国家坐标系与地方独立坐标系坐标转换方法与计算

国家坐标系与地方独立坐标系坐标转换方法与计算
作者姓名：岳雪荣
学号： 001
系(院)、专业：建筑工程学院、测绘工程14-1
2016 年 6 月 6 日
国家坐标系与地方独立坐标系坐标转换方法与计算
（建筑工程学院 14测绘工程专业）
摘要
随着我国经济的发展的突飞猛进，对测量精度要求的建设也越来越高，就是以便满足实际运行要求。

但在一些城市或大型工程建设中可能刚好在两个投影带的交界处，布设控制网时如果按照标准的3度或者度带投影，投影变形会非常大，给施工作业带来不便，此时需要建立地方独立坐标系。

认识国家坐标系的转换和地方独立坐标系统有一定的现实意义，如何实现两者的换算，一直是关注的工程建设中的热点问题。

因此，完成工程测量领域国家坐标定位成果与地方独立坐标成果的转换问题，以适应城市化和实际工程的需要。

关键词：国家坐标；独立坐标；坐标转换
目录
1绪论
背景和意义
主要内容
解决思路和方法
2 建立独立坐标系的方法3常用坐标系统的方法介绍
1 绪论
背景和意义
随着社会的经济快速发展，尤其是近十多年来空间测量技术突飞猛进，得到了长足的发展，其精度也大幅提高。

从测量的发展史来看，从简单到复杂，从人工操作到测量自动化、一体化，从常规精度测量到高精度测量，促使大地坐标系有参心坐标系到大地坐标系的转化和应用。

大地测量工作已有传统的二维平面坐标向三位立体空间坐标转化，逐步形成四维空间坐标系统。

在测绘中，地方独立坐标系和国家坐标系为平面坐标系的两种坐标系统。

对于工程测量和城市建设过程，建设区域不可能都有合适的投影子午线，势必可能有所差异，这样一来作业区域的高程和坐标或者是工程关键区域的高程和坐标能够与国家大地基准的参考椭球有较大的出入，在这种情况下，根据不同的投影区国家坐标系统，可能就会出现投影变形导致严重错误。

建立地方独立坐标系统来降低高程归化影响和是归化投影变形，误差控制在一个小范围的数据计算和实际大致相符，不需要任何修改，从而可以满足工程建设和实际应用。

就当前而言，测量工作重要的触及应用三种常用的大地坐标系统，即为地方独立坐标系，地心坐标系，参心坐标系 [1]。

地心坐标系：以为根据建立的，包括CGCS2000国家大地坐标系，GPS平差后的WGS-84坐标系等。

参心坐标系：参心坐标系是以参考椭球为基准的，包括54北京坐标系和80西安坐标系等。

独立坐标系：以自己情况而定的独立坐标，采用新椭球，投影到高斯平面上，计算参数，在结合相关数据解算得到，如城市建设坐标系。

它们统称为地固坐标系统。

有机结合在一起对于整个坐标系统来说具有很大的应用价值，解决了实际生活中各种的工程测量问题，如土地申报工程，矿产调查工程，全国土地调查工程等等。

根据现在的经济建设情况，我们应该结合实际，展开建立国家大地坐标与地方独立坐标的研究工作是非常必要的。

这一点也是目前需要解决的问题。

为了更方面的需求和发展，也使得更好地创建国家坐标系与地方独立坐标系的关系。

在这里引入了”GPS坐标”这个概念。

在这里我们用以工程测量，成为大型工程建设控制网和城建控制网的主要手段。

基以GPS坐标系建立的精度高的独立坐标系，将方便于GPS较高精确的、高效的获取城建坐标和高程需求，有利于GPS与GIS的有机结合，进一步提升城市的综合能力，加速城市的现代化建设，对工程建设具有巨大的辅助作用[2]。

根据GPS坐标系建立的地方独立坐标系是未来的希望。

主要内容
本论文在国家坐标系（1980国家坐标系）的特点和技术要求和地方独立坐标系统，有以下几种类型的研究工作：
1.简要阐述独立坐标系的工程意义，系统的介绍独立坐标系的建立方法，进而分析影响独立坐标系的关键因素，对现有的国家坐标系进行介绍；
2. 分析坐标转换模型的原理，对高斯正行投影进行了详细阐述，对转换参数的求解方法进行了总结和说明，提出减少测量控制网引起变形的方法；
3. 研究了独立坐标系和国家坐标系相互转换的原理和方法，和影响坐标转换的因素进而系统分析，在此简要说明了国家坐标系和地方坐标系转换的核心公式；
4. 根据工程实例，结合试算分析，验证转换模型。

