。
正规子群
定义
如果对于任意$x in G$，都有$x^{-1} H x subseteq H$，则称 $H$为正规子群。
例子
在整数加法下，集合${0,1,2}$的子群${0,2}$是一个正规子群， 因为对于任意整数$k$，有$(2k)^{-1}(2k) in {0,2}$。
近世代数讲义之第2章 群x
� a = a −1 + a − 2 ， a −1 = 4 − a .
至此，根据群的定义知道， Z 关于运算 � 确构成一个群. 另外，根据群的性质，我们易知群有如下等价的定义. 定义 1.1' 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）运算“ � ”满足结合律： a � (b � c) = ( a � b) � c ， ∀a, b, c ∈ G ； （2） G 有单位元素 e ： e � a
( a � b ) � c = ( a + b − 2) � c = a + b − 2 + c − 2 = a + (b + c − 2 ) − 2 = a + (b � c ) − 2 = a � (b � c )
（3）找单位元 e .若 a = e � a = e + a − 2 ，则 e = 2 . （4）对 ∀a ∈ Z ，找逆元 a . 2 = e = a
−1 −1
- 23 -
第二章 群
证明 (1) ⇒ ( 2) ⇒ (3) 是显然的，现在证明 (3) ⇒ (1) . 因为 H 是 G 的非空子集，所以对于 a ∈ H ，由（3）有 e = aa ∈ H ，即 H 有单位元.又对于任 意 a ∈ H ，有 a
−1 −1
= ea −1 ∈ H ，即 H 中的任意元素有逆元，所以 H 是 G 的子群.
第二章 群
第二章 群
本章我们讨论具有一个运算的代数体系——群的结构和性质.
第 1 节 群的概念和性质
定义 1.1 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）对于 G 中任意元素 a, b, c ，有 a � (b � c) = (a � b) � c ； （2）在 G 中存在元素 e ，对任意 a ∈ G ，有 e � a = a ； （3）对 G 中任意元素 a ，存在 b ∈ G ，使得 b � a = e . 一般地，称群 G 是乘法群，并简记 a � b 为 ab .特别地，若群 G 的运算“ � ”还满足交换律（ ，则称 G 是加群或交换群（Abel 群） ，并用 a + b 表示 a � b . ab = ba , ∀a, b ∈ G ） 定义 1.2 我们称群 G 所含元素的个数为群 G 的阶数，记为 G .如果 G < ∞ ，则称 G 是有限群， 否则称 G 是无限群. 例 1.1 有理数集合关于数的通常加法运算构成 Abel 群.整数集合关于数的加法运算是 Abel 群， 常称 {Z； +} 为整数加群. Z n 关于加法运算是 Abel 群，常称 {Z n； +} 为剩余类加群（参看第一章第 4 节中有关运算的规定）. {Q ； +} 是无限群. {Z n； +} 是有限群，阶数为 n . +} 和 {Z； 注意， Q ， Z 和 Z n 关于乘法运算都不是群，因为 Q ， Z 中的数 0 及 Z n 中的元素 0 不满足群的 定义条件（3）. 例 1.2 证明： {Z p
近世代数课件子群
§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
【正式版】近世代数 子群PPT
讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个 群G ．假如由G 里取出一个非空子集H 来，那么利 用G 的乘法可以把 H 的两个元相乘．对于这个乘法 来说，H 很可能也作成一个群．
定义 一个群 G 的一个非空子集H 叫做G 的一个子 群，假如 H 对于G 的乘法来说作成一个群, 用符号 H G表示．
定理3’ 一个群G 的一个不空有限子集H 作成G 的一个子群的充分而且必要条件是：
， , 那．么H由刚证明的，G
；
假定
．由（ⅲ），
，于是
Ⅱ．结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对；
定理１ 一个群 G 的一个不空子集 H 作成G 例4 3 中，H={(1),(12)}
(2) 对任何一个包含 的子群 , 一定包含 ．
子群的充分而且必要条件是： 定理3’ 一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：
，
，
注1: 元
，的使Ⅴ乘得法必．须是由的（乘法ⅱ），对于 H
的任意元 a
来说， H
有
元 a ，使得 由定理(13)和’(2)一，个群是包的含一个的不最空小有的1限子子群集． 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：
a a e 反过来看
引理:设
，假如 是一个子群 , 那么
，（ⅰ）显然成立．我们证明，1这时（ⅱ）也一定成立．
一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积, 由定理１，
(2) 对任何一个包含 S 的子群 H ' , H ' 一定包含 H ．' 这一点容易看出：H 既是一个子群，它又包含所
有 S 的元 a ，b ，c ，…，Ⅰ，Ⅱ，两个条件，因而根
据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积； 这就是说，H ' H ．
近世代数13子群PPT课件
2020/11/12
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
2020/11/12
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§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
2020/11/12
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§3 子 群
对于任意的 aH ,根据子群的定义, a 在 H 中 有逆元 a' .根据命题 3.2, a' a1 .因此 a1 H . 所以 H 满足条件(2).
