大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
高等数学竞赛试题及参考答案
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系 班级 学号 姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （ ）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （ ）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)， 有（ ） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。
大学高数竞赛试题及答案
大学高数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点为______。
答案：x=16. 函数f(x)=e^x的导数为______。
答案：e^x7. 微分方程y'+2y=e^(-2x)的通解为______。
答案：y=(C-1/2)e^(-2x)+1/28. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为______。
答案：-1三、解答题（每题15分，共40分）9. 计算极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-2x+1)。
答案：lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-2x+1) = lim(x→∞)(1/x+3/x^2+2/x^3)/(1-2/x^2+1/x^3) = 010. 求函数f(x)=x^3-3x+2的导数，并求在x=1处的切线方程。
答案：f'(x) = 3x^2-3f'(1) = 0f(1) = 0切线方程为：y=0四、证明题（每题10分，共20分）11. 证明：对于任意实数x，有e^x > 1+x。
证明：令f(x) = e^x - 1 - x，则f'(x) = e^x - 1。
当x < 0时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > 0时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。
因此，f(x)的最小值为f(0) = 0。
所以，对于任意实数x，有e^x > 1+x。
高等数学竞赛选拔考核试卷
A.定积分的换元法可以简化被积函数
B.定积分的换元法需要引入雅可比行列式
C.定积分的换元法只能用于线性换元
D.定积分的换元法可以推广到多变量函数的积分
17.关于向量场的散度和旋度，以下说法正确的是（）
A.散度描述了向量场源和汇的性质
B.旋度描述了向量场的旋转性质
A. f(x)在[0,1]上的平均值
B. f(x)在[0,1]上的定积分
C. f(x)在[0,1]上的变上限积分
D. f(x)在[0,1]上的原函数
17.三阶行列式的值为0，则（）
A.行列式的三行（或三列）线性相关
B.行列式的三行（或三列）线性无关
C.行列式至少有一行（或一列）为零向量
D.行列式的元素至少有一个为零
A. 1/3
B. 1/6
C. 1/12
D. 1/24
5.设f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，则f(x)的极大值为（）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
6.矩阵A的行列式为0，则（）
A. A一定是奇异矩阵
B. A一定可逆
C. A的列向量线性无关
D. A的行向量线性相关
7.若f(x) = (sin x)/x，则f'(π/2)等于（）
A.必有极大值
B.必有极小值
C.必有拐点
D.以上都不一定
3.若级数∑(n=1 to ∞) a_n的收敛半径为R，则级数∑(n=1 to ∞) a_n^2的收敛半径是（）
A. R
B. R/2
C. 2R
D. √R
4.二重积分∬_D f(x,y) dσ中，区域D为y=x^2，x属于[0,1]，则该二重积分的值为（）
高等数学竞赛最新试题及答案
高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题1．计算{}2222,max 0abb x a ydx edy ⎰⎰，（a>0，b>0）解：原积分=22222222000baax abab y b x a y b x a y a bb xa b dx edy dx edy xe dx dy e dx a+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=222222111(1)(1)(1)22a b a b a b e e e ab ab ab-+-=-2. 设幂级数nn n a x∞=∑的系数满足02a =，11n n na a n -=+-，n=1，2，3…，求此幂级数的和函数()s x 。
解：0(),n nn s x a x +∞==∑则1111111'()(1)n n n nn n n n s x na xa xn x +∞+∞+∞----=====+-∑∑∑12()(1)()(1)n n xs x n x s x x +∞+==++=+-∑即2'()()(1)xs x s x x =+-，且(0)2o s a == 解方程1()1xs x ce x =+- 由(0)1s =⇒1()1xs x e x=+- 3. 已知()f x 二阶可导，且()0f x >，[]2''()()'()0f x f x f x -≥，x R ∈ （1）证明 21212()()()2x x f x f x f +≥， 12,x x R ∀∈ （2）若(0)1f =，证明'(0)(),f xf x e x R ≥∈证明：（1）记()ln ()g x f x = 则'()'()()f xg x f x = 22''(')''()0ff f g x f -=> 1212()()()22g x g x x x g ++∴≥ 即 21212()()()2x xf x f x f +≥⑵2222''()'(0)''(')()(0)'(0)ln (0)|2(0)2x g f ff f g x g g x x f x x f fξξ=-=++=++ '(0)f x ≥ 即'(0)()f xf x e≥4．求10(1)limln(1)xx x e x →+-+由洛比塔法则原极限=120(1)ln(1)1lim(1)(1)2xx x x x x e x x →-+++=-+5．设222 0cos()sin t u x t y e udu -⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰ ，求22d y dx 解：42sin()2t dy e t t -=⋅⋅ 2sin()2dx t t =-⋅4t dy e dx -∴=- 44232222(')42sin()2sin()t t d y d y t e t edx dx t t t --===--⋅ 6．2 0(1)(1)dxx x α+∞++⎰，（0α≠） 解：记原积分为I 则201/(1)(1)dxI t x x x α+∞==++⎰含 20(1)(1)t dt t t αα+∞++⎰ 22 124dx I I x ππ+∞∴==∴=+⎰7.设函数()f x 满足方程，()2()3sin xxe f x e f x x ππ-+-=，x R ∈，求()f x 的极值。
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案大学生高等数学竞赛试题汇总与答案1.试题一：已知函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1，若对任意的x ∈ [0, 1]，都有f(x) ≤ x，证明函数f(x)在区间[0, 1]上存在唯一的根。
解答：首先，由题意可知，函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1，即函数f(x)在区间[0, 1]的端点值分别为0和1。
假设存在两个不同的根x1和x2，且0 ≤ x1 < x2 ≤ 1。
则根据题意有f(x1) = 0，f(x2) = 0。
由于f(x)在区间[0, 1]上连续，根据介值定理，对于任意的c ∈ (0, 1)，都存在一个介于x1和x2之间的数x0，使得f(x0) = c。
