大学物理——量子力学基础
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x=10-10m(原子的大小), 按不确定关系: xpx h,
则电子速度的不确定量为
h x mx
6.631034 9.111031 1010
7.3106 (m /
s)
电子速度的不确定量是如此之大！ 可见,微观粒子的速度和坐标不能同时准确测定。 这也表明，不确定关系施加的限制不允许我们 用经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的 微观粒子只能用量子力学理论来处理。
例题17-5 子弹质量m=0.1kg , 速度测量的不确定
量是x=10-6 m/s (应当说这个测量够精确的了！)，
求子弹坐标的不确定量。
解 按不确定关系: xpx h,则子弹坐标的不
1 2
mυ2
p2 2m
,
5.93106
p mυ 2mEk 5.41024
h h =1.23Å mυ p
(2)子弹:
h
=
1.0×10-40m
p
h= 6.63×10-34
可见，只有微观粒子的波动性较显著；而宏观 粒子(如子弹)的波动性根本测不出来。
例题17-2 用5×104V的电压加速电子，求电子的速度、
实际上上述公式只用于数量级的估计,所 以这些公式所反映的物理内涵是相同的。
式(17-3)[(17-4),(17-5)]称为不确定关 系，又称测不准关系。
xpx h
(17-3)
1.不确定关系式(17-3)表明：
微观粒子的坐标测得愈准确( x0) ，动量 就愈不准确(px) ；
微观粒子的动量测得愈准确(px0) ，坐标 就愈不准确( x) 。
px
p sin θ
h
x
h x
x
单能电子束
p
...
p
y
图17-2
就得
xpx= h
若计及更高级 次的衍射, 应有
xpx h
对y和z分量,也 有类似的关系。
xpx h
还可写为
xpx
xpx 2
(17-3) (17-4) (17-5)
但这里要注意，不确定关系 不是说微观粒子的坐标测不准； 也不是说微观粒子的动量测不准； 更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准； 而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。
为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准?
这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同 时具有确定量。
这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然 反映。
大学物理
主讲： 物理电子学院
方丽梅
Chap 17
量子力学基础
(fundament of quantun mechanics)
本章要点
• 德布罗意假设，电子衍射实验，波函数 的统计解释，不确定度关系；
• 薛定谔方程，*力学量算符的概念； • 一维势箱，隧道效应； • *原子的振动，*分子的转动； • 电子的轨道角动量，电子的自旋，氢原
子定态； • 多电子原子； • *关于量子力学的争论。
§17-1 德布罗意物质波假设
一.实物粒子的波粒二象性
法国物理学家德布罗意仔细分析了光的波动说 和粒子说的发展过程，他看到：整个世纪以来，人 们对光的本性的认识，注重了它的波动性,而忽视 了它的粒子性。而在实物粒子的研究上,我们是否 犯了相反错误：即只考虑了实物粒子的粒子性,而 忽略了它的波动性呢？
1924年，德布罗意提出了一个大胆而具有深远 意义的的假设：
一切实物粒子也具有波粒二象性。
实物粒子—静质量不为零的粒子。
能量为E、动量为p的粒子与频率为v、波长为的
波相联系，并遵从以下关系：
E=mc2=hv
(17-1)
p m h
(17-2)
m mo
1
c
2 2
这种和实物粒子相联系的波称为德布罗 意波(物质波或概率波),其波长称为德布罗 意波长。
二.经典波动与德布罗意波(物质波) 的区别
经典的波动(如机械波、电 磁波等)是可以测出的、实际存在 于空间的一种波动。
而德布罗意波(物质波)是一 种概率波。简单的说，是为了描 述微观粒子的波动性而引入的一 种方法。
§17-2 德布罗意波的实验验证
戴维逊-革末单晶电子衍射实验 约恩孙的单缝电子衍射实验 缪仁希太特-杜开尔双缝电子干涉实验
r1
xp
K=2
电子束
s1
x
K=1
...
d
r2
o
K=0
s2 图17-1
L
K=1 K=2
x k L h
d
m
例题17-1 (1)电子动能Ek=100eV；(2)子弹动量
p=6.63×106kg.m.s-1, 求德布罗意波长。
解 (1)因电子动能较小，速度较小，可用非相对
论公式求解。
Ek
质量和德布罗意波长。
解 因加速电压大，应考虑相对论效应。
Ek mc2 moc2 moc2(
1 1 ) 5104eV
12 / c2
=1.24×108(m/s)
m mo =10×10-31 (kg) 12 / c2
h
=0.0535Å
mυBaidu Nhomakorabea
mo=9.11×10-31 (kg)
先考虑中央明纹。电子衍射前，
x
单能电子束
... p
p
px=0, py=p
缝后, 由于衍射, 落在中央明纹范 围内的电子动量 y 的不确定范围为
0≤px≤psin
图17-2
即电子在x方向上动量的不确定量为
px= psin
对第一级衍射暗纹，有
xsin = , 其中x—缝宽
于是
例题17-3 为使电子波长为1Å，需多大的加速电压？
解 因电子波长较长，速度较小，可用非相对 论公式求解。
eU
Ek
1 2
mυ2
p2 2m
h2 2m2
h2 U 2me2=150V
m=9.11×10-31
( p h)
h= 6.63×10-34
§17-4 不确定关系
波和粒子是两个截然不同的概念。既然微观粒子 具有明显的波粒二象性,那么采用经典力学的方法描 述微观粒子,就将受到限制。
由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条 客观规律,不是测量技术和主观能力的问题。
4.不确定关系提供了一个判据：
当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可 以用经典理论来研究粒子的运动。
当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那 只能用量子力学理论来处理问题。
例题17-4 估算氢原子中电子速度的不确定量。
解 电子被束缚在原子球内, 坐标的不确定量是
则电子速度的不确定量为
h x mx
6.631034 9.111031 1010
7.3106 (m /
s)
电子速度的不确定量是如此之大！ 可见,微观粒子的速度和坐标不能同时准确测定。 这也表明，不确定关系施加的限制不允许我们 用经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的 微观粒子只能用量子力学理论来处理。
例题17-5 子弹质量m=0.1kg , 速度测量的不确定
量是x=10-6 m/s (应当说这个测量够精确的了！)，
求子弹坐标的不确定量。
解 按不确定关系: xpx h,则子弹坐标的不
1 2
mυ2
p2 2m
,
5.93106
p mυ 2mEk 5.41024
h h =1.23Å mυ p
(2)子弹:
h
=
1.0×10-40m
p
h= 6.63×10-34
可见，只有微观粒子的波动性较显著；而宏观 粒子(如子弹)的波动性根本测不出来。
例题17-2 用5×104V的电压加速电子，求电子的速度、
实际上上述公式只用于数量级的估计,所 以这些公式所反映的物理内涵是相同的。
式(17-3)[(17-4),(17-5)]称为不确定关 系，又称测不准关系。
xpx h
(17-3)
1.不确定关系式(17-3)表明：
微观粒子的坐标测得愈准确( x0) ，动量 就愈不准确(px) ；
微观粒子的动量测得愈准确(px0) ，坐标 就愈不准确( x) 。
px
p sin θ
h
x
h x
x
单能电子束
p
...