再证明充分性.假设 H 满足条件(1)和(2). 由于 H 满足条件(1),为了证明 H 为 G 的子群, 现在只需阐明 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成 一个群.
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近世代数 2.11同态与不变子群
§11 同 态 与 不 变 子 群一、同态基本定理定理1 设G 是一个群, N G , 则φ : a → aN (a ∈G )是G 到G /N 的同态满射(称 φ 为自然同态). 因此G ~ G /N .定义1 设 φ 是群G 到G 的同态满射, G 的单位元e 在 φ 之下的所有逆像作成的G 的子集叫做同态满射 φ 的核, 记为Ker φ .Ker φ = { a ∈G |φ (a ) =e }.推论 若N 是群G 的不变子群, φ 为G 到商群G /N 的自然同态, 则N = Ker φ.定理2(群同态基本定理) 设 φ 是群G 到群G 的同态满射, N = Ker φ , 则N G , 且G /N ≅G .令:(),aN a a a G ψφ→=∀∈. 则ψ是G /N 与G 间的一个同构映射.aN = bN ⇔b -1a ∈N ⇔φ (b -1a ) =e ⇔φ (b )-1φ (a ) =e ⇔φ (a ) =φ (b )(⇔ψ ( aN ) = ψ ( bN ))例1 设G , G 分别是阶为m , n 的有限群, 且G ~G , 证明 n |m .二、子群的同态像定义2 设 φ 是集合A 到A 的一个满射.如果S ⊆A , 则称 (){()|}S a a S φφ=∈为S 在 φ 之下的像.如果S A ⊆, 则称1(){|()}S a A a S φφ-=∈∈为S 在 φ 之下的逆像(原像).Ker φ = { a ∈G | φ (a ) =e } = φ -1(e )定理4 设群G 与G 同态, 那么在同态满射φ 之下,(i) G 的子群H 的像()H H φ=是G 的子群;(ii) G 的不变子群N 的像()N N φ=是G 的不变子群.定理5 设群G 与G 同态, 那么在同态满射φ 之下,(i) G 的子群H 的逆像 1()H H φ-=≤ G .(ii) G 的不变子群N 的逆像1()N N φ-=G .三、同构定理介绍定理 6 (第一同构定理) 设群G G , ,N G 1()N N φ-=, 则N G , 且//.G N G N ≅证 记 (),.a a a G φ=∈ 令:,.a aN a G ψ→∀∈则ψ是G 到/G N 的一个满射, 且 () ()()()()()ab ab N ab N a N b N a b ψψψ====故是G 到/G N 的同态满射.()a Ker a eN aN eN ψψ∈⇔=⇔=.a N a N ⇔∈⇔∈.Ker N ψ∴=根据同态基本定理, 命题得证 .定理7(第二同构定理) 设H ≤G ，K G , 则H ∩K H , 且HK / K ≅H / H ∩K .推论 设H , K 是G 的两个不变子群, 且K ⊆H , 则H /K G /K , 且G /H ≅(G /K ) / ( H /K ).。
近世代数 子群
1第10讲§8 子群（Subgroups）对群的研究，可分为互相联系的两个方面：群的结构和群的表示。
与集合比较，群就是多了一个运算（正是这个运算才给群带来了生命力），所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论，只是关于群的一切讨论都要围绕这个运算展开.子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的结构的一个重要渠道. 结合高等代数中生成子空间的理论，会使我们温故而知新。
一、子群的定义及判定条件定义2.8.1、设G是一个群，而,Φ≠⊆，如果H关于G中H G的运算也能作成群，则称H是G的一个子群。
GH<.例1设G为任意一个群，那么由G的单位元组成子集}{e，自然有与G是G的两个子群，统称它们为的G平凡子群。
如果G除了平凡子群外还有其他子群，那就称为G的真子群。
例2 Z是整数加群，而一切偶数构成的集合为}--2=Z，,4,2,0,2,4,{那么2Z是Z的真子群。
一般的，任取一个整数m，那么}∀⋅mZ∈=为一切m{Z|nnm的倍数构成的集合，可知m Z Z的真子群。
例3设}0表示一切可逆n阶方阵组成的集合，用矩RMLA=A∈|)||({≠n阵通常的乘法可知：∙L中方阵对乘法封闭（任二个n阶可逆阵之积仍可逆）∙ L 中方阵满足乘法结合律∙单位元为E∙A L A ⇒∈.的逆元为A A —1-的逆阵所以L 是个群。
若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= k k k kE 令为L 中的n 阶数乘阵，那么}0,|{≠∈∀=k R k kE K 是L 的非空子集，且必有LK<。
例4设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S 为三次对称群，令)}12(),1{(=H 和)}132(),123(),1{(3=A 。
易知3H A ，是3S 的真子群。
例5设模6剩余类加群]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6=Z 。
令1{[0],[2],[4]}H =， 2{[0],[3]}H =。
2.2近世代数
§2.2群的子群§2.2.1子群定义1设S是群G的一个非空子集，若S对G的运算也构成群，则称S是G的一个子群，并记为S≤G。
注：1°当S≤G且S≠G时，称S为G的真子群，记为S<G，或记为S G≤/。
2°G有两个平凡子群，即为G本身及由单位元e构成的{e}。
例子（Z，＋）中，子集H2为所有偶数的集合，它对“＋”成群，H2为Z+的真子群。
定理1（子群判定）设S是群G的一个非空子集，则以下三个命题互相等价：（1） S是群G的子群；（2） 对任何a,b∈S，有ab∈S和b-1∈S；（3） 对任何a,b∈S，有ab-1∈S。
证明：（1）（2）：由子群的定义是显然的。
⇒（2）（3）：⇒,a b S∀∈，由（2）知b-1∈S，于是ab-1∈S。
