概率统计在经典统计物理中的应用

概率统计在经典统计物理中的应用

概率论是现代数学的一个重要学科。一方面，他有丰富的数学理论，与其他数学学科有深入的相互渗透。另一方面，它与自然科学、技术科学、管理科学、经济科学以至人文科学有广泛的交叉。很多问题都可以归结为概率模型，应用概率论和随机过程的理论和方法加以研究．并且这些问题也向概率论提出了新的重要研究课题。经典统计物理学便是这样一个新的概率论分支。统计物理学根据对物质微观结构及微观粒子相互作用的认识，用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学分支。

下面我们分别以麦克斯韦气体分子速率分布律、麦克斯韦-波尔兹曼统计分布、理想气体的温度公式和压强公式为例，说明概率统计在经典统计物理中的应用。

1. 麦克斯韦气体分子速率分布律

麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫做麦克斯韦速度分布率，若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布率。

能量为l ε的分子概率密度是

e l

A βερ-=, (1-1)

其中Z

A 1

=

是归一化常数，而分子能量是 21

2

l m ευ=. (1-2)

由归一化条件d 1Ω

ρΩ=⎰得 1e d l

A βεΩ

Ω

-=

⎰，

相体积元d d d d d d d x y z x y z υυυΩ==2d d d sin d d d x y z υθθϕυ.

不失一般性，设气体体积为单位体积，则积分

e

d l

I βεΩ

Ω-==⎰2

2

π2π2

2220

sin d d e

d 4e

d m m V kT

kT

υθθϕυυπυυ-

-

∞∞=⎰⎰⎰⎰.

利用积分公式2

0e

d u u λ∞

-=

⎰得 32

12πm A I kT ⎛⎫=

= ⎪⎝⎭

. 于是有 2

32

π

2π220

d sin d d e

d 2πm V kT

m kT Ω

ρΩθθϕυυ-

∞⎛⎫

= ⎪

⎝⎭⎰⎰

⎰⎰

2

32

220

4πd 12πm kT

m e

kT υυυ-

∞

⎛⎫== ⎪

⎝⎭

⎰

.

定义： 232

2

2()4πe

2πm

kT m f kT υυυ-⎛⎫= ⎪⎝⎭

, (1-3)

则有 0

()1f d υυ∞

=⎰

.

(1-4)

所以，函数()f υ是平衡态理想气体中分子按速率分布的概率密度函数，叫做麦克斯韦气体分子速率分布律(Maxwell distribution law of speed of gas molecules), 表示速率υ附近单位速率间隔内的分子数占气体总分子数的比例. 例如，若气体总分子数为N ，则速率υ附近速率间隔d υυυ→+内的分子数是d ()d n Nf υυ=.

为简便起见，可将函数()f υ写成

2

2

()e b f A υυυ-=,

(1-5) 其中3

2

4π2πm A kT ⎛⎫=

⎪

⎝⎭

，kT m

b 2=，其函数曲线如图1所示. )

P υ O

υ

图1 图2

除满足归一化条件外，函数()f υ还具有以下特点： (1) 0lim ()0f υυ→=, lim ()0f υυ→∞=；

(2) 令

d d f

υ

=0, 得最概然速率：

P υ=

=.

(1-6)

即()P f υ是函数()f υ的最大值，如图1所示.

式中R 和μ分别为普适常量和分子的摩尔质量。最概然速率p v 表示对所有的相同速率区间而言，在含有速率p v 的那个区间内的分子占总分子数的百分比最大。

(3) 由(1-3) 和 (1-6) 式可知，当气体温度上升时，或用分子质量较小的气体代替分子质量较大的气体做实验，()f υ的函数曲线将右移并变得平缓，如图2所示。

2. 气体分子的平均速率

我们知道，气体处于平衡态，其分子的速率有大有小，服从Maxwell 气体分子速率分布律. 所以，气体分子的平均速率是

1d n N

υυ∞

=

⎰

.

将d ()d n Nf υυ= 代入上式做分部积分，得 υ=0

()d f υυυ∞

⎰＝A 2

30

e b υυ∞

-⎰d υ＝220de 2b A b υυ∞--⎰=2

e d b A b υυυ∞-⎰ =2

2

de 2b A

b υ∞

--

⎰

=

2

2b

A

, 即理想气体速率从0到∞整个区间内的算术平均速率为

υ（2-1）

3. 物理统计规律之麦克斯韦-波尔兹曼统计分布（M-B 分布）

麦克斯韦-波尔兹曼统计分布是研究近独立经典粒子按能量的最概然分布。

设有一个由N 个相同粒子组成的系统，其中每个粒子可以被看成一个子系统. 如果粒子之间的相互作用足够弱，则可以忽略它们之间的相互作用能，这样的系统就叫做近独立粒子系统(near independent particle system)，而系统的能量E 等于每个粒子的能量i ε 的和：

∑==N

i i E 1ε.

(3-1)