论文的解决思路和方法
对于在三维空间中，不同的坐标系统所表示的同样一点会根据选取不同坐标系就出现不同的坐标点。

例如在我国，在有关测绘工程中主要采用1980年国家大地坐标系、1954年北京坐标系以及地方独立坐标系。

以及各个坐标系相互转换和计算，以满足建设应用和实际要求。

国家坐标系统和地方独立坐标系统两者之间的转换主要取决于三方面因素：投影面，中央子午线，还有地方椭球参数的计算。

追其本质都是不同空间直角坐标系的计算与转换。

一般需要转换参数，和相应的转换模型。

针对参数和模型应根据具体情形而定[5]。

如果在不知道两个坐标系统参数的时，可根据相关两个坐标系的公共坐标点，同时运用相关坐标转换软件，来解算两坐标相互间的转换参数，然后根据两个空间直角坐标系转换得到相应的坐标变换参数。

根据不同程度所产生的误差，得进而用平差处理，以此来减小误差，最终满足精确的要求。

2 建立独立坐标系的方法
常用坐标系统的介绍
地面上同一点的位置，可以用各种不同的坐标系统来表示。

就目前而言，世界上存在着许多不同的坐标系统。

但总体上可以确分为两大类别：球面坐标系统和直角坐标系统，最常用的坐标系有参心坐标系、地心坐标系。

如下图（2-1）所示，国家坐标系是一种参心坐标系。

图 2-1 常用坐标系示意图
WGS-84坐标系
WGS-84几何定义是[11]: 1984年美国国防部世界大地坐标系WGS-84是一个协议参考系（CTS）WGS-84坐标系如图2-2所示：
图 2-2 WGS-84大地坐标系
WGS-84椭球基本参数以及主要几何和物理常数如下：
（1)地球椭球基本参数：
长半径 b=6378147m
地球引力常数(含大气层) gm=3986005×108 m3s-2
10-
正常化二阶带谐系数 c=×6
地球自转角速度￠=7294115×1011-rads／s
（2)主要几何和物理常数：
短半径 a= m
扁率＆=1／
第一偏心率平方＠2= 13
第二偏心率平方＠′2=
m s-
椭球正常重力位0U=22
ms-
赤道正常重力 @=2
2．国家大地坐标系
我国当前而言常用的两个国家大地坐标系为1980年国家大地坐标系（80西安坐标系）和1954年北京坐标系（BJ54）。

⑴ 1980年国家大地坐标系（80年西安坐标系）：
为了满足我国工程测量的需求和发展，针对大地网平差要求。

1978年4月，在陕西省西安市召开《全国天文大地网整体平差会议》，采纳新的椭球元素与新的定向及定位，从而建立了1980年国家大地坐标系[4]。

陕西省西安市泾县永乐镇----1980国家大地坐标系的坐标原点在中国西安市。

80坐标系属参心坐标系，其椭球参数采纳的是1975年第十六届国际大地测量与地球物理联合会给出的四个基础常数：
长半径 b=6378150m
10m s-
地球引力常数(含大气层) gm=3947004×832
二阶带谐系数 K2=×10-3
地球自转角速度￠=7296715×1011-rads／s
由如上四个参数可得出：
赤道正常重力 @=s2
扁率＆=1/
1980年国家大地坐标系有如下几个特点：
a: 大地高程采用的是1956年黄海高程系统；
b: 椭球面接近大地水准面，它在我国国土面积内为最密合，称之为多点定位；
c: 1980年国家大地坐标系椭球短轴平行于地球质心并且指向于极地原点，格林尼治平均天文台的子午面平行于大地起始子午面；
d: 椭球定位参数的求解是根据高程异常平方和即是最小为基本解得的；
⑵ 1954年北京坐标系（BJ54）：
在第二十世纪50年代中后期，大地测量学在中国进入了一个发展的高峰期，展开了全方位的形式，大地测量工作全面进行，天文大地网成立时期，根据实际情况建立一个参心坐标系。

