线性电路分析方法

2.１.６ 实际电流源的电路模型
1、用理想电流源和电阻并联作为实际电流源的电路模型，如图。
2、端钮伏安关系：I=IS-GSU 当 U=0、I=IS，IS 为实际电流源端钮短路时输出电流 —— 短路电 流； 当I=0，即实际电流源开路时，U=ISRS——开路电压； 当R→∞，I=IS——理想电流源，RS为实际电流源的内阻。
例: 如图电路，求含电压源的最简等效电路。
5Ω 1Ω 4Ω 3Ω 3A 2Ω 1Ω + 12V 2Ω 8Ω 5V +
2．２ 电阻的Ｙ与△联接的等效变换
三个电阻可以接成星形，也可以接成三角形，两者可以等效变换。 1、Y→△：
R12 R1 R 2 R1R 2 R3 R1 R3
R2 R R R23 R2 R3 2 3 R1 当 R1=R2=R3=RY，R12=R13=R23=Ry 时， 有R △= 3 R Y
注意：等效时要先确定等效电流源IS的参考方向。
2.１.１１ 含独立源和电阻的二端网络的化简
结论：由独立源和电阻串、并联及混联联接组成的二端网 络总可以化简为一个电压源和一个电阻的串联组合或一个 电流源和一个电阻的并联组合。 化简方法：反复运用电阻的串、并联等效，理想电压源、 电流源的串、并联等效，实际电源两种模型的等效。
2.3.2、含独立电流源电路的网孔方程 这种电路不能用通用方程式计算： 1、若有电阻与电流源并联，则转化为电压源电路； 2、若没有电阻与电流源并联，则增加电流源两端电压做 变量建立方程，这时需补充电流源与网孔电流的关系方 程。 例2-14：
2．4 节点电压分析法
在电路中任意选择一个节点为非独立节点，称此节点 为参考点。其它独立节点与参考点之间的电压，称为该 节点的节点电压。 节点电压法是以节点电压为求解电路的未知量，利用 基尔霍夫电流定律和欧姆定律导出（ｎ–１）个独立节点 电压为未知量的方程，联立求解，得出各节点电压。然 后进一步求出各待求量。 节点电压法适用于结构复杂、非平面电路、独立回路 选择麻烦、以及节点少、回路多的电路的分析求解。对 于n个节点、m条支路的电路，节点电压法仅需（n – 1） 个独立方程，比支路电流法少[m –（n – 1）]个方程。
孔。
根据以上分析，网孔①、②、③的电流方程可写成：
R11 iℓ1 + R12 iℓ2 + R13 iℓ3 = uS11 R21 iℓ1 + R22 iℓ2 + R23 iℓ3 = uS22 R31 iℓ1 + R32 iℓ2 + R33 iℓ3 = uS33
这是具有三个网孔电路的网孔电流方程的一般形式。也 可以将其推广到具有 n 个网孔的电路， n个网孔的电路 网孔电流方程的一般形式为 R11 iℓ1 + R12 iℓ2 + … + R1n iℓn = uS11 R21 iℓ1 + R22 iℓ2 + … + R2n iℓn = uS22 ┇ Rn1 iℓ1 + Rn2 iℓ2 + … +Rnn iℓn = u S n n 综合以上分析，网孔电流法求解可以根据网孔电流方 程的一般形式写出网孔电流方程。 其步骤归纳如下：
2.１.５ 实际电压源的电路模型
1、实际电压源用理想电压源和电阻串联作为电路模型，如图。
2、端钮伏安关系式：U=US-IRS 当I=0时，即实际电压源空载时，U=US，称US为空载电压；
US 当U=0时，即实际电压源短路时， I RS
——短路电流；
当RS=0时，U=US——理想电压源；RS称为实际电压源的内阻。
等效的条件：US=IRS，RS=RS’。
2、实际电压源模型等效变换为实际电流源模型：
US ' , RS RS 等效条件为： I S RS
注意：电流源参考方向与电压源参考极性一致。
3.实际电流源模型等效变换为实际电压源模型：
' 等效条件为： U S I S RS , RS RS
注意：IS和US的参考方向应一致。