p
y
图17-2
就得
xpx= h
若计及更高级 次的衍射, 应有
xpx h
对y和z分量,也 有类似的关系。
xpx h
还可写为
xpx
xpx 2
(17-3) (17-4) (17-5)
但这里要注意，不确定关系 不是说微观粒子的坐标测不准； 也不是说微观粒子的动量测不准； 更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准； 而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。
为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准?
这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同 时具有确定量。
这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然 反映。
大学物理
主讲： 物理电子学院
方丽梅
Chap 17
量子力学基础
(fundament of quantun mechanics)
本章要点
• 德布罗意假设，电子衍射实验，波函数 的统计解释，不确定度关系；
• 薛定谔方程，*力学量算符的概念； • 一维势箱，隧道效应； • *原子的振动，*分子的转动； • 电子的轨道角动量，电子的自旋，氢原
子定态； • 多电子原子； • *关于量子力学的争论。
§17-1 德布罗意物质波假设
一.实物粒子的波粒二象性
法国物理学家德布罗意仔细分析了光的波动说 和粒子说的发展过程，他看到：整个世纪以来，人 们对光的本性的认识，注重了它的波动性,而忽视 了它的粒子性。而在实物粒子的研究上,我们是否 犯了相反错误：即只考虑了实物粒子的粒子性,而 忽略了它的波动性呢？
1924年，德布罗意提出了一个大胆而具有深远 意义的的假设：
一切实物粒子也具有波粒二象性。
实物粒子—静质量不为零的粒子。
能量为E、动量为p的粒子与频率为v、波长为的
波相联系，并遵从以下关系：
E=mc2=hv
(17-1)
p m h
(17-2)
m mo
1
c
2 2
这种和实物粒子相联系的波称为德布罗 意波(物质波或概率波),其波长称为德布罗 意波长。
二.经典波动与德布罗意波(物质波) 的区别
经典的波动(如机械波、电 磁波等)是可以测出的、实际存在 于空间的一种波动。
而德布罗意波(物质波)是一 种概率波。简单的说，是为了描 述微观粒子的波动性而引入的一 种方法。
§17-2 德布罗意波的实验验证
戴维逊-革末单晶电子衍射实验 约恩孙的单缝电子衍射实验 缪仁希太特-杜开尔双缝电子干涉实验
r1
xp
K=2
电子束
s1
x
K=1
...
d
r2
o
K=0
s2 图17-1
L
K=1 K=2
x k L h
d
m
例题17-1 (1)电子动能Ek=100eV；(2)子弹动量
p=6.63×106kg.m.s-1, 求德布罗意波长。
解 (1)因电子动能较小，速度较小，可用非相对
论公式求解。
Ek
质量和德布罗意波长。
解 因加速电压大，应考虑相对论效应。
Ek mc2 moc2 moc2(
1 1 ) 5104eV
12 / c2
=1.24×108(m/s)
m mo =10×10-31 (kg) 12 / c2
h
=0.0535Å
mυBaidu Nhomakorabea
mo=9.11×10-31 (kg)
先考虑中央明纹。电子衍射前，
x
单能电子束
... p
p
px=0, py=p
缝后, 由于衍射, 落在中央明纹范 围内的电子动量 y 的不确定范围为
0≤px≤psin
图17-2
即电子在x方向上动量的不确定量为
px= psin
对第一级衍射暗纹，有
xsin = , 其中x—缝宽
于是
例题17-3 为使电子波长为1Å，需多大的加速电压？
解 因电子波长较长，速度较小，可用非相对 论公式求解。
eU
Ek
1 2
mυ2
p2 2m
h2 2m2
h2 U 2me2=150V
m=9.11×10-31
( p h)
h= 6.63×10-34
§17-4 不确定关系
波和粒子是两个截然不同的概念。既然微观粒子 具有明显的波粒二象性,那么采用经典力学的方法描 述微观粒子,就将受到限制。
由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条 客观规律,不是测量技术和主观能力的问题。
4.不确定关系提供了一个判据：
当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可 以用经典理论来研究粒子的运动。
当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那 只能用量子力学理论来处理问题。
例题17-4 估算氢原子中电子速度的不确定量。
解 电子被束缚在原子球内, 坐标的不确定量是