二次根式重点难点
一、在取值范围上只考虑二次根式,不考虑分母
例1(2010·绵阳中考)要使
1213-+-x x 有意义，则x 应满足
（ ） (A)21≤x ≤3 (B)x ≤3且x ≠21 (C)21＜x ＜3 (D)2
1＜x ≤3 错解: 选A.由3-x ≥0且2x -1≥0,可知x ≤3且x ≥12,即12≤x ≤3.
错解分析:错解在取值范围上死板地应用二次根式的性质,思维单一,不顾整体.只考虑到二次根式中被开方数的取值范围,不考虑分母,结果扩大了代数式的取值范围,造成了错解.
中,既要考虑(2x -1)是被开方数,须使其值是非负数,又要考虑
,还必须使2x -1不为0.综上可知2x -1＞0.
正解: 选D.由3-x ≥0且2x -1＞0,可知x ≤3且x ＞12,即12
＜x ≤3.
二、平方根与算术平方根的概念相混淆
例2（2010·济宁中考）4的算术平方根是（ ）
（A ）2 （B ）－2 （C ）±2 （D ）4 错解: 选C.由()22±＝4,可知4的算术平方根是±2.
错解分析:错解对算术平方根和平方根的概念模糊不清,误以为
一个正数的算术平方根有两个,它们互为相反数.事实上,一个正数的平方根有两个,且互为相反数.另外,正数的那个正的平方根叫算术平方根.因为4的平方根是±2,所以4的算术平方根是2.
正解:选A.
三、不会把非负因式移到根号里面
例3(2010·绵阳中考)下列各式计算正确的是（ ）
（A ）m 2 · m 3 = m 6 （B ）33431163116
=?= （C ）53232333=+=+ （D ）a a
a a a --=-?--=--111)1(11)
1(2（ɑ＜1） 错解: 选A.由23236m m m m ??==,可知选A.
错解分析: 23235m m m m +?==,故选项A 错误.有些同学在D 选项
中不会把非负因式往根号里面移.在(a -中,使被开方数11a
-＞0,则必有分子、分母同号.由于分子1是正数,所以分母1-ɑ 必为正数.所以有隐含条件ɑ＜1.另外,要注意把根号外的因式往根号内移时,只有非负因式才能往里移.要把负因式ɑ-1往根号里面移,必须变形为-(1-ɑ),然后把括号前面的负号留在外面.把正因式1-ɑ加平方后移入根号里面.所以a a a a a --=-?--=--111)1(11)1(2.
正解:选D.
四、不会比较根式的大小
正确的是（）
例4（2010·天津中考）比较2
2<（B）2<
（C
2<（D2
错解: 选A.在2(
,因被开方数4＜5＜7,故2
.
错解分析: 错解在变形2
中,由于它们不是同次根式,所以不
错误答案A.实际上,
能直接利用被开方数比较大小.可以这样想,由于在变形2
根指数2和3的最小公倍数是6,所以可把它们分别六次
方:()2
63
==6=125, 6=49.由49＜64＜125,2＜2264,
，也可以把2:
2======由49＜64＜125,可知
2.
正解:选C.
五、不会利用二次根式的非负性
例5（2010·成都中考）若
,x y为实数，且20
x++=，则 2 010
x y
()
+
的值为___________．
错解:由
20x +=,可知x +2与y-3互为相反数,即x +2+y-3=0,于是()2 010 2 01011+==x y .
错解分析:考(ɑ≥0)的非负性,常与数的绝对值、2a 的性质一起出现.本题因为两个非负数的和为0,所以每一个非负数都为0,即|x +2|＝0,
0,解得x =-2,y=3,则()
()2 010 2 010321+=-=x y .错解虽然结果也恰巧是1,但解题过程是错误的.
正解:1.
六、对最简二次根式的条件掌握不牢
例6（2010·湛江中考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
(A) ɑ12 (B) 4 (C) 3 (D)8
错解: 选A.因为选项A 中,1
2的次数是1,小于根指数2,是最简二次根式.
错解分析:最简二次根式要同时满足两个条件:⑴被开方数不含分母;⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.错解只考虑了以上第⑵个条件,把被开方数不含分母这个条件忘了.而
==,被开方数的指数都大于或等于根指数,故也不是
最简二次根式..
正解:选C.