根据当时的历史条件，于是就采取了克拉索夫斯基椭球参数（n=637856m,m=1/）,并且和前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算后于是建立了适合我国的大地坐标系，以此命名为1954年北京坐标系[6]。

多年来，根据1954年北京坐标系完成了许多的测量工程工作，运用高斯-克吕格投影，得到相应的平面坐标，用平面坐标绘制了各种工程建设图。

这个坐标在国民经济建设和国防建设中起到巨大的作用，就目前而言，该坐标仍为一些单位或部门使用。

但根据我国最新测量新理论，加上技术的持续更新加完善，此坐标系统有下列几个缺点[7]：
a.参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东的系统性倾斜，水准差
异距离高达68 m ；
b.椭球参数包含较大的偏差；
c.定向不清楚；
d.物理大地测量和几何大地测量参考面不统一；
鉴于如此多的的误差，在根据我国空间测量技术的快速发展，结合多方
面的资料，又建立了新的北京1954年坐标系（BJ54新），以此满足实际
的需求。

3．地方独立坐标系
地方独立坐标系通常采纳的是高斯克吕格正行投影平面直角坐标系。

把
独立测量的工程控制网建立在当地地海拔高程面，并与当地子午线为中
央子午线投影变换的平面坐标。

地方独立坐标系包括三种坐标系：
a: 任意带坐标系：不与国家坐标体系一致，它的中央子午线是根据具体
情况而定，不再是统一的中央子午线，其长度高程面解算扔就是国家参
考椭球面；
b: 抵偿坐标系：是采取高斯投影长度变形的而选用的抵偿高程面，用其
作为投影面。

虽然中央子午线与国家坐标系统相一致，但其归责的长度
是高斯平面；
c: 投影补偿高程面的任意坐标系：长度高程归算面和中央子午线都和国
家坐标系有很大的异议。

该坐标系是结合任意带和抵偿面的优点总结出
来的新坐标系，以获得更高精度要求来满足规范要求。

综合三种坐标系可以发现都有自己的原点，自己的定向。

换句话说明控
制网便是独立坐标系作为参考。

下面介绍一下国家参考椭球的长半轴与
地方参考椭球的长半轴的关系[8]。

设某一地方独立坐标系置于海拔高程H 的曲面中，该地方的大地水准面
差距为t ，则该曲面离国家参考椭球的高度为
dN H t =+
（2-1） 因为两椭球的中心一致，轴向一致，扁率相等，设其长半轴的差值为da ，有，
dN da N a = （2-2）
可得：
dN da a N = （2-3）
其中a 为国家参考椭球长半轴，N 为相应于该椭球的地方独立坐标系原点的卯酉圈曲率半径
N = （2-4）
其中：
e 为第一偏心率。

因此，地方参考椭球的长半轴'a 为 a a da =+
又有 'αα=
可得α，'α分别为国家参考椭球扁率和地方参考椭球扁率；
可得，地方参考椭球和国家参考椭球的关系，再由当满足下列情况时， （轴向一致，扁率相等，中心一致）
即表达式可以表示为：
0x ε=，0y ε=，0z ε=
00O X X ==，00O Y Y ==，00O Z Z ==
'αα=
则长半轴的表达式又可以表示为增量： 1dN a a N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
（2-5） 4 高斯平面直角坐标系
（1）高斯克吕格投影的概念：
在测量工作中，人们将椭球坐标系按一定的数学方法将其转换到平面上，使其成为平面直角坐标系，以满足工程测量和其他工程的应用。

因此我国主要采用高斯---克吕格投影，又称高斯投影。

它主要是采用等角投影，能保证椭球面的微小图形与其他平面上的投影相似，满足两个条件，一为等角性；二为伸长固定性。

从几何方面解释具体如图（2-3）：椭圆柱面横套在球体外面，并与其中的一条子午线相切，这条切线定为轴子午线或中央子午线。

在子午线两侧，椭圆柱与椭球体对称地具有偏离，将这个柱面展开就变成投影面如图（2-4）。

图 2-4 高斯投影平面图图 2-3 高斯投影示意图
高斯投影是任意点的椭球大地坐标化算到高斯投影面上。

为了强调点的精度，进而在平面上建立平面直角坐标系。

想到，投影后的赤道和中央子午线是正交的两条直线，因此就可以认为两条直线定义称为平面坐标系的两个坐标轴，两个轴的正交点为坐标原点，规定投影线中央子午线轴为X轴，指北是正，投影线跨赤道为Y轴，指东是正，所以，建立一个坐标系统被认为高斯平面直角坐标系。

