江苏省南京市盐城市高考数学二模试卷解析版

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数f（x）=ln的定义域为．
2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=．3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：
不喜欢戏剧喜欢戏剧
男性青年观众4010
女性青年观众4060
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为．
5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为．
6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为．
7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为．9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．
10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是
（填上所有正确命题的序号）．
①若α∥β，m?α，则m∥β；
②若m∥α，n?α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．
13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则?的最小值为．14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f （x）≤0恒成立，则的最小值为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，
DC=2．
（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．
16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（1）求证：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．
17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．
19．已知函数f （x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．
①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；
②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n
﹣，
+1
（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．
（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．
数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；
（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：
（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：
设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．
（1）求p2的值；
（2）证明：p n＞．
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数f（x）=ln的定义域为（﹣∞，1）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：由题意得：＞0，
解得：x＜1，
故函数的定义域是：（﹣∞，1）．
2．若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=﹣1﹣i．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得．
【解答】解：∵z（1﹣i）=2i，
∴，
∴．
故答案为：﹣1﹣i．
3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．
【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，
∴基本事件总数n=3×3=9，
甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，
∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率p=．
故答案为：．
4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：
不喜欢戏剧喜欢戏剧
男性青年观众4010
女性青年观众4060
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为30．
【考点】分层抽样方法．
【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：由题意=，
解得n=30，
故答案为：30
5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为17．
【考点】伪代码．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=9时不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=1，I=1
满足条件I≤8，S=2，I=3
满足条件I≤8，S=5，I=5
满足条件I≤8，S=10，I=7
满足条件I≤8，S=17，I=9
不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．
故答案为17．
6．记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为31．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q的值，则S5的值可求．
【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a1=1，则S4=4，5S2=10，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），
由a1=1，S4=5S2，得=5a1（1+q），
解得q=±2．
∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=2．
则S5==31．
故答案为：31．
7．将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f（x）+g（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求
得函数y=f（x）+g（x）的最大值．
【解答】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）=sin（x﹣）的图象，
则函数y=f（x）+g（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）的最大值为，
故答案为：．
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为6．【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A 点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF长．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=6x，
∴焦点F（，0），准线l方程为x=﹣，
∵直线AF的斜率为﹣，
直线AF的方程为y=﹣（x﹣），
当x=﹣时，y=3，
由可得A点坐标为（﹣，3）
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（，3），
∴|PF|=|PA|=﹣（﹣）=6．
故答案为6．
9．若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】根据α∈（0，），求解出α﹣∈（，），可得cos（）
=，构造思想，cosα=cos（α），利用两角和与差的公式打开，可得答案．【解答】解：∵α∈（0，），
∴α﹣∈（，），
sin（α﹣）=，
∴cos（）=，
那么cosα=cos[（α）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin==
故答案为：．
10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是①④（填上所有正确命题的序号）．
①若α∥β，m?α，则m∥β；
②若m∥α，n?α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m∥n或m与n异面；在③中，m与β相交、平行或m?β；在④中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β．
【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：
在①中，若α∥β，m?α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；
在②中，若m∥α，n?α，则m∥n或m与n异面，故②错误；
在③中，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与β相交、平行或m?β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：①④．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于
点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为3．【考点】点到直线的距离公式．
【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．
【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．
∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y ﹣4=0垂直．
∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．
故答案为：3．
12．若函数f（x）=x2﹣mcosx+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为{﹣4，2} ．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，即可得出结论．【解答】解：由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m2+3m﹣8=0，
∴m=﹣4或2，
故答案为{﹣4，2}．
13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则?的最小值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】设A（a，b），B（c，d），由已知向量可得C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），求得=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），代入?，展开后利用配方法求得?的最小值．
