建立系统微分方程一般步骤

建立系统微分方程一般步骤：

（1）将系统划分为多个环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节都可考虑写一个方程；

（2）根据物理定律或通过实验等方法得出物理规律，列出各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化；

（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含有输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。

建立LRC 电路的微分方程式

用MATLAB 语言编程实现仿真的主要步骤是调用

MATLAB 中的ODE （Ordinary Differential Equation,常微分方程）解函数。MATLAB 提供的常用ODE 解函数如下：

• ode45 此算法被推荐为首选算法；

• ode23 这是一个比ode45低阶的算法；

• ode113 用于更高阶或大的标量计算；

• ode23t 用于解决难度适中的问题；

• ode23s 用于解决难度较大的问题；

• ode15s 与ode23相同，但要求的精度更高；

• ode23tb 用于解决难度较大的问题。

这些ODE 解函数的调用格式基本相同。例如，ode45的基本调用格式为

[t , x]=ode45('方程函数名', tspan , x0, tol)

其中，方程函数名为描述系统状态方程的M 函数名称， tspan 一般为仿真时间范围（例如，取 tspan=[t0,tf]，t0为起始计算时间，tf 为终止计算时间）； x0为系统状态变量初值，应使该向量元素个数等于系统状态变量的个数；tol 用来指定的精度，其默认值为10-3（即0.1%的相对误差），一般应用中可以直接采用默认值。函数返回两个结果t 向量和x 阵。由于计算中采用了步长自动控制策略，因而t 向量不一定是等间隔。但是，仿真结果可以用plot （t,x ）指令绘制出来。

例：电路如下图所示，Ω=6.1R ，L=2.1H ，C=0.3F ，初始状态是电感电流为零，电容电压为0.2V ，t=0时接入1.5V 的电压，求s t 100<<时)(t i ，)(0t u 的值，并画出电流和电容电压的关系曲线。

Example ：Circuit is shown below, Ω=6.1R ，L=2.1H ，C=0.3F ，Initial condition: inductance current is 0, capacitance voltage is 0.2V. Access 1.5V voltage when t=0, Evaluate )(t i ，)(0t u

)(0t u

R L

when s t 100<<, and plot the curve between current and capacitance voltage.

解：（1）根据基尔霍夫电压定律、电流定律得到系统的原始微分方程为 )()()()(0t u t u t Ri dt

t di L i =++ dt

t du C t i )()(0= （2）消去中间变量)(t i ，得电路微分方程：

)()()()(0002t u t u dt

t du RC dt t u d LC i =++ （3）划高阶微分方程为一阶微分方程：

设)(10t u x =，)(20

t u x '= 则有

⎪⎩

⎪⎨⎧--='=')21)((1221RCx x t u LC x x x i

（4）编程

系统微分方程描述函数的程序：（rlcsys .m ）

function dx=rlcsys(t,x)

dx=zeros(2,1);

ui=1.5;

R=1.6;

L=2.1;

C=0.3;

)(0t u

R L

dx(1)=x(2);

dx(2)=1/(L*C)*(ui-x(1)-R*C*x(2));

主程序（jierlc.m）

clear

clc

close

t0=0;

tfinal=10;

x0=[0.2 0];

[t,x]=ode45(@rlcsys,[t0 tfinal],x0); C=0.3;

cfu=x(:,1);%C function

ifu=C*x(:,2);%i function

figure(1)

subplot(211)

plot(t,cfu)

title('C/V')

xlabel('time/s')

grid

subplot(212)

plot(t,ifu)

title('L/A')

xlabel('time/s')

grid

figure(2)

plot(cfu,ifu)

grid

title('C 、L relation')

xlabel('C')

ylabel('L')

1、假设著名的Lorenz 模型的状态方程表示为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-+-=+-=+-=∙

∙

∙

)()(28)()()()

(10)(10)()()(3/)(8)(322133223211t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x

若令其初值为0)()(21==t x t x ，10310)(-=t x ，解方程。（采用ode45()函数） Lorenz model state equation is shown below:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-+-=+-=+-=∙

∙

∙

)()(28)()()()

(10)(10)()()(3/)(8)(322133223211t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x

Assume that initial values are 0)()(21==t x t x ，10310)(-=t x , please solve the equation.(Note: ode45())

程序：（lorenz.m ）

function dx=lorenz(t,x)

dx=zeros(3,1);

dx(1)=-8*x(1)/3+x(2)*x(3);