（3）（1）：（3）中取a=b∈S，于是aa⇒-1=1∈S，其次1a-1=a-1∈S；最后由b-1∈S可得ab=a(b-1)-1∈S，即运算对S封闭，结合律显然成立。
所以S≤G。
＃注：1°G为群，H为G的有限子集，并且,a b H∀∈有ab∈H，则H为G的子群。
2°设H ≤G ，则H 的单位元就是G 的单位元。
证明：由子群的定义知，首先，并且H G ⊆a H ∀∈有；进一步，而G 的单位元唯一，所以H 的单位元就是G 的单位元。
＃ 1a H −∈11aa H G −=∈≤3°对于半群G 来说，子半群的概念也可引入。
然而，若G为含“1”半群，它的子半群不一定为含“1”半群；既便子半群也有单位元，它们的单位元也未必是整个半群G 的单位元。
例（1），Z 上的全体2×2矩阵对“×”形成一个含“1”半群G ；而G 中的全体偶系数组成的2×2矩阵对“×”形成G 的子半群H ，H 无单位元。
例（2）域F 上的4×4矩阵全体对矩阵的“×”形成一个群，G的单位元为diag(1,1,1,1)；若0F 2200K H K ⎧⎛⎞=×⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩为上的的矩阵块⎫⎭1 易见H ≤G ，并且H 也为含么半群，然而H 的单位元与G 的单位元不同。
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§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
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Si 和 Si 分别称为 S 的这族子集的交(集)和并
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
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定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
(1) ab H , a, b H ; (2) a1 H , a H . 证明 先证明必要性.假设 H 是 G 的子群. 首先,根据子群的定义, H 满足条件(1). 其次,
例 2 设 P 是一个数域, nN .于是, SLn (P ) 是 GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P 上全体 n 级可逆的上三角形矩阵构成的集合, K 表示 数域 P 上全体 n 级可逆的对角形矩阵构成的集合,则 H 是 GLn (P ) 的子群, K 是 H 的子群.
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§3 子 群
由 于 e' 是 H 的 单 位 元 , 我 们 有 e'e' e' . 因 此 ee' e'e' .将该式两边右乘 e' 在 G 中的逆元(或 者,根据消去律——第 9 页第 5 题),即得 e e' .
(2)对于任意的 a H ,设 a 在 G 中的逆元 为 a1 , a 在 H 中的逆元为 a' .根据(1),我们有 aa1 e aa' .将该式两边左乘 a1 (或者,根据 消去律——第 9 页第 5 题),即得 a1 a' .□
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§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
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命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
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§3 子 群
设 S 是一个集合; I 是一个非空集合(称为指
标集);对于任何 i I , Si 都是 S 的子集.这时,我们
称{Si}iI 为 S 的一族子集.令
Si {a S | a Si , i I},
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Si {a S | i I,st. a Si} .
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
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对于任意的 aH ,根据子群的定义, a 在 H 中 有逆元 a' .根据命题 3.2, a' a1 .因此 a1 H . 所以 H 满足条件(2).
再证明充分性.假设 H 满足条件(1)和(2). 由于 H 满足条件(1),为了证明 H 为 G 的子群, 现在只需阐明 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成 一个群.
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§3 子 群
例 3 设V 是数域 P 上的向量空间,W 是V 的子空间,则 (W, ) 是 (V , ) 的子群.
例4 考察 S3 的子集 A3 {(1), (123), (132 )} .
易见, A3 是 S3 的子群.
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第一章 群 论
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LOG 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§3 子 群
设 A 是一个非空集合,“ ”是 A 上的一个 代数运算, S 是 A 的一个非空子集.
我们称 S 关于代数运算“ ”封闭,是指: 对于任意的 a, b S ,总有 abS .
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
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