【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
∵=（1，2），=（﹣2，2），
∴C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），
则=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），
∴?=（c﹣a）（c﹣a﹣3）+（b﹣d）2
=（c﹣a）2﹣3（c﹣a）+（b﹣d）2=．
∴?的最小值为﹣．
故答案为：﹣
14．已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f （x）≤0恒成立，则的最小值为﹣．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求出，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，由题意当x=时，f（x）取最大值0，推导出（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）=，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用导数性质能求出的最小值．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数，∴，x＞0，
当a≤e时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，
当a＞e时，由，得x=，
∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=时，f（x）取最大值，
f（）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，
∴ln（a﹣e）+b+1≥0，
∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），
∴（a＞e），
令F（x）=，x＞e，
F′（x）==，
令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，
H′（x）=ln（x﹣e）+1，
由H′（x）=0，得x=e+，
当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，
x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，
∴当x=e+时，H（x）取最小值H（e+）=﹣e﹣，
∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，
∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，
当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，
∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）==﹣，
∴的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，
DC=2．
（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．
【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．
【分析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα=，tanβ=，利用两角和的正切函数公式可求tan∠BAC=1．结合范围∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC 的值．
（2）设∠BAD=α．由正弦定理可求sinα=，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本小题满分14分）
解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β．
因为AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，
所以tanα=，tanβ=，…
所以tan∠BAC=tan（α+β）===1．…
又∠BAC∈（0，π），
所以∠BAC=．…
（2）设∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC=，AD=6，BD=3．
由正弦定理得=，解得sinα=．…
因为AD＞BD，
所以α为锐角，从而cosα==．…
因此sin∠ADC=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=（+）=．…
△ADC的面积S=×AD×DC?sin∠ADC=×6×2×=（1+）．…
16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（1）求证：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD ⊥AP．
（2）由CD⊥AP，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD．再推导出AB⊥AD，AP⊥AB，从而AB⊥平面PAD，进而CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AD⊥AP．…
又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD．…
因为CD?平面ABCD，所以CD⊥AP．…
（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD?平面PAD，AP?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．①…
因为AD⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD．
又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．②…
由①②得CD∥AB，…
因为CD?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB．…
17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；
（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
【解答】解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40，
从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）．…
因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣）2+，
故当x=时，侧面积最大，最大值为平方厘米．
（2）包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0，），b≤60．…
V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4x+4x2）=x
=4x3﹣240x2+3600x．…
当且仅当a=b=60时等号成立．
设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；
当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．
因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，…此时a=b=60，x=10．
答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．…
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： +=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意得e2=，．又a2=b2+c2，，解得b2；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．
联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可设直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2=8，由MN∥l，得
由（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．得（x M﹣x N）2=4x2=．即可．
（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而
，由=得
…①，由（2）知…②由①②得
?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2
【解答】解：（1）因为椭圆椭圆C： +=1经过点（b，2e）所以．因为e2=，所以，
又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．
所以椭圆C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．
联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，
所以x1+x2=，x1x2=．
因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，
联立直线MN与椭圆方程
消去y得（2k2+1）x2=8，
解得x2=
因为MN∥l，所以
因为（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．
（x M﹣x N）2=4x2=．
所以=．
（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），
从而，
∵=，…①
由（2）知…②
由①②得?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．
又因为k＞0，所以k=．…
19．已知函数f （x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=e，函数g （x）=（2﹣e）x．
①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间；
②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；
（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，
①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣1，h′（x）=e x﹣2，
由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（﹣∞，ln2）递减；
②f′（x）=e x﹣e，
x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）递减，
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，
