高中数学必修4课后限时训练11 正切函数的图像与性质

高中数学必修4课后限时训练11 正切函数的图像与性质

题组1：基础巩固

一、选择题

1．与函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2

B ．y ＝π2

C ．x ＝π8

D ．y ＝π8 答案：C 解析：由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2

，k ∈Z ， ∴x ≠k π2＋π8

，k ∈Z ，故符合题意只有C 选项． 2．若tan x ≤0，则( )

A ．2k π－π2

B ．2k π＋π2

≤x <(2k ＋1)π，k ∈Z C ．k π－π2

≤x ≤k π，k ∈Z 答案：C

解析：由正切函数的图象可知C 正确．

3．函数y ＝tan x 1＋cos x

是( ) A ．奇函数 B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数也不是偶函数

答案：A

解析：要使函数y ＝tan x 1＋cos x

有意义， 必须使⎩⎪⎨⎪⎧

x ≠k π＋π21＋cos x ≠0

，

即x ≠k π＋π2

，且x ≠(2k ＋1)π，k ∈Z . ∴函数y ＝tan x 1＋cos x

的定义域关于原点对称． 又∵f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x 1＋cos x

＝－f (x )， ∴函数y ＝tan x 1＋cos x

为奇函数． 4．下列命题中，正确的是( )

A ．y ＝tan x 是增函数

B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数

C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2

)(k ∈Z )上是增函数 D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数

答案：C

解析：令x 1＝π3，x 2＝13π6，∴tan x 1＝3，tan x 2＝33

， ∴x 1tan x 2，

故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ，由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区

间内不可能是减函数，排除D ，故选C.

5．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( ) A ．16 B ．14

C ．13

D ．12

答案：D

解析：y ＝tan(ωx ＋π4

))错误!y y ＝tan[ω(x －错误!))＋错误!) ＝tan(ωx ＋错误!))，∴错误!－错误!y ω＋k π＝π6，∴ω＝6k ＋12(k ∈Z )．又∵ω>0，∴ωmin ＝12

. 6．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是( )

A ．π

B ．2πω

C ．πω

D ．π2ω

答案：C

解析：因为直线y ＝3与函数y ＝tan ωx 图象的相邻交点的距离为函数y ＝tan ωx 的最小正周期，所以d ＝T ＝πω

，故选C. 二、填空题

7．已知函数f (x )＝tan(ωx －π6)的最小正周期为π5

，其中ω>0，则ω＝________. 答案：5

解析：由题意知，T ＝πω＝π5

，∴ω＝5. 8．函数y ＝－2tan ⎝

⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． 答案：⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )

解析：求函数的递减区间，也就是求

y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4

， ∴减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .

三、解答题

9．利用正切函数的图象，求满足条件tan x ≤3的x 的集合．

解析：由下图可以看出，满足条件的x 的集合为(－π2＋k π，π3

＋k π ，k ∈Z .

题组2：能力提升

一、选择题 1．要得到y ＝tan2x 的图象，只需把y ＝tan(2x ＋π8

)的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8

个单位 C ．向左平移π16个单位 D ．向右平移π16

个单位

答案：D

解析：将函数y ＝tan(2x ＋π8)的图象向右平移π16个单位得到函数y ＝tan[2(x －π16)＋π8 ＝tan2x 的图象，故选D. 2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为2，则f (－43

)的值是( ) A ．－1 B ．0

C ．3

D ．－33

答案：C

解析：由题意知，函数f (x )的最小周期T ＝2，

∴πω＝2，∴ω＝π2.∴f (x )＝tan π2

x ， ∴f (－43)＝tan(－2π3)＝－tan 2π3

＝ 3. 3．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12

，0)，则φ可以是( ) A ．－π6 B ．π6

C ．－π12

D ．π12

答案：A

解析：解法一：验证：当φ＝－π6

时， 2x ＋φ＝2×π12－π6＝π6－π6

＝0， ∴tan(2x ＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－π6

. 解法二：由题意，得2×π12

＋φ＝k π(k ∈Z )， ∴φ＝k π－π6

(k ∈Z )， 令k ＝0时，φ＝－π6，故φ可以是－π6

. 4．在区间(－π2，π2

)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

答案：C

解析：在同一坐标系中画出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 在区间(－π2，π2

)内的图象，如图所示．

由图象可知选C.

二、填空题 5．已知切函数y ＝12tan x ＋πA

(A >0)的最小正周期为3π，则A ＝________. 答案：3