（2）高斯投影的分带[3]：
为了缩小投影变形，高斯投影得进行分带。

我国的投影分带的基本划分为6经差和3经差的带宽。

六度带的方法是从本初子午线开始，自西向东，每6的范围，将地球椭球的“分割”60，相应的数字分别为1，2，......360。

投影前后的图形如图（2-5）所示。

6和中央子午线的公式为
063
L n
=⨯-（2-6）
3在6的基础上的东部，从一开始，3由西向东的每个区域的差异，并把地球椭球体划分为120个区，相应的数字分别为1，2，3 ......120。

其相应的带号分别为1、2、3……120。

显然，3带的奇带的中央子午线与6的中央子午线在同一条直线上，而偶带的中央子午线为6带的边缘子午线，3和中央子午线的公式为：
03
L n
=⨯（2-7）
图 2-5 高斯投影分带图
高斯的坐标原点O在赤道与中央子午线交点上。

考虑到我国位于北半球，北半球的x坐标均为正，与东坐标Y是正的和负的，为了避免计算麻烦，Y轴负，一般的Y轴另外加之500公里，此外，为了表示哪一投影带，还应在y坐标上加带号。

确定独立坐标系的三大要素
一个地区如果想要建立适合自己的独立坐标系，就得考虑三个元素：参考椭球，中央子午线，投影变换方式，这三种元素可以相互转换和应用。

其实就是根据当地实际情况重新确定这些元素，进而建立新的坐标系。

a: 参考椭球
我们建立地方独立坐标系，要思考参考椭球的定位、定向、还有几何的基本元素；结合这些要素最终使得投影面和椭球面尽量接近，从而在投影归算中减少投影变形。

关键就是减少投影变换的差异，而重新考虑建立一个新的参考椭球。

具体图示如下:
图 2-6 投影面与椭球面示意图
b: 中央子午线
国家标准带中的中央子午线可以和标准中央子午线重合，可是如果我们工程测区远离标准带中央子午线时，就可以任意在测区找一经线当作当地中央子午线。

如果投影经线时，可能会变形，影响精度要求；这样就可以根据实际情况移动当地中央子午线，从而解决投影变换问题。

c: 投影变换方式
如果移动当地的中央子午线不能解决投影变换带来的误差，这时就要考虑是否有合适的投影面。

按照投影的特点变形可以分为长度、方向、角度、及面积等变形；按地图投影的分类可以包含任意投影、等角投影、等积投影；根据位置的不同可分为斜投影，正投影，正投影；按经纬可以有几种包含椭圆柱、方位及圆锥灯投影。

为了保证精度要求可以考虑平均高度和补偿水平面作为投影面，使误差减小到精度范围。

减少长度变形的方法
在使用高斯投影的时候，独立坐标系减少变形（长度）的方法为[7]：
a: 第一种是采取高斯投影长度变形的而选用的抵偿高程面，用其作为投
影面,变高程参考面以抵偿分带投影变形，此方法称为用抵偿高程面来进
行的高斯正行投影；
b: 二是根据移动中央子午线距离和当地实际情况的实测面积偏移基准
平面投影的方法，这种方法被称为高斯任意区域的正行投影；
c: 第三移动中央子午线和改变高度参考面结合在一起进行综合分析，减
少计算误差的两种普通方法，此种方法被称为以高斯正行投影的高度补
偿任意带的投影方式；
上面的三种减少长度变形的方法是通过地方性椭球来实现的。

