2011《数理统计》复习题
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复 习 题
1.（矩法、极大似然法） 设总体X 的概率密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=-0,00,1)(2
2
22x x xe x f x θθ，
其中)0(>θ为未知参数，),,,(21n X X X 为来自总体X 的样本。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数θ。 解：（1）矩法
⎰⎰⎰⎰
⎰∞
+-
∞
+-∞
+-
∞
+-
∞
+-
∞+∞
-+=+-=-===0
20
2020
20
22
2
22
22
22
2
2
20][)()(1
)(dx e
dx e
xe
e
d x dx
xe
x
dx x xf EX x x x x
x θθθθθθ
而2
02
2π
=
⎰∞+-
dx e
x
故θπθθθ
θ2
)(0
2)(0
22
2
2==⎰⎰∞
+-∞
+-
x d e
dx e
x x 令x EX =
所以x π
θ
2
ˆ=
（2）极大似然法
∑=
==-
=-
=∏∏
n
i i i x n i i n
x i n
i n e
x e
x x x x L 1
2
2
2
2211
2212
211
1
);,,,(θθ
θ
θ
θ
∑∏==-
+-=n
i i
n
i i x
x n L 1
2
2
1
21)ln(ln 2ln θ
θ
∑=+-=n
i i
x
n d L d 1
2
3
1
2ln θ
θθ
令0ln =θ
d L d 得n
x
n
i i
2ˆ1
2∑==θ。
2.设自动加工的一批零件中随机抽取12件，测得其长度与规定长度的偏差（单
位：m μ）为：2，1，-2，3，2，4，-2，5，3，4，3，2。假定偏差),(~2
σa N X ，
试求a 的置信上限（
α=0.1）
。 解：经统计得：1933.2,0833.2*==S X
查表得7959.1)11()1(95.01==--t n t α 故a 的α-1置信区间为))
1(,(*1n
S n t X -+-∞-α即)2204.3,(-∞。
3.（证明无偏、有效）设总体X 服从]1,[+θθ上的均匀分布，θ未知，(X 1，X 2，…，X n )是来自此总体的一个样本，已知{}n X X X ,,min 1)1( =，
{}n n X X X ,,max 1)( =。
（1）试证11ˆ)1(1+-=n X θ，1
ˆ)
(2+-=n n X n θ都是θ的无偏估计量； （2）指出上述无偏估计量哪一个更有效。
解：（1）X 的概率密度函数为：⎩
⎨
⎧+∉+∈=时当时
当]1,[,0]1,[,1)(θθθθx x x p 因此)1(X 的概率密度函数为：⎩
⎨⎧+∉+∈--=-时当时
当]1,[,0]1,[,)](1[)(1)1(θθθθθx x x n x p n X
)(n X 的概率密度函数为：⎩⎨⎧+∉+∈-=-时
当时
当]1,[,0]1,[,)()(1)(θθθθθx x x n x p n X n
所以，1
1)(]11[)ˆ()
1()1(1+-=+-=⎰+∞∞-n dx x xp n X E E X θ 1
1
)](1[1
1+-
--⋅=
⎰+-n dx x n x n θθ
θ θθ=+-
-+=⎰-1
1
)1()(1
1
n dt t n t n 1
)(]1[)ˆ()()(2+-=+-=⎰+∞∞-n n dx x xp n n X E E n X n θ
1
)(1
1+-
-⋅=⎰
+-n n
dx x n x n θθ
θ
θθ=+-
+=⎰
-1
)(1
01
n n
dt nt t n 所以，11ˆ)
1(1+-=n X θ，1
ˆ)
(2+-=n n X n θ都是θ的无偏估计量。 （2）dx x p x X E X ⎰
+∞
∞
-=)()()1()1(22
⎰+---⋅=1
12)](1[θθ
θdx x n x n
210
12)1()1(1
22)1()(θθθ++++-+=
-+=
⎰
-n n
n n dt t n t n )
1()1(1]1
1[)ˆ(DX n X D D =+-=θ
2
)1(2)1(][][EX X E -=
2
2)1
1(])1()1(122[
++-++++-+=n n n n n θθθ
2
2)1(2+-
+=n n n n
dx x p x X E n n X ⎰+∞
∞
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θdx x n x n
21
121
22)(θθ
θ++++=
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