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2.4.1 节点电压方程式的一般形式 图2-3所示是具有三个节点的电路，下面以该图为例说明 用节点电压法进行的电路分析方法和求解步骤，导出 节点电压方程式的一般形式。
首先选择节点③为参考节点，则u3 = 0。设节点①的电压 为u1、节点②的电压为u2，各支路电流及参考方向见图 2-3中的标示。应用基尔霍夫电流定律，对节点①、节 点②分别列出节点电流方程
网孔电流法是以网孔电流作为电路的变量，利用基 尔霍夫电压定律列写网孔电压方程，进行网孔电流的 求解。然后再根据电路的要求，进一步求出待求量。 2.3.1 网孔电流法的一般步骤 网孔电流是一个假象沿着各自网孔内循环流动的 电流，见图2-4中的标示。设网孔①的电流为iℓ1；网孔 ②的电流为iℓ2；网孔③的电流为iℓ3。网孔电流在实际 电路中是不存在的，但它是一个很有用的用于计算的 量。选定图中电路的支路电流参考方向，再观察电路 可知，
2.１.２ 电阻的串联
由几个电阻相串联组成的二端网络N1，可以用一个电阻来等效（N2）， 如右图。 R为串联电阻的等效电阻， 可以证明：R=R1+R2+…+Rk， 简单证明如下，对N1,其伏安关系： U=I×(R1+R2+…+Rk) 对N2,其伏安关系：U=IR ∵N1与N2等效 ∴R=R1+R2+…+Rk
iS1 iS2
u1 u1 u 2 0 R1 R2
整理后可得：
iS 2 i S 3
(
u 1 u2 R2
u2 0 R3
1 1 1 ) u1 u 2 iS1 iS2 R1 R 2 R2
例:如图电路分别求含电流源和电压源的最简等效电路。
2.１.８ 两个结论
1、与理想电压源并联的元件（电流源或电阻）在求其 组成的二端网络的等效电路时可以去掉！ 2、与理想电流源串联的元件（电压源或电阻）在求 其组成的二端网络的等效电路时可以去掉！
2.１.９ 理想电压源的串联
如图，由3 个理想电压源串联组成的二端 网络N。 VAR: KVL：U-US1-US2+US3=0 ∴U=US1+US2-US3 可见， N 可以用 1 个理想电压源来等效 （参考极性上+下-）， US=US1+US2-US3，US 为几个 串联 电压源 的等效电压源。
2.１.３ 电导的并联
由几个电导并联组成的二端网络，可以用一个电导来等效。等效电导为： G= G1+G2+…+Gk
2.１.４ 电阻的混联
一个由电阻串并联组成的二端网络，也可以用一个电阻来等效。运用 电阻串并联等效变换，可以把一个复杂的纯电阻二端网络逐步化简为 一个等效电阻。
例:如图电路，求a、b端的等效电阻。
2.１.７ 两种电源模型的等效变换
实际电压源模型和实际电流源模型可以等效变换。 1、等效的条件：两个网络端钮上的伏安关系相同。
实际电压源模型的伏安关系： U U S IRS
实际电流源模型的伏安关系：I I S
U U I S RS IRS ' RS
①
②
当 US=IRS，RS=RS’（等效条件），①式②式完全相同，两种 电源模型等效。
假象的网孔电流与支路 电流电流有以下的关系
i1 = i ℓ1 i4 = iℓ2– iℓ1 i2 = iℓ2 i5 = iℓ1 + iℓ3 i3 = iℓ2 + iℓ3 i6 = iℓ3
用网孔电流替代支路电流列出各网孔电压方程：
网孔① 网孔② 网孔③ R1iℓ1+ R4（iℓ1 –iℓ2 ）+ R5（iℓ1 + iℓ3）= -uS1 R2iℓ2 + R4（iℓ2 –iℓ1）+ R3（iℓ2 + iℓ3）= uS2–uS3 R6iℓ3 + R3（iℓ2 + iℓ3）+ R5（iℓ1 + iℓ3）= - uS3
互电阻可正可负，如果两个网孔电流的流向相同，互电 阻取正值；反之，互电阻取负值，且Rij= Rji ，如R23 = R32 = R3。
（3） -u S1、u S2 – u S3 、-u S3 分别是网孔①、网孔