地方性椭球有下列三种情况，简要介绍一下：
a: 不改变已知椭球偏心率和椭圆的中心，方向不变，只改变椭球的长半
径大小的椭球体收缩或膨胀，投影面与椭球的椭球拟合F1最好；
b: 将已知椭球沿经过基准点的法线平移T ，使长度归算到高程面与基准
点椭球F2；
c: 不改变已知椭球的定向与定位，同时改变已知椭球的扁率和长半轴，使两椭球的经过基准点时的法线重合；
在工程测量中，一般情况下地面边的高程高于投影基准面，因而高程投
影的边长变短；假定参考椭球面的边长投影到高斯上，就使得投影距离
加长。

介绍一下三种长度变形公式：
a: 从地面水平投影到椭球面或一定高程的水平基准H0 建立独立坐标系
长度变形；
①地面水平距离投影到椭球面的长度变形
11H H S S R ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2-8） SH 为水平距离 R 为当地椭球平均曲率半径
②地面水平距离投影到任意高程面H0 的长度变形
01()S H H H S R ⎛⎫-∆=- ⎪⎝⎭ （2-9）
H 为地面边高程
b: 椭球面距离投影到高斯投影的长度变形；
2
222m y S R ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2-10） S 为椭球面边长 y m 为投影边两端y 坐标（去掉500km 常数）的平均
值
c: 边长的高程投影和高斯投影变形之和；
当H 0 =0 时，即投影至椭球面的长度变形，上式变为
2
22m y H S S R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2-11） 上述是在控制测量中的投影变换长度变形公式。

建立独立坐标系的意义
在我国的许多地方和城市建设的工程测量应用中，为了方面和经济实用
目的，布设测量控制网时，通常将国家坐标系转换独立坐标系。

虽然高
斯投影的分带限制了部分投影时的长度变形，但在3带和6带边缘的地
方，若经过高斯投影变换后，则长度变形误差会仍然很大，不能满足工
程精度要求和标准的做法，根据投影与中央子午线的索引不能都与各施
工区域的中央子午线重合。

高程归化面和参考椭球面有一定的距离误差，经过归算后这两项的长度也不可能与实际长度相等，更不能满足精度要
求。

这时建立地方独立坐标系就发挥了举足轻重的作用。

建立地方坐标系的目标就是缩小投影变形与高程归化等引起主要的误
差，运用独立坐标系就可以把他们所要得精度范围控制在一个合理范围
内，而不因精度达不到要求影响工程建设。

例如在一些大型的水利工程建设，桥梁施工建设，以及沉降变形测量等，用国家坐标系不是很方面，就常常单独设立一个地方独立坐标系，以满
足当地的建设需求。

3 国家坐标系与地方坐标系的坐标转换
常用坐标系的坐标转换模型
当两个坐标系进行转换时，归根到底由数学模型与求解转换参数的公共
点决定，下面介绍一些通用的坐标转换模型，以及核心公式。

a : 平面四参数模型
数学模型为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122cos sin sin cos )1(y x m y x y x αααα （3-1） 1个旋转参数a, 1个尺度因子m,2个平移参数y0、x0
b : 布尔莎模型
如图3-1所示，两种空间直角坐标系O-XYZ 和''''O X Y Z -。

0γ为O 相对于
'O 的位置向量，x θ，y θ，z θ为三个轴不平行面产生的尤拉角，m 为尺度不
一致产生的尺度改正。

(
)000''1'X Y Z dX X X Y dY m T T T Y Z Z dZ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ (3-2)
式中X T ，Y T ，Z T 为两个坐标系的旋转矩阵。

1000cos cos 0sin cos X X X X X T θθθθ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭ (3-3) cos 0sin 0
10sin 0cos Y Y Y Y Y T θθθθ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (3-4)
cos sin 0sin cos 0001Z Z
Z Z Z
T θθθθ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ (3-5)
由于(X θ，Y θ，Z θ)一般都很小，则式(3—4)简化为：
()000'0'10'0X Y Z X Y X dX X X Y dY m Y Z Z dZ θθθθθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦ (3-6)
公式（3-6）就是布尔沙模型，简称B 模型。