m≤1时，f（x）在（﹣∞，m]递减，值域是[e m﹣em﹣1，+∞），
g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），
∵F（x）的值域是R，故e m﹣em﹣1≤（2﹣e）m，
即e m﹣2m﹣1≤0，（*），
由①可知m＜0时，h（x）=e m﹣2m﹣1＞h（0）=0，故（*）不成立，
∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e﹣3＜0，
∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；
m＞1时，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，m]递增，
故函数f（x）=e x﹣ex﹣1在（﹣∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[﹣1，+∞），g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）上递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m），
∵F（x）的值域是R，∴﹣1≤（2﹣e）m，即1＜m≤，
综上，m的范围是[0，]；
（2）证明：f′（x）=e x﹣a，
若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，
由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，
∴a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，
若x1，x2∈（﹣∞，lna]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，同样不能有x1，x2∈[lna，+∞），
不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，
∵f（x）在（x1，lna）递减，在（lna，x2）递增，且f（x1）=f（x2），
∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），
由0≤x1＜x2≤2且|x1﹣x2|≥1，得1∈[x1，x2]，
故f（1）≤f（x1）=f（x2），
又f（x）在（﹣∞，lna]递减，且0≤x1＜lna，故f（x1）≤f（0），
故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），
即，解得：e﹣1≤a≤e2﹣e﹣1，
∴e﹣1≤a≤e2﹣e．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n
﹣，
+1
（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．
（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．
【考点】等差关系的确定；数列递推式．
【分析】（1）数列{a n}是公差为2的等差数列，可得a n=a1+2（n﹣1），=a1+n
﹣1．代入（n+2）c n=﹣即可得出c n．
（2）由（n+1）b n=a n+1﹣，可得：n（n+1）b n=na n+1﹣S n，（n+1）（n+2）b n+1=﹣S n+1，相减可得：a n+2﹣a n+1=（n+2）b n+1﹣nb n，代入化简可得c n=（b n+b n （n+1）a n
+2
）．b n≤λ≤c n，λ≤c n=（b n+b n﹣1）≤λ，故b n=λ，c n=λ．进而得出．
﹣1
【解答】（1）解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1），=a1+n ﹣1．
∴（n+2）c n=﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得c n=1．
（2）证明：由（n+1）b n=a n+1﹣，
可得：n（n+1）b n=na n+1﹣S n，（n+1）（n+2）b n+1=（n+1）a n+2﹣S n+1，
相减可得：a n
﹣a n+1=（n+2）b n+1﹣nb n，
+2
可得：（n+2）c n=﹣=﹣[a n+1﹣（n+1）b n]
=+（n+1）b n=+（n+1）b n=（b n+b n
），
﹣1
因此c n=（b n+b n﹣1）．∵b n≤λ≤c n，
∴λ≤c n=（b n+b n﹣1）≤λ，故b n=λ，c n=λ．
﹣，（n+2）λ=（a n+1+a n+2）﹣，
∴（n+1）λ=a n
+1
﹣a n+1）=λ，即a n+2﹣a n+1=2λ，（n≥2）．
相减可得：（a n
+2
又2λ==a2﹣a1，则a n+1﹣a n=2λ（n≥1），∴数列{a n}是等差数列．
数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；
（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）由切割线定理可得BC2=BM?BA．由此可得方程，即可求线段AM的长度；
（2）证明△BMN∽△BCA，结合AB=2AC，即可证明：BN=2MN．
【解答】（1）解：由切割线定理可得BC2=BM?BA．
设AM=t，则
∵AB=8，BC=4，∴16=8（8﹣t），
∴t=6，即线段AM的长度为6；
（2）证明：由题意，∠A=∠MNB，∠B=∠B，
∴△BMN∽△BCA，
∴=，
∵AB=2AC，
∴BN=2MN．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】方法一：任取两点，根据矩阵坐标变换，求得A′，B′，代入直线的直线为l′即可求得a和b的值；
方法二：设P（x，y），利用矩阵坐标变换，求得Q点坐标，代入直线为l′，由ax+y﹣7=0，则==，即可求得a和b的值．
【解答】解：方法一：在直线l：ax+y﹣7=0取A（0，7），B（1，7﹣a），
由=，则=，
则A（0，7），B（1，7﹣a）在矩阵A对应的变换作用下A′（0，7b），B′（3，b （7﹣a）﹣1），
由题意可知：A′，B′在直线9x+y﹣91=0上，
，解得：，
实数a，b的值2，13．
方法二：设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q （x′，y′），
则=，
∴，
由Q（x′，y′），在直线l′：9x+y﹣91=0．即27x+（﹣x+by）﹣91=0，
即26x+by﹣91=0，
P在ax+y﹣7=0，则ax+y﹣7=0，
∴==，
解得：a=2，b=13．
实数a，b的值2，13．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：
（k为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】方法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．联立求出交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．
方法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．直线l的参数方程代入抛物线C的方程得4t2﹣15t﹣25=0，利用AB=|t1﹣t2|=即可得
出．
【解答】解：（方法一）直线l的参数方程化为普通方程得4x﹣3y=4，
将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．…
联立方程组解得，或
所以A（4，4），B（，﹣1）．…
所以AB═．…
（方法二）将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x．…
直线l的参数方程代入抛物线C的方程得（t）2=4（1+），即4t2﹣15t﹣25=0，
所以t1+t2=，t1t2=﹣．…
所以AB=|t1﹣t2|==．…
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）
【考点】不等式的证明．
【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论．
【解答】证明：∵a≠b，
∴a4+6a2b2+b4﹣4ab（a2+b2）=（a﹣b）4＞0，
∴原不等式成立．
[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．
【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上，=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面
AEF，即可求实数λ的值．
【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，
所以A1A⊥平面ABCD．
又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．
在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．
因为E是BC中点，所以BC⊥AE．
因为BC∥AD，所以AE⊥AD．
建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），
A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．
（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），
所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=．…
（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且=λ，
则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．
则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）．…
设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．
因为=（，0，0），=（，，1），
由，得x0=0，y0+z0=0．
取y0=2，则z0=﹣1，
则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）．…
由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…
26．现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：
设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．
（1）求p2的值；
（2）证明：p n＞．
【考点】数列与不等式的综合．
【分析】（1）由题意知p2==，
（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=，即可求出为p n，再根据二项式定理和放缩法即可证明．
【解答】解：（1）由题意知p2==，即p2的值为．
（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=；
去掉第n行已经排好的n个数，
则余下的﹣n=个数中最大数在第n﹣1行的概率为=；…
故p n=××…×==．
由于2n=（1+1）n=C n0+C n1+C n2+…+C n n≥C n0+C n1+C n2＞C n1+C n2=C n+12，
故＞，即p n＞．
2017年4月1日。