专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升(解析版)
专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升 【基础巩固】 1．（2019·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．1≥x C ．1x > D ．1x ≤ 【答案】B. 【解析】解：x -1≥0，解得：x ≥1 故答案为：B. 2．（2020·山西月考）计算：(2 1-=_____． 【答案】13- 【解析】解：原式=(2 2 12113-??=- 故答案为：13- 3．（2020· =______． 【解析】原式= = 2 3- - -． 4．（2020·有意义的实数x 的取值范围是__________． 【答案】x ≤3且x ≠0. 【解析】解：由题意得，3-x ≥0，x ≠0， 解得x ≤3且x ≠0， 故答案为x ≤3且x ≠0．
m=__________．5．（青岛月考）若2,,4 【答案】4. 【解析】解：∵2，m，4为三角形三边， ∴2＜m＜6， 原式=|m-2|+|m-6| =m-2-（m-6） =m-2-m+6 =4． 故答案为4． 6．（2020·=___________． 【答案】 = 2 . 故答案为： 2 7．（2020·浙江杭州市模拟）一个长方形的面积为，其中一边长为 边为_________． 【答案】3+ 【解析】解：由题意可得，另一边为 ( ÷ =3 故答案为：3．
8．（2019·威远县月考）当a ＜01a -=_______． 【答案】1. 【解析】解：∵a ＜0， 1a - 1a - =｜a -2｜-｜1-a ｜ =2-a -1+a =1． 故答案为：1． 9．（2020·成都月考）若实数x ，y 满足3y =， 则x y +的立方根为_______． 【答案】2. 【解析】解：由题意得5-x=0，即x=5，y=3， ∴x+y=8， 故x+y 的立方根为2． 10．（2020·四川月考）若24 y x =-，则x 的取值范围是__________． 【答案】x ≥1且x ≠2. 【解析】解：x -1≥0，2x -4≠0， ∴x ≥1且x ≠2. 故答案为：x ≥1且x ≠2. 11．当a=__________和可以合并． 【答案】3. 和 和 ∴3a-2=a+4，
二次根式能力拓展题(提高篇)
二次根式的计算与化简（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2） x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a > 3、当2x =2(7(2x ++的值。 4、先化简，再求值：221,39a b ==。 5、计算：) ...1 6、已知1a 222214164821442 a a a a a a a a a --++÷ -+-+-,再求值。
7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 8、已知：2 323-+=a ，2 323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 1121212 2 2--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简：
⑴. 22 - ⑵ ⑶ ⑷ 13、已知：11a a +=+221 a a +的值。 14、已知1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）
3． 2 )1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31 ，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－8 15 27102 ÷31225 a ＝_． 8．a －12 -a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋ 122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知2 3 3x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则 2 22y xy x +-＋ 2 22y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
二次根式能力拓展题(提高篇)
二次根式能力拓展题 (提高篇)
二次根式的计算与化简（提高篇） 1、已知m 2、化简（1）（2） x x x x x 5022322123-+ （3）0)a > 3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：22，其中1,39a b ==。 5、计算：) ...1 6、已知1a =，先化简222214164821442a a a a a a a a a --+++÷-+-+-,再求值。
7、已知：321+=a ，321 -=b ，求b a b a 2222+-的值。 8、已知：232 3-+=a ，2 323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 112121222--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==+++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12--+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3a a a ÷-
12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ ⑶ ⑷- 13、已知：11a a + =+221a a +的值。 14、已知1 1039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分）
1． ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ） 4．ab 、31 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－815 27102÷31225 a ＝_． 8．a －12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋ 122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分）
二次根式说课稿
