常微分方程王高雄第三版
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注 若f (x, y)及f y (x, y)在G内连续,则f (x, y)在G内关于 y满足局部Lipschitz条件.
3 解的延拓定理
定理 如果方程(3.1)右侧函数f (x, y)在有界区域G 中连续,且在在G内f (x, y)关于y满足局部Lipschitz条
件.那么方程(3.1)通过G内任一点(x0, y0 )的解y (x) 可以延拓, 直到点( x, ( x))任意接近G的边界.
例如 初值问题
dy dx
x2
y2,
y(0) 0
当取定义域为 R : 1 x 1,1 y 1时, 解的存在唯一区间x h min{1, 1} 1 . 22
当取定义域为 R : 2 x 2,2 y 2时, 解的存在唯一区间x h min{2, 2} 1 . 84
1 饱和解及饱和区间
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f (x, y), 若对(x1, y1) G, 矩形R1 {( x, y) | x x1 a1, y y1 b1} G及常数 L1(与x1, y1, a1, b1有关), 使对(x, y' ), (x, y'' ) R1有
f (x, y' ) f (x, y") L1 y' y" 恒成立,则称f (x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件.
取x1 x0 h0, y1 (x1),以(x1, y1)为心作一小矩形
R1 G,则初值问题
dy dx
f
(x,
y),
(3)
y(x1) y1
存在唯一解y (x),解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因(x1) (x1),由唯一性定理,在两区间的重叠部分 应有(x) (x), 即当x1 h1 x x1时(x) (x),
以向x增大的一方来说,如果y (x)只延拓到区 间x0 x m上,则当x m时, (x,(x))趋于区域G的
边界.
证明 (x0, y0 ) G,由解存在唯一性定理 , 初值问题
dy dx
f
(x, y),
(2)
y(x0 ) y0
存在唯一解y (x),解的存在唯一区间为x x0 h0.
定义函数
*
(
x)
(x), (x),
x0 h0 x x0 h0 , x0 h0 x x1 h1
那么, y *(x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[x0 h0, x1 h1]
上有定义的唯一解.
即方程(3.1)满足(2)的解y *(x)为解y (x)在定义
区间x x0 h0的向右方延拓, 即将解延拓到较大区间 x0 h0 x x0 h0 h1上,
解 该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解 的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为
y 1 cex , 1 cex
故通过点(ln 2,3)的解为
证明 若饱和区间 I不是开区间,
设I (, ], 则( ,( )) G 这样解y (x)还可以向右延拓 ,
从而它是非饱和解 ,矛盾
对I [, )时,同样讨论 即x (或 )时, (x,(x)) G.
推论3 如果G是无界区域,在上面延拓定理条件下,
方程(3.1)的通过点(x0, y0 )的解y (x)可以延拓,以
定义1 对定义在平面区域G上的微分方程 dy f (x, y), (3.1) dx
设y (x)为方程(3.1)定义在区间(1, 1)的连续解,
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
(1) (2, 2 ) (1, 1)但(2, 2 ) (1, 1), (2) 当x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
若不存在满足上述条件的解y (x),则称解y (x), x (1, 1)为方程的一个不可延拓解,或饱和解.
此时把不可延拓解的定 义区间(1, 1)称为一个饱和区间 .
2 局部李普希茨(Lipschitz)条件
定义2 若函数f (x, y)在区域G内连续,且对G内的每 一点P, 有以P为中心完全含于G内的闭矩形RP 存在, 在RP上f (x, y)关于y满足Lipschitz条件(对不同的点, 域RP大小和常数L可能不同),则称f (x, y)在G内关 于y满足局部Lipschitz条件.
同样方法可把解 y (x)向左方延拓.
以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一 次地进行下去.直到无法延拓为止.
最后得到一条长长的积分曲线,
即得到(3.1)满足(2)的一个解 y (x).
它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1) 的饱和解.
推论1 对定义在平面区域G上的初值问题
dy dx
§3.2 解的延拓
问题提出
对于初值问题
dy dx
f
(x,
y),
R : x x0 a, y y0 b,
y(x0 ) y0
上节解存在唯一性定理 告诉我们,在一定条件下 ,
它的解在区间x
x0
这里h
h上存在唯一,
min(a, b ),M
Max
f
(x, y)
M
( x, y)R
根据经验,如果f (x, y)的定义域R越大,解的存在唯一 区间也应越大,
向x增大(减少)一方的延拓来说, 有下面的两种情况
(1) 解y (x)可以延拓到区间 [x0,)((, x0 ], (2) 解y (x)可以延拓到区间[x0, m)((m, x0 ], 其中m为有限数,当x m时,或者y (m)无界, 或者(x,(x)) G
例1 讨论方程 dy y2 1 通过点(ln 2,3)的解存在区间. dx 2
f (x, y),
其中(x0, y0 ) G.
y(x0 ) y0
若f (x, y)在G内连续且关于 y满足局部Lipschitz条件,
则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.
推论2 设y (x)为初值问题
dy dxHale Waihona Puke Baidu
f
(x, y),
其中(x0, y0 ) G.
y(x0 ) y0
一个饱和解,则该饱和解的饱和区间 I一定是开区间.