②、网孔③中的理想电压源的代数和。当网孔电 流从电压源的“ + ”端流出时，该电压源前取“ + ” 号；否则取“ - ”号。理想电压源的代数和称为网 孔i的等效电压源，用uS i i 表示，i代表所在的网
注意：等效时要先确定等效电压源US的参考极性。
2.１.１０ 理想电流源的并联
如图，由 3 个理想电流源并联组成的 二端网络N。 VAR: KCL：I=IS1+IS2-IS3 可见， N 可以用 1 个理想电流源来等 效（参考方向向上）， IS= IS1+IS2-IS，IS为几个并联电流源的 等效电流源。
（1）选定各网孔电流的参考方向
（2）按照网孔电流方程的一般形式列出各网 孔电流方程 。 自电阻始终取正值，互电阻前的号由通过互电阻上的 两个网孔电流的流向而定，两个网孔电流的流向相同， 取正；否则取负。等效电压源是理想电压源的代数和，
注意理想电压源前的符号。
（3）联立求解，解出各网孔电流。 （4）根据网孔电流再求待求量。
第二章 线性电阻电路分析方法
学习要求
1、深刻理解两个结构不同的二端网络等效的概念。 2、熟练掌握电阻串联、并联及串并联混联电路等效化简为 一个等效电阻的方法。 3、熟练掌握网孔、节点电压等常用电路分析方法。 4、掌握星形（Y）电阻网络与三角形（△）电阻网络等效 互换的方法。 5、掌握含源线性二端网络的电路分析方法。
节点① 节点② 用节点电压表示支路电流
iS1 iS2 i1 i2 0
iS 2 iS 3 i2 i3 0
u1 i1 G 1u1 R1 u1 u 2 i2 G 2 (u 1 u 2 ) R2
i3
u2 G 3u 2 R3
代入节点①、节点②电流方程，得到
将网孔电压方程进行整理为：
网孔① （R1 + R4 + R5 ）iℓ1 – R4iℓ2 + R5iℓ3 = -uS1
网孔② –R4iℓ1 +（R2 + R3+ R4）iℓ2 + R3iℓ3 = uS2 – uS3
网孔③ R5iℓ1 + R3iℓ2 +（R3 + R5 + R6）iℓ3 = - uS3
R13 R1 R3
2、△→Y
R12 R13 R1 R12 R13 R 23
R2 R12 R 23 R12 R13 R 23
R3 R13 R 23 R12 R13 R 23
当R1=R2=R3=RY，R12=R13=R23=R△时，有RY= 1/3 R△
2．3 网孔分析法
2 电阻电路的等效变换
2. 1 2．2 2．3 2．4 2．5 电阻单口网络 电阻的Ｙ／∆联接 网孔分析法 节点分析法 含受控源的电路分析
2. 1 电阻单口网络
1 、单口（二端）网络：由多个元件组成的电路，但只有两个端纽与外部连 接。二端网络的性质可以由其端钮的伏安特性表示。 2、无源二端网络：内部不含独立源的二端网络，一般可等效为一个电阻。 3 、有源二端网络：内部含独立源的二端网络，一般可等效为一个电压源和 一个电阻的串联，或一个电流源和一个电阻的并联。 4 、等效二端网络： 如果两个二端网络N1和N2端钮上的伏安特性完全相同， 则N1和N2等效。注意：1）等效是指N1和N2对外接电路的作用完全相同，即 端钮上等效，不是指内部结构相同。2）同一电路，端口不同，则等效电 路不同。 因为等效电路在电路中对外部电路的作用完全相同，所以等效电路在电路 中可以相互替换。
分析上述网络电压方程，可知 （1）网孔①中电流iℓ1的系数（R1+R4+R5）、网络②中电流 iℓ2 的 系 数 （ R2+R3+R4）、 网 孔 ③ 中 电 流 iℓ3 的 系 数 （ R3+R5+R6）分别为对应网孔电阻之和，称为网孔的自电 阻，用Rij表示，i代表所在的网孔。 （2）网孔①方程中iℓ2前的系数（-R4），它是网孔①、网孔 ②公共支路上的电阻，称为网孔间的互电阻，用R12表示 ，R4前的负号表示网孔①与网孔②的电流通过R4 时方向 相反；iℓ3前的系数R5是网孔①与网孔③的互电阻，用R13 表示， R5 取正表示网孔①与网孔③的电流通过 R5 时方向 相同；网孔②、网孔③方程中互电阻与此类似。