《二次根式》说课稿 一、教材分析 “二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。第一节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。 二、教学目标 课标要求：学生要学会学习、自主学习，要为学生终生学习打下坚实的基础，根据教学大纲和新课标的要求，根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标 1、了解二次根式的概念 2、了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。 3、通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。 4、学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识。 教学重点:二次根式的概念和基本性质 教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用 三、教法和学法 教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式等，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。 四、教学过程 活动一：根据学生已有知识探究二次根式的概念
《二次根式的加减》
作者姓名赵闪学校土山中学 学科数学年级/班级八年级 教材版本鲁教版课时名称二次根式的j 上课时间 2 学生人数52 本课时的整体设计思路 本课时内容是二次根式加减法的计算，教学方法上以启发引导，讲练结合为主。本课的教学过程主要有以下三个环节：第一个环节类比整式中同类项的导入，用学生讨论交流和教师引导相结合的方式完成对二同类二次根式次根式的学习；第二个环节：第二个环节类比整式加减法的运算导入，用学生讨论交流和教师引导相结合的方式完成对二次根式加减法法则的探究；第三个环节：例题探究与巩固练习，通过设计有层次及逐步深入的练习，使学生理解掌握二次根式加减法多种题型的计算方法，并总结计算中应注意的问题； 教材分析 本节内容出自鲁教版八年级上册第三节第一课时，本节在研究最简二次根式和化简二次根式的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。本节重点是二次根式的加减运算，教材从一个实际问题引出二次根式的加减运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是解决实际问题的需要。通过二次根式的加减运算，用其解决一些实际问题，来提高我们数学解决实际问题的意识和能力。另外，通过本小节的学习为后面学生熟练进行二次根式的加减运算及加、减、乘、除混合运算做好铺垫。 学情分析 八年级学生通过前两年数学的学习，已经形成了良好的学习习惯，具有小组合作学习的经验，能通过观察、实验等数学活动，积极参与对数学问题的讨论，但一旦思维受阻，心情也会低落，这时急需老师的鼓励与指导；他们在学习本课之前已经学习了整式的加减、二次根式的定义、二次根式的性质及最简二次根式等相关知识；通过本节课的学习，学生将通过与整式加减的类比学习，掌握二次根式加减法运算法则，并最终领会二次根式加减法实质就是合并同类二次根式，合并方法与合并同类项类似。 学习目标一、知识与技能 1、了解同类二次根式的概念，会判断同类二次根式； 2、能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算。 二、过程与方法 经历二次根式运算法则的形成过程，体会类比的数学思想方法 三、情感态度与价值观 1、在与同学交流讨论中，学会倾听、思考，大胆发表自己的观点，并体验学习的 快乐，养成严谨认真的解题习惯； 2、通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的简单的形式美。 教学重难点及解决措施重点：通过化简二次根式，合并被开方数相同的二次根式。 难点：正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用。 通过复习旧知识，使学生对于知识达到联结的目的，运用创设问题激发学生求知欲。使学生能全面参与学习，多动手动脑加强练习。达到每个学生在学习数学上有不同的发展。 教学过程
八年级数学下册《二次根式》单元测试能力提升卷 含答案 (原卷+详解)
人教版数学八年级下册单元测试能力提升卷 《二次根式》 一．选择题 1有意义，且关于x 的分式方程 3 211 m x x += --有正数解，则符合条件的整数m 的和是( ) A ．7- B ．6- C ．5- D ．4- 2．若23a <<( ) A ．52a - B ．12a - C ．25a - D ．21a - 3．把四张形状大小完全相同宽为1cm 的小长方形卡片（如图①)不重叠地放在一个底面为长方形（长为 ，宽为4)cm 的盒子底部（如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影 部分的周长和是( ) A ． B ．16cm C ．4)cm + D ．4)cm - 4．已知10a -<<( ) A ．2a B ．2 2a a + C ． 2a D ．2a - 5．已知： a ， b = ，则a 与b 的关系是( ) A ．0a b -= B ．0a b += C ．1ab = D ．22a b = 6．计算201820193)3)-的值为( ) A ．1 B 3 C 3 D ．3- 7．若实数x 满足|3|7x -=，化简2|4|x +( ) A ．42x + B ．42x -- C ．2- D ．2
8．如果 2 2 () 1 x f x x = + 并且f 表示当x 1 2 f== ，f 表示当x= 值，即 1 3 f== ，那么f f f f f f f +++++?++的值 是() A． 1 2 n-B． 3 2 n-C． 5 2 n-D． 1 2 n+ 9 () === === A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错 10．下列各式中，正确的是个数有() 2= a b =+ = A．1个B．2个C．3个D．0个 11．若实数m满足|4||3|1 m m -=-+ ，那么下列四个式子中与(m-相等的是() A B ．C D ． 二．填空题 12 a为． 13．若x，y 4 y=，则xy的值为． 14． =?观察下列各式：请你找出其中规律，并将第(1) n n 个等式写出来． 15．已知m 是实数，且m+ 1 m -都是整数，那么m的值是． 16．已知ABC ? 的三边长分别为AB= BC= AC=其中7 a>，
【学情分析】二次根式
