第三节 牛顿迭代法分解

例7.3.1 解
用牛顿法解方程
xex 1 0.
（3.4）
这里牛顿公式为
xk 1 xk e x k xk , 1 xk
取迭代初值 x0 0.5 ，迭代结果列于表7-5中.
4
所给方程（3.4）实际上是方程 x e 的等价形式. 若 用不动点迭代到同一精度要迭代28次，可见牛顿法的收敛速 度是很快的.
2k
（3.6）
记
q x0 x0 C , C
整理（3.6）式，得
7
xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例7.3.2 求 115. 解 取初值 x0 10，对 C 115 按（3.5）式迭代3次 便得到精度为 10 6 的结果 （见表7-6). 由于公式（3.5）对任意 初值 x0 0 均收敛，并且收 敛的速度很快，因此可取确定 的初值如 x0 1 编成通用程序.
由于
g ( x)
f ( x) f ( x) . 2 [ f ( x)]
假定 x *是 f ( x) 的一个单根，即 f ( x*) 0, f ( x*) 0 ， 则由上式知 g ( x*) 0 ，于是依据可以断定， 牛顿法在根 x * 的邻近至少是平方收敛的.
3
又因
ek 1 ekp
表7 6 计算结果 k 0 1 2 3 4 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
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三 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点
牛顿法的缺点 每步迭代要计算 f ( x ) 及 f ( x ) ，计算量较大 k k 且有时 f ( xk ) 计算较困难， 二是初始近似 附近才能保证收敛， x0只在根x * 一
10
在（3.7）中取C
1 ，则称为简化牛顿法，这 f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x 轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
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（2）
牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x* 较远，则牛顿法可能发散.
例如，用牛顿法求方程
x 3 x 1 0.
（3.8）
在 x 1.5 附近的一个根 x *. 设取迭代初值 x0源自文库 1.5，用牛顿法公式
xk 1
3 xk xk 1 xk 2 3 xk 1
（3.9）
x3 1.32472.
计算得
x1 1.34783, x2 1.32520,
10.4 牛顿迭代法
一 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
x
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
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二 牛顿法应用举例 对于给定的正数 C ，应用牛顿法解二次方程
x 2 C 0,
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（3.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（3.5）式施行配方手续，易知
图7-3
2
注意到切线方程为
y f ( xk ) f ( xk )( x xk ).
这样求得的值 xk 1 必满足(1），从而就是牛顿公式（2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法. 牛顿法（2）的收敛性，可直接由上节定理得到，对（2） 其迭代函数为
f ( x) g ( x) x , f ( x)
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
6
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
收敛快，
如 x0 给的不合适可能不收敛.
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为克服这两个缺点，通常可用下述方法. （1） 简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为 （3.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x). 若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（3.7）局部收敛.
于是方程 f ( x) 0 可近似地表示为
f ( xk ) f ( xk )( x xk ) 0.
（1）
这是个线性方程，记其根为 xk 1 ，则 xk 1的计算公式为
1
xk 1 xk
f ( xk ) f ( xk )
( k 0,1, ),
（2）
这就是牛顿(Newton)法. 牛顿法的几何解释. 方程 f ( x) 0 的根 x * 可解释为曲线 y f ( x) 与 x 轴 的交点的横坐标（图7-3). 设 xk 是根 x *的某个近似值， 过曲线 y f ( x) 上横坐标为 xk 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 xk 1 作为 x * 的新的近似值.
迭代3次得到的结果 x3 有6位有效数字.
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但如果改用 x0 0.6 作为迭代初值，则依牛顿法公式 （3.9）迭代一次得
故
( p) f ( x*) e g ( x*) k 1 g ( x*) , . p f ( x*) ek p! ( p) g ( x*) . 可得 p! xk 1 x * f ( x*) （3.3） lim . k ( x x*) 2 2 f ( x*) k