2015浙江省数学竞赛试题及答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）

1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22

221(,,0)x y a b R ab a b

+=∈≠经过点

(

)

2,1”的( A )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案：A.

解答：当a =2， 2b =曲线C ：22

221x y a b

+=经过

(

)

2,1；当曲线C ：22

221x y a b

+=经过

点

(

)

2,1时，即有

2

221

1a b

+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22

221x y a b

+=经过点

(

)

2,1”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．

A ． 1m >

B ． 312m <<

C ．3

32

m << D ．3m > 答案：B.

解答：由题意可知：

222

(1)2(2)(1)(1)

m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得3

12m <<。

3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．

A ．

36 B ． 1

2 C ． 3

3 D ．63 答案：C.

解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则

11

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2

D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为

1n = (1,1,1)，平面1MCD 法向量为2

(1,2,2)n =- 。因此123cos ,3

n n <>= ，即二面角第3题图

M

C 1

B 1D 1

A 1

C D A

B

M -CD 1-A 的余弦值为

33

。 4．若实数,a b 满足20

101

a b b a a +-≥⎧⎪

--≤⎨⎪≤⎩

，则22a b a b ++的最大值为 ( C )．

A ． 1

B ． 54

C ． 7

5

D ． 2 答案：C.

解答：由,a b 满足的条件知13b

a ≤

≤，所以

237225

2a b b

a b

a

+=-≤

++，当13

(,)(,)22a b =取等

号。

5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则

PQR ABC

S S ∆∆的最小值为( D )．

A ． 12

B ． 13

C ． 14

D ． 1

5 参考答案：D.

解答：如图5-1所示，

图5-1 图5-2

（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，

180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠ 所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应

用正弦定理得

,sin sin sin sin PR AR QR BR A APR B BQR

==.又45,A B ∠=∠=

故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.

A

B C

P Q

R

H

A

B

C

P R

Q

过R 作RH AC ⊥于H ，则1

2PR RH BC ≥=

,所以2

2

221

()124

PQR ABC

BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时

PQR ABC

S S ∆∆的最大值为

1

4

. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设

1,(01),(0)2

BC CR x x BRQ π

αα==≤≤∠=<<

,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=

在Rt CPR ∆中，,sin sin CR x

PR αα

=

= 在BRQ ∆中，3

1,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44

x

PQ RB x

B PQB αππα-=⇔=⇔∠+

1sin cos 2sin x ααα=+，因此2

221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα

∆===+. 这样，

PQR ABC

S S ∆∆2222

111

(

)cos 2sin (12)(cos sin )5

αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时

PQR ABC

S S ∆∆的最小值为1

5

.

6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)

n nx a x x nx =

+++ ，*

n N ∈，若

1220151a a a +++< ，则实数x 等于（ D )．

A ．32-

B ．512

- C ．940- D ．1160- 答案：D.

(1)111

(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)

n nx a x x nx x x n x x x nx +-=

=-

+++++-++++

则

2015

1

1

11(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)

k k a x x x x x x ==-

<⇔+++>+++∑ ，所以

111111

(1,)(,)(,)(,)234201320142015

x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞ ，经检验只有1160x =-