《16.1二次根式》学情分析 一、思想状况分析 八年级3班大部分学生的学习目的性明确、学习积极性高，能主动地学习，部分同学有上进心，但主动性不够，需要老师的引导。八年级2班的学生学习目的不明确，不能积极主动地完成学业，甚至不能完成老师布置的作业。大部分学生正处在生长发育的高峰期，一方面他们对因青春期生理、心理急剧变化而产生的丰富而深刻的 感受和体验，有诸多成长的烦恼；另一方面面对沉重的学习、开放的社会环境带来的各种刺激和诱惑，难免不知所措。 二、学习状况分析 八年级是一个产生剧烈变化 的时期，更是一个危险的时期，也是一个爬坡的时期，是一个分水岭。 第一类:学习有一定的基础和很浓厚的兴趣.学生成绩稳定 第二类:基础差,但热情高,方法不当 第三类：学习有一定的基础，但因各种原因成绩（如懒、上课纪律差易开小差注意力不集中、不想上学的思想作怪等）就是提不上来。 第四类:基础差,没有太大的 兴趣,但尽量跟住老师.这些孩子 的家长当然也在督促。 第五类:跟不上正常的进度. 另外，大部分学生有学习目标，学习态度端正，学习积极性高，有一定的理解能力和分析判断推 理能力，但学习自主性不太强，基础较薄弱，通过小学的精心培养，学生们已经养成了良好的学习习 惯和行为习惯。语言文明，思想健康，积极、认真、扎实。但有的学生对自己的学习没信心，在自动放弃学习。
三、今后措 施 1、在教学中必须立足基础知识，加强基础知识的教学，要让学生通过历史知识的学习，养成良好的思维习惯，培养学生良好的学习习惯和严谨认真的学习态度，加强规范语言训练，提高答题得分率。 2、运用科学探究的方法，获取相应的知识，培养学生的情感和态度，扎扎实实打好基础，引领学生进入阅读世界、注重文献史料的积累借鉴，引导学生系统、牢固地掌握各课的知识考点，并培养他们运用所学知识分析问题、解决问题的能力。学生也从中得到了感性和理性的知识，对学习有很大的帮助。 3、多督促、多鼓励，调动学生学习的积极性和主动性，遵循贴近生活、贴近学生实际的教学思路，抓好平时辅导，给予学生帮助。
二次根式性质教案
新课** “二次根式性质 ” 教 学 案 例 学校名称： 五中 课程名称：数学 内容主题：二次根式 性质 教材版本： 人教版 教师姓名：孟丽花 简介： 容出自人教版九年级数学本课内（上）第二十一章第一节。采用“先学后导---自主合作---问题评价”的教学模式，运用自主、合作、探究的教学方法，通过生生、小组、师生互动，从而突出重点，突破难点，完成教学目标。体现了学生是学习的主人，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力。
授课年级九年级学 科 数学主 题 二次根式性质任课 教师 孟丽花 课型问题解决课课时 1 授课日期 教材分析 本节内容“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本节主要学习二次根式的性质，它是二次根式相关内容的发展，又是后面二次根式的基础，本节起到承上启下的作用。 学生分析 本节内容学生通过自学就能完成，学生自主、合作、交流，教师作为引路人，真正明确本节的内容。学生比较容易掌握。个别学生需进行个性化指导。 设计理念 新课程有效课堂教学明确倡导，学生是学习的主人，在学生自学文本的基础上动手实践、自主探究、合作交流，来倡导新的学习观，让他们完成二次根式性质知识研究。教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，与学生零距离接触共同探究。在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，把“要我学”变成“我要学”，通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，养成良好的学习习惯，掌握学习策略，并根据活动中示范和指导培养学生大胆阐述并讨论观点，说明所获讨论的有效性，并对推论进行评价。从而营造一个接纳的、支持的、宽容的良好氛围进行学习。
二次根式教学反思
二次根式教学反思 在二次根式这一章的学习中，重点是是掌握二次根式的运算，教学的关键是理解二次根式的性质，这块教学内容是在第十二章实数的基础上，着重研究二次根式。在本章教学中，存在以下问题： 1、在教学设计中，仍然存在着对学情分析不足，主要是过高估计学生的学习能力，一方面每节课设计的教学内容过多，经常一节课结束后还有不少内容没有完成，另一方面对以前学过的知识的复习工作做的不够，导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦。如对二次根式的性质的应用时，考虑到以前已经学过，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生在二次根式的化简过程中因此而出错。 2、九年级数学是新教材，在教学过程中，我的教学理念还没有及时更新，有时对新老教材的区别关注不够，从而导致教学不到位。在二次根式的化简中，老教材比较重视对具体数的化简，对字母的要求不高，一般都确保二次根式有意义，而新教材特别要求引导学生注意二次根式中字母的取值范围，要求培养学生严谨的学习态度和推断字母取值范围的能力。刚开始对这一要求理解不到位，没有对学生提出明确要求，也没有重视对典型错误的分析。 3、在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。在本章中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试。如判断二次根式中字母的取值范围、选取有理化因式、选择不同的运算途径等都可以让学生进行探究和归纳。在二次根式的运算中我就直接告诉学生：加减运算时利用公式，乘除时利用公式和，结果大部分学生并不接受。若能让学生在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高。 4、在学生的学习方面，也有值得反思的地方我班的学生在老师指导下学习数学方面的积极性并不差，但自主学习方面还存在着不足。遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强、作业只求完成率而不讲质量、学习的竞争意识和自我要求明显缺乏。这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导，加强改进，提高教学实效。 《二次根式》说课稿 克井一中司永萍一、教材分析 本章是在第13章的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。第一节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。
人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式教案