3 解的延拓定理
定理 如果方程(3.1)右侧函数f (x, y)在有界区域G 中连续,且在在G内f (x, y)关于y满足局部Lipschitz条
件.那么方程(3.1)通过G内任一点(x0, y0 )的解y (x) 可以延拓, 直到点( x, ( x))任意接近G的边界.
例如 初值问题
dy dx
x2
y2,
y(0) 0
当取定义域为 R : 1 x 1,1 y 1时, 解的存在唯一区间x h min{1, 1} 1 . 22
当取定义域为 R : 2 x 2,2 y 2时, 解的存在唯一区间x h min{2, 2} 1 . 84
1 饱和解及饱和区间
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f (x, y), 若对(x1, y1) G, 矩形R1 {( x, y) | x x1 a1, y y1 b1} G及常数 L1(与x1, y1, a1, b1有关), 使对(x, y' ), (x, y'' ) R1有
f (x, y' ) f (x, y") L1 y' y" 恒成立,则称f (x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件.
取x1 x0 h0, y1 (x1),以(x1, y1)为心作一小矩形
R1 G,则初值问题
dy dx
f
(x,
y),
(3)
y(x1) y1
存在唯一解y (x),解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因(x1) (x1),由唯一性定理,在两区间的重叠部分 应有(x) (x), 即当x1 h1 x x1时(x) (x),
以向x增大的一方来说,如果y (x)只延拓到区 间x0 x m上,则当x m时, (x,(x))趋于区域G的
边界.
证明 (x0, y0 ) G,由解存在唯一性定理 , 初值问题
dy dx
f
(x, y),
(2)
y(x0 ) y0
存在唯一解y (x),解的存在唯一区间为x x0 h0.
定义函数
*
(
x)
(x), (x),
x0 h0 x x0 h0 , x0 h0 x x1 h1
那么, y *(x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[x0 h0, x1 h1]
上有定义的唯一解.
即方程(3.1)满足(2)的解y *(x)为解y (x)在定义
区间x x0 h0的向右方延拓, 即将解延拓到较大区间 x0 h0 x x0 h0 h1上,
解 该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解 的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为
y 1 cex , 1 cex
故通过点(ln 2,3)的解为
证明 若饱和区间 I不是开区间,
设I (, ], 则( ,( )) G 这样解y (x)还可以向右延拓 ,
从而它是非饱和解 ,矛盾
对I [, )时,同样讨论 即x (或 )时, (x,(x)) G.
推论3 如果G是无界区域,在上面延拓定理条件下,
方程(3.1)的通过点(x0, y0 )的解y (x)可以延拓,以
定义1 对定义在平面区域G上的微分方程 dy f (x, y), (3.1) dx
设y (x)为方程(3.1)定义在区间(1, 1)的连续解,
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
(1) (2, 2 ) (1, 1)但(2, 2 ) (1, 1), (2) 当x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
若不存在满足上述条件的解y (x),则称解y (x), x (1, 1)为方程的一个不可延拓解,或饱和解.
此时把不可延拓解的定 义区间(1, 1)称为一个饱和区间 .
2 局部李普希茨(Lipschitz)条件
定义2 若函数f (x, y)在区域G内连续,且对G内的每 一点P, 有以P为中心完全含于G内的闭矩形RP 存在, 在RP上f (x, y)关于y满足Lipschitz条件(对不同的点, 域RP大小和常数L可能不同),则称f (x, y)在G内关 于y满足局部Lipschitz条件.
同样方法可把解 y (x)向左方延拓.
以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一 次地进行下去.直到无法延拓为止.
最后得到一条长长的积分曲线,
即得到(3.1)满足(2)的一个解 y (x).
它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1) 的饱和解.
推论1 对定义在平面区域G上的初值问题
dy dx
§3.2 解的延拓
问题提出
对于初值问题
dy dx
f
(x,
y),
R : x x0 a, y y0 b,
y(x0 ) y0
上节解存在唯一性定理 告诉我们,在一定条件下 ,
它的解在区间x
x0
这里h
h上存在唯一,
min(a, b ),M
Max
f
(x, y)
M
( x, y)R
根据经验,如果f (x, y)的定义域R越大,解的存在唯一 区间也应越大,
向x增大(减少)一方的延拓来说, 有下面的两种情况
(1) 解y (x)可以延拓到区间 [x0,)((, x0 ], (2) 解y (x)可以延拓到区间[x0, m)((m, x0 ], 其中m为有限数,当x m时,或者y (m)无界, 或者(x,(x)) G
例1 讨论方程 dy y2 1 通过点(ln 2,3)的解存在区间. dx 2
f (x, y),
其中(x0, y0 ) G.
y(x0 ) y0
若f (x, y)在G内连续且关于 y满足局部Lipschitz条件,
则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.
推论2 设y (x)为初值问题
dy dxHale Waihona Puke Baidu
f
(x, y),
其中(x0, y0 ) G.
y(x0 ) y0
一个饱和解,则该饱和解的饱和区间 I一定是开区间.