等距节点的牛顿柯特斯公式.

n
(b a)
C(n) k

g(
xk
)
k 0
(g(x) 1)

b
g(x)dx
b
dx
(b a)
a
a
即
In In (b a)
Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的
(b a)倍
即 k n , Ck(n) 0时, Newton Cotes公式是稳定的
则
Ai (b a)Ci(n) 于是相应的插值型求积公式为
b a
f (x)dx (b a)
n
Ci(n) f (xi )
(2)
i0
这种等距节点的插值型求积公式(2)称为牛顿—柯特斯公式
Ci(n)叫柯特斯系数 .
在Newton-Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和 Simpson公式
记
n
I n (b a) Ck(n) f (xk )
k 0
为I
的近似值
n
(计算值
)
n
而理论值为 In (b a) Ck(n) f (xk )
k 0
I
n与I
的误差为
n
n
In In (b a) Ck(n)[ f (xk ) f (xk )] k 0
n
In In (b a) Ck(n) k k 0
1.梯形公式
取n 1,则x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为 于是
C (1) 0


1
(t
0
1)dt
1 2
C 1( 1 )

1
tdt
0
1 2
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
2.Simpson公式
取n

2,则x0
n
In In (b a) Ck(n) k k 0
n
(b a) Ck(n) k 0
max{| k|}
若 k n , Ck(n) 0,有
n
n
In In (b a)
C(n) k
(b a)
C(n) k

1
k 0
k 0
事实上,当n 8时，公式都是稳定的
若 Ck(n)有正有负 ,有
(b a)
n
C(n) k
(b a)
n
C(n) k
(b a)
k 0
k 0
此时,公式的稳定性将无法保证
因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式

n)dt
b a (1)ni n t(t 1)(t i 1)(t i 1)(t n)dt
n i!(n i)! 0 记
C (n) i

(1)ni i!(n i)!
n
t(t
0
1)(t
i
1)(t
i 1)(t
n)dt
(i 0,1,, n)
2
C (2) k
f
( xk
)
k 0
b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
6
2
二、Newton-Cotes公式的稳定性分析
考察Cotes系数
Ck(n)

(1)nk n k!(n k)!
n
(t
0 0 jn
j)dt
jk
只与积分区间
[
a
,
b]的节点
x
的划分有关
j
,与函数
f
(
x
)无关
其值可以精确给定
因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 函数值f (xk )的计算引起
只需讨论 f (xk )的舍入误差对公式的影 响 假设f (xk )为精确值,而以f (xk )作为f (xk )的近似 值(计算值)
k f (xk ) f ( xk ) 为误差
§8-4 等距节点的牛顿—柯特斯公式
一、公式推导
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 设函数f (x) C[a,b] 将积分区间[a,b]分割为n等份
各节点为 xi a ih , i 0,1,, n 其中h b a 为步长 n
如果作变量替换 x a th, 那么由
Ai
b (x x0 )(x xi1)(x xi1)(x xn ) dx a (xi x0 )(xi xi1)(xi xi1)(xi xn )
导出求积公式的系数
Ai

h
n 0
t(t
1)(t i 1)(t i 1)(t i!(1)ni (n i)!

a
,
x1

b
2
a, x2 Nhomakorabeab
,h

b
2
a
Cotes系数为
C0( 2 )

1 4
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1( 2 )

1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
于是
C2(2)

1 4
2
(t 1)tdt
0
1 6
b a
f (x)dx (b a)