固体物理(第5课)晶格振动一维单原子链PPT课件

比较
弹簧振子的简谐振动：
F
Kx
m
d2x dt2
Kx
令 2＝K
m
d2x dt2
2x
0，其解为：
x
A cos (t
)
（简谐振动）
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连续介质中的简谐平面 波：
Aei(tx)
A cos t
x u
A cos t
x
u
A cost
2
x
A cost
x
2 / T 2 u /T
令＝2 ，波数
利用欧拉公式可将三角函数表示为e指数形式。
m
qm
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速：
u
Y
常 数
Y： 杨 氏 模 量
： 物 质 的 线 密 度
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长 已不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则 ω是q的正弦函数．周期为２π/a。
3.1.4 周期性边界条件
晶格振动和声子
❖波的数学形式可以表示为波动函数 f(r,t)
❖波动函数形式复杂，某一种特殊的波，有一些基本 的传输模式，对固体中的振动模型，可以采用最简单 的一维单原子链的振动模型。 ❖一维晶体中长度为a的原胞中只含有一个质量为m的 球，它们被弹性系数为k的弹簧联起来，某一个球随时 间作纵向振动，所有球都会振动。
➢原子振动具有波料二象性，波动形式是晶格振动波， 是一种机械波。粒子形式是声子，不是实际粒子。 ➢晶格振动波： 一是分析晶体中晶格振动的模式数， 二是计算振动波的色散关系，即波动频率—波数的关 系。 ➢声子的种类和晶格振动波的模式数一一对应。 ➢声子的能量—动量关系与晶格振动波的色散关系也 是一一对应。
立值，q=2π/ λ= n π / L。
3.1 一维单原子链（一维布喇菲晶格）
1. 运动方程:简谐近似下的振动 （简谐振动）
原子质量：
原子标号：
平衡间距：
纵向位移：
向右
向左
m n a xn xn 0 xn 0
1.简谐近似
f ：常系数 ＝ a a 0： f 0，吸引力 0： f 0，排斥力
可以看出当2aqπ 增 时加 ，原子的n无 位任 移何 x 区别，或 认为频率为ω的 含波 着 q中q包 2πl( l Z)个不同的波
a
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
长波近似
(q)2 sinqa
m 2
当q0， 即 时 ：
(q) qa(q) a常 数即 波u速 常 数
当
q
2 a
l：
( q ) min
0
q
a
(2l
1 )：
( q ) max
2
m
l Z
色散曲线（振动频谱）
q 弹性介质波
(q)2 m sinq2a
周期函数，周 2 期倒 为易原胞长度
a
若qq2al(lZ)，(q)＝(q)xn(q)xn(q) xn Aei(tqn)a
将q限制－ 在a， a第一布里渊区
连续介质中的简谐平面 波： Ae i(t x )
格波： Ae i(t qna )
(1)
： 波 数 ，
2
q：波矢，大小为
2
，方向沿波的传播方向
(2) 可a取任q 意 实 数a ，且只可取分立值
x：连续介质中任意点的 位置 (3) na ：格点的位置
3.1.3 晶格振动的色散关系
m
d 2xn dt 2
(xn1xn12xn)
运动方程的解
由N个原子组成的一原维子链中有N个这样方的程
m
d 2xn dt2
β(xn1 xn1 2xn )
设方程的解为： xn Aei(ω(qna)
A： 振幅
ω： 振动的角频率
eico sisin
qna： 第n个原子振动的位因相子
在简谐近似下，一维单原子链中原子的振动是频率为 的平面波，称之为格波。
爱因斯坦：固体比热容理论，将n个原子的振动简 化为3n个谐振子，量子化假设，得到了比热容温度公 式。
玻恩和卡门：原子振动以晶格波的形式存在，创立 了晶格动力学。
德拜：简化了上述理论。
晶格动力学被应用到热力学性质，热传导，电导、 介电、光学和X射线衍射等方面。
声子：晶格振动波的能量量子。
晶格动力学
第3章 晶格振动和晶格的热学性质
晶体原子不是静止状态，而是在作热运动。 晶体中的粒子在其平衡位置附近作微振动，而且由于 晶体内原子间存在相互作用力，因此各个原子的振动 不是孤立的，而是相互联系的。 整个晶格可以看作是一个互相耦合的振动系统，这个 系统的运动通常称为晶格振动。
晶格振动不仅对晶体的比热、热传导、热膨胀有影响， 而且和晶体的电学性质、光学性质、介电性质也有密 切联系。 利用晶格振动理论可对它们进行统一描述。
(xn1
xn1 2 xn )
x n Ae i ( t qna )
将 x n 代入上式若发现如果有
下式成立
m 2 2 1 cos( qa ) 4 sin 2 qa
2
( q ) 2 sin qa m 2
则满足振动方程
ω 和 q 的这种关系称为色散关
系或色散曲线 .
前言 固体中热现象研究
能量守恒定律 ➢热的本质：大量微观粒子无规则运动的宏观表 现。
➢气体热能量的定量计算气体的内能就是气体分子无 规则运动体现的热能量。
➢固体热能量：位置固定，晶格振动。 ➢原子振动对固体比热容的贡献是主要来源。其次金
属中的电子在接近0k时有重要作用，铁磁体中的自 旋波对比热容也有影响。
弹性波（纵波）的振动
q 其中 q2(波矢 ) Y
其中 2
T
2
v2
2
q 其 v q 中 2 Y
上式是弹性波纵波的公式， ω是圆频率， v是波速，
ρ是介质密度，Y是扬氏弹性模量。
如果介质无穷长，q可取任意值，如果介质有长度为L，
则将形成驻波，L=n·λ/2，即1/λ = n / 2L。所以q只能取分
(rn1rn)(rn1rn)
rn1rn1(rnrn)xn1xn
f (xn1xn)
简谐近似下的运动方程
n 号原子的受力：
f 左＝－
f 右＝－
x n x n 1 xn1 xn
f 左 与 f 右 方向相反
f f左 f右
(xn1xn12xn)mdd2xt2n
md2xn dt2
波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 xN1 Aei(tqa) Aei[tq(N1)a] eiqNa1
qNa2l lZq2l 2 l b l
Na a N N
q Nl N l只能N取 个不同的整
a
a2
2
在由N个原胞构成的一维单原子链中，q只能取N个不同 的分立值，这个数目等于链中含有的原胞数。