当c = 0时，根据题意有f(x1) = 0，所以x1也是f(x) = 0的根，与x1和x2不同的假设矛盾。
当c = 1时，根据题意有f(x2) = 0，所以x2也是f(x) = 0的根，与x1和x2不同的假设矛盾。
综上所述，假设不成立，即函数f(x)在区间[0, 1]上存在唯一的根。
2.试题二：已知函数f(x)在区间[0, +∞)上连续，且f(0) = 0，f(x) > 0，对任意的x > 0，且f'(x) > 0，证明函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。
解答：根据题意可知，函数f(x)在区间[0, +∞)上连续，且f(0) = 0，f(x) > 0，对任意的x > 0，且f'(x) > 0。
假设存在两个不同的数x1和x2，且0 < x1 < x2。
由于f(x)在区间[0, +∞)上连续，根据介值定理，对于任意的c ∈ (0, f(x2))，都存在一个介于x1和x2之间的数x0，使得f(x0) = c。
根据函数的导数性质，当x > 0时，f'(x) > 0，即函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。
大三数学竞赛试题及答案
大三数学竞赛试题及答案题目一：极限问题题目描述：求下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0或无穷大时，可以使用洛必达法则。
由于分子和分母都趋向于0，我们可以对分子和分母同时求导数，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]题目二：微分方程问题题目描述：解下列微分方程：\[ y'' - y' - 6y = 0 \]答案：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。
设其特征方程为：\[ r^2 - r - 6 = 0 \]解得特征根为 \( r_1 = 3 \) 和 \( r_2 = -2 \)。
因此，微分方程的通解为：\[ y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} \]题目三：级数问题题目描述：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性，并求其和。
答案：这个级数可以通过部分分式分解来化简：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]解得 \( A = 1 \) 和 \( B = -1 \)，因此：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]利用级数的可加性，我们发现这是一个可裂项求和的级数，其和为：\[ S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots = 1 \]题目四：多元函数微分问题题目描述：设函数 \( f(x, y) = x^2y + y^3 - 3x \)，求 \( f \) 在点\( P(1, 1) \) 处的偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)。
2023年高等数学竞赛试题答案
高等数学竞赛试题１一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x x x01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上旳持续函数,则a = -1 。
２．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上旳最大值为332+π 。
3.()=+⎰--22d e x x x x26e 2-- 。
4.由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到旳旋转面在点()230,,处旳指向外侧旳单位法向量为{}32051,,。
5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----xy z x x y z 所确定,则=z d ()y x x x xy z xy z d d e 1e 1-1+++---- 。
二、选择题:1． 设函数 f (x ）可导,并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x处微分ｄy 是y ∆旳( A ）(A ）等价无穷小; （B )同阶但不等价旳无穷小; (Ｃ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2． 设函数ｆ (x )在点x = a 处可导,则()x f 在点x = ａ处不可导旳充要条件是（ C ) （A ）f (a ) = ０,且()0='a f ； （B )ｆ (ａ)≠0，但()0='a f ; （C )f (a ) ＝ ０,且()0≠'a f ； （D )f (a )≠0，且()0≠'a f 。
3． 曲线12+-+=x x x y （ Ｂ )(Ａ)没有渐近线; (B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C )有一条铅直渐近线; (Ｄ）有两条水平渐近线。
4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数,且()0≠'x,y yϕ。
已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下旳一种极值点,下列选项中旳对旳者为（ D )（A )若()00=',yx f x，则()00=',yxf y ; (B )若()00=',yx f x，则()00≠',yxf y；(C )若()00≠',yx f x,则()00=',yxf y; (D ）若()00≠',yx f x,则()00≠',yxf y。
(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档
而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ， 即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）行， 因 此， 由 ， Z y =2y 知（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷、填空题（每小题5分）（x + y ） ln （1 +》）1.计算 D -------------------- x dxdy =16/15，其中区域D 由直线y = 1与J 1-x-y两坐标轴所围成三角形区域.令t = 1 -u ，贝y u =1 -t1 2du =-2tdt ，u 2=1 —2t 2t 4，u(1—u)二 t 2(1—t)(1 t)，22 .设f(x)是连续 函数，且满足f(x) = 3x 2 - .o f(x)dx-2 ,则f(x) = _______________ .2解:令 A=J 0f(x)dx ，贝S f(x)=3x 3—A —2，22A (3x 2- A - 2)d x = 8 - QA 2) = 4 - 2A ,解得 A =—。
因此 f(x) =3x 2-10。
3323 .曲面z=L ，y 2-2平行平面2x 2y-z = 0的切平面方程是2解：因平面2x ，2y-z=0的法向量为（2,2,-1），而曲面2z=x y 2-2 在（X 0,y °）处的法向量为2（Z x （x °, y °）,Z y （x °, y °）,T ），故（Z x （x °, y °）, Z y （x °, y 。
）,-1）与（2,2^1）平解:令 x y=u,x=v ，贝卩 x=v, y=u —v ,■0 1 dudv = dudvJdxdy= det 〔2 =Z x (x °, y °) =x °,2 =Z y (x °, y °) =2y °，即 X o = 2, y ° =1，又 z(X o , y °) = z(2,1) = 5，于是曲面 2x 亠 2y —z =0 在(X o , y °,z(X o , y 。
大学数学竞赛试题及答案