16.1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 知识与技能目标：a≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点关键 1a≥0）的式子叫做二次根式的概念. 2a≥0）”解决具体问题． 教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。 2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。 学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。 2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。 4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程 一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标 是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． B A 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x ）． 问题2：由勾股定理得 二、探索新知 都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， 我们就把它称二次根式．因此，一般地， a≥0）的式子叫做二次根式， ” 称为二次根号． 议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、、 、 1 x y + （x≥0，y≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． 解： （x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二次
二、二次根式能力拓展题(提高篇)
二、二次根式能力拓 展题(提高篇)
二次根式综合水平测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2)2(-＝－2ab ．（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．（ ） 4．ab 、31 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－815 27102÷31225 a ＝______． 8．a －12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝____________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝____________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．
15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝___________． 三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x 2 （C ）－2x （D ）2x 19．化简a a 3 -(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 四、在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分） 21．9x 2－5y 2； 22．4x 4－4x 2＋1． 五、计算题：（每小题6分，共24分）
二次根式化简教学设计
《16.1 二次根式的化简》教学设计 一、内容及内容分析： 1.内容：二次根式的性质，代数式的概念。 2.内容解析： 《二次根式的化简》是人教版八年级数学下册的内容，本节课的内容是学生在学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质。对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论。 二、教学目标分析 1.知识与技能： ①经历探索性质 和 的过程，并理解其意义； ②会运用性质 和 进行二次根式的化简； ③了解代数式的概念。 2.过程与方法：发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 3.情感态度与价值观：通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。 三、学情分析 学生已经学习了“整式”“算术平方根”“二次根式的概念”等知识，已经具备了学习二次根式性质的知识基础和心理基础，二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础，学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题，对于八年级下学期学生而言，推理意识相对较强，基于以上考虑，本节课的指导思想是充分发挥学生在学习中的主体作用，从“问题提出——细心观察——合作探究——归纳总结——学会应用”的过程中主动参与、积极探索。由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，为了突破这一难点教师精心挑选练习题，按照由易到难分层次让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，从而克服学习的困难，真正“学会”，为后续的学习打下坚定的基础。 教学重点：理解二次根式的性质。 教学难点：灵活运用二次根式的性质。 教学方法：分组学习，合作探究，引导式教学 教具：微课、多媒体课件 四、教学过程： （一）情景引入 在课前精心制作一段有关这节课学习内容的微课，用《二次根式的化简》微课创设情境，导入新课。 师生活动：师生一起观看微课。 2=a a a （≥0)2 =a a a （≥0)
二次根式能力拓展题提高篇
二次根式能力拓展题提高 篇 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
二次根式的计算与化简（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2）x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a > 3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：221,39 a b ==。 5、计算：) ...1 + 6、已知1a =，先化简222 2214164821442 a a a a a a a a a a a --+++÷--+-+-,再求值。 7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 8、已知：2 323-+= a ，2 323+-= b ，求代数式223b ab a +-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 11212122 2- -+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ ⑶ ⑷. a b a b ??+--