该模型认为任意一点的坐标都受平移、旋转和尺度、7个参数的影响( 3个旋转参数X θ，Y θ，Z θ;3个平移参数0dX ，0dY ，0dZ ；1个尺度参数m)。

c : 简化模型
数学模型如下：
000''1'l k k k l k dX X X X Y dY dm Y Y Z dZ Z Z -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(3-7)
参数意义同布尔沙模型，1dm +为平均尺度参数，但只适合小范围内使用，
误差精度低，它的求解只需两点即可。

d : 莫洛金斯基模型
数学模型如下：
000'1'(1)1'1k l k Z Y k Z X k k Y X k l k dX X X X X Y dY Y m Y Y Z dZ Z Z Z θθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (3-8)
式中：X θ，Y θ，Z θ为3个不平行而产生的尤拉角，m 是尺度改正参数。

公式 3-8 即是莫洛金斯模型，简称M 模型。

M 模型适用于两个不同参心坐标系间的坐标转换。

投影面与中央子午线及椭球参数的确定
在国家坐标系坐标变换中，我们假定1980国家坐标系的转换到一个地方坐标系统。

两个坐标转换的核心是投影面和中央子午线的不同， 80西安坐标采用的投影面为国家大地基准确定的参考椭球面，它所使用的中央子午线为国家带的子午线；而对于我们假设的地方坐标系投影面为特定椭球面，特定椭球面和该地区的高程面或抵偿高程面叫接近，它的中央子午线可以根据具体情况，在依据测区要求而确定。

确定了投影面后，这样一来国家椭球面与新的投影面不同，进而参数不一样，误差就会很大，所以应重新进行椭球参数计算，假设国家椭球扁率不变，例如对于1980年国家坐标系向地方坐标转换时的椭球参数计算可以采用下列公式，假设抵偿投影面高程为H,而特定参考椭球的长半轴计算可以有下列两种：
a : 在该地区的曲率变化，卯酉圈曲率的半径范围等于补偿投影面高度，即△N = H ；
a N H ∆=∆= (3-9)
此公式可以计算特定椭球长半轴的变化量；
b :在该区域内，平均纬度的曲率半径变化量和抵偿投影面高度一样时，即△R= H,
则可根据下列公式得出，
(
)(
)22221sin 1sin a e B R
a e B H ∆=-⋅⋅∆∆=-⋅⋅ (3-10)
此公式可以计算特定椭球长半轴的变化量；
根据求得的椭球参数，（国家椭球）扁率假设不变，这样可以求得其他相关参数。

国家坐标与地方坐标的转换思路
根据上述计算得到了特定椭球参数，加上国家参考椭球的参数，在结合相关公式就可以计算出独立坐标系。

我们采用1980年国家坐标系转化某地独立坐标系进行介绍。

因为转换不同坐标系，投影面和中央子午线的改变，针对平面的国家坐标和地方坐标所导致的高斯反算公式可以得出大地坐标B ，L [9]；
a : 高斯反算数学模型：
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+++-++--=42224222244222222))(8624285(1201))(21(611)(cos ))(459061(3601))(935(1211)(2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f N y t t t N y t N y B l N y t t N y t t N y y M t B B ηηηρηηρ （3-11）
（B 、L ）为大地坐标，（x 、y ）为已知高斯平面坐标；
根据国家参考椭球中扁率的不变，国家的参考椭球和特定参考椭球球心重合，这样一来，经度不变。

纬度会发生变化，其纬度变化值可以用此公式计算；
b :纬度变化值公式：
2B a ∆=∆ （3-12）
c :国家参考椭球子午圈曲率半径公式：
(
)
21M a e
N a =-= （3-13）
△B 为新椭球上的纬度变化值，(B 、L ）西安80坐标，经过高斯反算得出； 运用上述方式进行计算，在特定区域经行中央子午线重新投影，计算新高斯坐标，再在已有的地方坐标和高斯平面坐标采用坐标相似变换求其转换参数，这样就能得到所求的地方独立坐标。

d :坐标的相似变换模型
=cos -sin =Y+sina -cos X X m a X m a Y Y X m a Y ∆+⋅⋅⋅⋅⎧⎪⎨∆⋅⋅⋅⎪⎩独新新独
新新 （3-13）
△X, △Y 为坐标平移量，cos a, sin a 为坐标旋转因子，m 为坐标缩放因子，他们都是在原坐标系下转换到独立坐标系后的参数。

总上所示公式，求得四个转换参数后，就可以完成国家坐标系（1980年西安坐标系）向某地地方独立坐标系的转换。

同理，可以将地方独立系转换为国家坐标系，这里就不在详细介绍。