大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，则\( f(x) \)的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若\( \int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2} \)，则\( \int_{0}^{2} x dx \)的值是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 设\( A \)为3阶方阵，且\( \det(A) = 2 \)，则\( \det(2A) \)的值是：A. 2B. 4C. 8D. 164. 以下哪个选项不是\( \mathbb{R}^3 \)中的向量？A. \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)B. \( \vec{b} = (1, 2, 3, 4) \)C. \( \vec{c} = (1, 2) \)D. \( \vec{d} = (1, 2, 3) \)5. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，则\( A \cap B \)的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 36. 圆的方程为\( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0 \)，圆心坐标是：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的最大值是______。
2. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)的值为______。
3. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式\( \det(A) \)的值是______。
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案大学数学竞赛通常涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个领域。
以下是一些典型的大学数学竞赛题目及其答案。
# 题目一：高等数学题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 2] \)上的最大值和最小值。
答案：首先，我们找到函数的导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)。
令导数等于零，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。
这个点不在给定区间内，所以我们需要检查区间端点的函数值。
在 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。
在 \( x = 2 \) 时，\( f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 9 \)。
因此，函数在区间 \( [1, 2] \) 上的最大值为 9，最小值为 2。
# 题目二：线性代数题目：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 1 \\3x + y + 2z = 8\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来解这个方程组。
首先将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行操作：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -11 \\0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right] \]继续行操作，得到：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2 & -5 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 3 & 13\end{array}\right] \]最后，我们得到解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)。
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案一、单项选择题1. 设函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. -∞答案：A2. 设矩阵A = [[a, b], [c, d]]，则A的行列式det(A)的值为（）A. ad - bcB. a + b + c + dC. ab + bd + ca + dcD. |a| |b| |c| |d|答案：A3. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6B. x^3 - 6C. 9 - 6xD. 3x^2答案：A4. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x)的值为（）A. 1/xB. xC. 1D. e^x答案：A5. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积a·b的值为（）A. -5B. 4C. 7D. 0答案：A二、多项选择题6. 以下哪个选项是正确的矩阵乘法规则？（）A. AB = BAB. (AB)C = A(BC)C. (A+B)C =AC+BC D. A(B+C) = AB+AC答案：B7. 以下哪个选项是正确的导数运算法则？（）A. (f+g)' = f' + g'B. (fg)' = fg' + gf'C. (f/g)' = f'/g - f/g^2D. (f^n)' = nf^(n-1)答案：A、C三、填空题8. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像是一个________。
答案：抛物线9. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]], 则矩阵A的逆矩阵A^-1为________。
答案：[[2, -1], [-3, 1]]10. 设向量a = (2, 3), 向量b = (-1, 2), 则向量a与向量b的夹角θ的值为________。
数学竞赛近年试题及答案
数学竞赛近年试题及答案【试题一】题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最大值和最小值。
【答案】首先，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。
函数 \( f(x) \) 的导数为 \( f'(x) = 6x - 5 \)。
令 \( f'(x) = 0 \) 得到 \( x = \frac{5}{6} \)。
接下来，我们需要检查区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 以及极值点 \( x = \frac{5}{6} \) 处的函数值：- \( f(1) = 3(1)^2 - 5(1) + 2 = 0 \)- \( f(3) = 3(3)^2 - 5(3) + 2 = 23 \)- \( f\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) + 2 \)计算得到 \( f\left(\frac{5}{6}\right) =3\left(\frac{25}{36}\right) - \frac{25}{6} + 2 = -\frac{1}{6} \)。
因此，函数 \( f(x) \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最小值为 \( -\frac{1}{6} \)，最大值为 \( 23 \)。
【试题二】题目：证明对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \) 的和等于 \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
【答案】我们可以利用数学归纳法来证明这个等式。