13、已知：11a a +=221 a a +的值。 14、已知 () 1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2 )2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31 ，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－8 15 27102 ÷31225 a ＝_． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋ 122 +-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2 22 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分）
华师大版数学九上二次根式能力训练题
二次根式的计算与化简（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2） x x x x x 5022322123-+ （30)a > 3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：221,39 a b ==。 5、计算： ) (1) 6、已知1a =，先化简 2222214164821442 a a a a a a a a a a a --+++÷--+-+-,再求值。 7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 8、已知：2323-+=a ，2 323+-= b ，求代数式2 23b ab a +-的值。 9、已知30≤≤ x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 11212122 2- -+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ ⑶ ⑷. a b a b ??+--
13、已知：11a a + =+221a a +的值。 14、已知 ()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2 )2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31 ，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－8 15 27102 ÷31225 a ＝_． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 2 22 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________．
苏科版八年级下册 12.3 二次根式的加减 能力提升练习(含答案)
（苏科版)八年级下册第12章二次根式 12.3二次根式的加减能力提升 一、单选题 1．下列计算正确的是（ ） A = B ．2= C = D 2÷= 2合并的是（ ） A B C D 34=成立，则□内的运算符号是（ ） A ．+ B ．- C ．? D ．÷ 4a 的值为（ ） A ．54- B ．54 C ．﹣1 D ．1 5．下面是某同学在一次作业中的计算摘录：①3a+2b=5ab ②4m 3n ﹣5mn 3=﹣m 3n ﹣2：③4x 3÷（﹣2x 2）=﹣2x ； ④4a 3b?（﹣2a 2b ）=﹣8a 5b 2：⑤（a 3）2=a 6；= ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知3a =2b =+()()226944a a b b -+-+的值是（ ） A ．20 B ．16 C ．8 D ．4 7．已知 a = ，2b =-a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b = B ．a b < C ．a b > D ．不能确定 8．如果m 2+m =0，那么代数式（ 221m m ++1）31m m +÷的值是（ ） A B ． C + 1 D + 2 9．若a 、b 分别是2a-b 的值是（ ） A ． B ． C D ．
10．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加， 就成为了一个面积为2192cm 的正方形，则原长方形纸片的面积为（ ） A ．218cm B ．220cm C ．236cm D ．248cm 11．设1199++S 的最大整数[S]等于( ) A ．98 B ．99 C ．100 D ．101 二、填空题 12．a ＝_____ 13的结果为__________． 14．请写出一个二次根式__________ 15．比较大小：“＞”、“=”、“＜”） 16．已知m +3n 的值为﹣m ﹣3n 的值是__． 17的倒数是____． 18，则这个三角形的面积是__________2cm ． 19．已知，实数x 满足2220202021x =+__________． 20．对于任意两个正数m ，n ，定义运算※为：m ※n ＝{ √m ?√n(m ≥n)√m +√n(m 第16章二次根式单元教学计划 教材容 1、本单元教学的主要容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式。 2、本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是数与代数中重要容之一。前面学生较系统地学习了有理数及其运算；学习了平方根和算术平方根、立方根的概念、用根号表示数的平方根、立方根；知道了开方与乘方互为逆运算，会用平方运算和立方运算求某些非负数的平方根以及某些数的立方根。教学目标 1、知识与技能 （1）理解二次根式的概念。 （2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a（a≥0），2a=a（a≥0）。 （3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·bab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）。（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减。 2、过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念。?再对概念的涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简。 （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算。 （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简。（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念。利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的。 3、情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力。 教学重点 1、二次根式（a≥0）的涵。a（a≥0）是一个非负数；（a）2＝a（a≥0）； 2a=a（a≥0）及其运用。 2、二次根式乘除法的规定及其运用。3。最简二次根式的概念。4。二次根式的加减运算。 教学难点 1、对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）2＝a（a≥0）及2a=a（a≥0）的理解及应用。 2、二次根式的乘法、除法的条件限制。 3、利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式。 教学关键 1、潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点。 2、培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神。 单元课时划分 本单元教学时间约需9课时，具体分配如下： 16．1二次根式 2课时 16．2二次根式的乘法 3课时 16．3二次根式的加减 2课时 二次根式能力提升学生版 第二次 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．给出下列结论： 1在3和4之间； 中x 的取值范围是1x ≥-； 3； ④5=- 5 8 >．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．若2019202120192020a =?-? ，b = ，c =a ，b ，c 的大小关 系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a << 3．如果关于x 的不等式组0,2 223x m x x -?>???-?-<-?? 的解集为2x > 有整数m 的个数是（ ）． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 二、解答题 4 == == （1 = ； （2 98++ + 5．先阅读，再解答:由 2 2 2= -= 可以看出，两个含有二次根式的代数 式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ==，请完成下列问题： 1的有理化因式是 _______； (2) = _____．（直接写结果） >或<） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： ) 1 6．观察下列各式及证明过程： = =； = === === === （1 n≥）表示的等式．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且1 7．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： == 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 的大小．可以先将它们分子有理化如下： = = > 再例如：求y= 的最大值．做法如下： 解：由2 0,20 x x +≥-≥可知 2 x≥，而 y == 当2 x= 2 ，所以的最大值是2． 解决下述问题： （1）比较4 和 （2）求y= 二次根式总复习教学反思 富县张村驿初中马小戎 前不久，我进行了二次根式的总复习。通过复习发现在不少同学遇到了这样的情况：每个新学的知识点都懂，后面的习题也会做，但到了一章学完以后，不仅综合性的题不会做，甚至连做过的习题也不会做了．对这一奇怪现象，我认为是由于知识遗忘、综合运用能力不高而造成的正常现象，不必为此惊慌．事实真的是如此吗？其实，正常现象之说是站不住脚的，由于教材上每节课后面的习题与知识点同步，因此多数题能用本节知识对号入座地解出，所以根本原因在于平时的学习之后出了问题。也就是学生缺乏一定的整理、归纳、小结和复习知识的能力。整理和复习在数学教学中占有重要的地位，做好这一内容的教学对提高整个数学复习效率，促进学生素质全面发展具有重要的意义。 我上这节复习课时，采用了多媒体教学。本课的教学设计是这样的： 教学目标： 1、通过复习、归纳，切实理解三个概念，熟练掌握四条性质，正确进行三种运算。 2、综合运用本章知识进行二次根式的化简、求值，培养学生的运算能力。通过复习，培养学生整理、归纳、总结、概括知识的能力。通过复习，培养学生反思、整合、运用、创新的能力。 3、通过小组讨论交流，培养团队合作精神，提高学生学习数学的兴趣。 教学过程： 一、切实理解三个概念： 二次根式、最简二次根式、同类二次根式 二、熟练掌握四条性质——运算依据 三、正确进行三种运算. 四、三个非负数： 实数的偶次幂，实数的绝对值，一个正实数的算术根 1、实数的偶次幂是非负数. 2、实数的绝对值是非负数。 3、一个正实数的算术平方根是非负数。复习课既不同于新授课，更不同于练习课。复习课不是旧知识的简单再现和机械重复，而是把平时相对独立地进行教学的知识，其中特别重要的是把重要的、带有规律性的知识，以再现、整理、归纳等办法串起来，进而加深学生对知识的理解、沟通，并使之条理化、系统化。 数学教材是一个整体，各单元之间联系紧密，在一定的阶段，就要引导学生对概念间作纵向、横向联合的归类、整理，找出概念间的内在联系，将平常所学孤立的、分散的知识串成线，连成片，结成网。这样有助于学生从整体上理解和掌握概念间的内在联系，以便记忆和运用。 我在教学前布置了任务：为上这一堂复习课作准备。 1、仔细阅读“二次根式”这一章，整理、归纳、小结其中的概念、性质等知识。 2、我组织各组长一起备课，指导学生怎样针对知识的重点、学习的难点，引导学生按一定的标准把有关知识进行整理、分类、综合。 3、由组长组织各组员对整理的知识加以讨论、交流。 4、我组织各组长又一起备课，要求针对整理的知识，选择一些巩固练习。 这样做的目的是通过学生自己整理知识，搞清楚来龙去脉，形成各异、互相评价，开展争辩。这样有利于主体性的发挥，把学习的主动权交给学生，让学生主动参与，体验成功，同时也可以培养他们的概括能力。 如何上好一节复习课呢？如何对复习课进行创新教学呢？针对这节复习课反思如下： 一、培养学生整理和复习知识的能力。 （1）让学生经历系统整理和复习所学数学知识的过程，并在这个过程中进一步感受不同数学知识之间的内在联系和相似内容之间新人教版第16章二次根式全章教(学)案
2021年二次根式能力提升学生版版
《二次根式总复习》教学反思