基础情况：当 \( n = 1 \) 时，左边的和为 \( 1^2 = 1 \)，右边的表达式为 \( \frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} = 1 \)，等式成立。
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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe=的两边对x 求导，得29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+因)(29ln y f y xe e =，故y y y f x'=''+)(1，即))(1(1y f x y '-='，因此 2222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'''+'--=''= 322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因xenx x x x x e nx x x x nn e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故nxn e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lime n n n e n ne e e e nx x x x 21212lim 20+=+++=+++=→因此e n A xenx x x x e e ne e e 2120)(lim +→==+++三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim 0和函数)(x f 连续知，0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=1d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1===⎰f t f g ，因此，当0≠x 时，⎰=xu u f x x g 0d )(1)(，故0)0(1)(limd )(lim)(lim 0====→→→⎰f x f xu u f x g x x x x 当0≠x 时，xx f u u f x x g x)(d )(1)(02+-='⎰， 200000d )(lim d )(1lim )0()(lim )0(xt t f x t t f x x g x g g x x xx x ⎰⎰→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 22d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200AA A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='⎰⎰→→→→这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Lyy x yey xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D x y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=--- y x e e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰-+=⎰--Lxy x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=-y x e e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰+=-而D 关于x 和y 是对称的，即知y x e eDx yd d )(sin sin ⎰⎰-+y xe e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰+=-因此⎰⎰-=---Lxy Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin （2）因)1(2)!4!21(2242t t t e e tt+≥+++=+-故22cos 522cos 12sin 22sin sin xx x e e x x -=-+=+≥+- 由⎰⎰⎰⎰⎰+=+=----Dxy LDx y y y y x e e y x e e x ye y xe d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin 知⎰⎰⎰⎰⎰+++=----Dx y LD xy yy y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+++=---Dx x Dx x D yy y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 200sin sin 25d 22cos 5d )(πππππ=-≥+=⎰⎰-x x x eexx即 2sin sin 25d d π⎰≥--L yy x yey xe 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx exe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设xxe xe y 21+=，xxe xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f cy y b y =+'+''的三个解，则x xe ey y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''cy y b y的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是02=++c b λλ因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= x e x )21(-=二阶常系数线性非齐次微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是2323dt )(311023102b a x b x abx ax +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰ 即)1(32a b -=而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积⎰⎰-+=+=1221022dt ))1(32(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ⎰⎰⎰-+-+=10221031042dt )1(94dt )1(34dt x a x a a x a πππ22)1(274)1(3151a a a a -+-+=πππ 即22)1(274)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ， 得04040904554=+--+a a a即054=+a因此45-=a ,23=b ,1=c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+='， 即x n e x y y 1-=-'由一阶线性非齐次微分方程公式知)d (1x x C e y n x ⎰-+=即)(nx C e y nx+=因此)()(nx C e x u nxn +=由)1()1(nC e u n e n +==知，0=C ， 于是ne x x u x n n =)(下面求级数的和：令∑∑∞=∞===11)()(n xn n n n e x x u x S 则x e x S e x x S n e x e xx S x n xn n x n xn -+=+=+='∑∑∞=-∞=-1)()()()(1111即xe x S x S x-=-'1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d 11()(x xC e x S x ⎰-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n nx u的和)1ln()(x e x S x --=八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。