2015全国高考数学理科真题 圆锥曲线专题

2015全国各地高考真题 圆锥曲线
1.【2015福建理3】若双曲线22
:1916
x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
2.【2015四川理5】过双曲线2
213
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）
(A)433
(B)2
3 (C)6 （D ）43
3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54
e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14
32
2=-y x 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,
x y ）是双曲线
C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若
120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )
（A ）（-33，33） （B ）（-36
，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >
B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <
C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线
24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()2
2250x y r r -+=>相切于点M ，
且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）
()13，
（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 7.【2015重庆理10】设双曲线22
22
1x y a b -=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分
别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A 、(1,0)
(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C 、(2,0)(0,2)- D 、(,2)(2,)-∞-+∞
8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()22
22
10,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()
2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛
物线
247y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )
（A ）
2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22
143
x y -=
9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在
y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）
（A ）22
14y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）22
14
x y -=
10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直
线上有三个不同的点
A ，
B ，
C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则
BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）
A.
1
1BF AF -- B. 2
2
11BF AF -- C.
1
1BF AF ++ D. 2
2
11
BF AF ++ 11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．
5 B ．2 C ．3 D ．2
12.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22
210x y a a
-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =
．
13.【2015高考上海，理5】抛物线
22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．
14.【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22
221x y a b
-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其
虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .
15.【2015高考浙江，理9】双曲线2
212
x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 16.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=错误！未找到引用源。

的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
18.【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分） 已知椭圆2
22:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于
坐标轴，l 与C 有两个交点
A ，
B ，线段AB 的中点为M ．
(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．
1【答案】B 2【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，
渐近线方程为2
20
3
y x -=，
将2x
=代入2
203
y
x -=得：2
12,23,||43y y AB ==±∴=. 3【答案】B ． 4【答案】A
5【答案】D 【解析】依题意，22
2
1
)(1a
b a b a e +=+=，22
2
2)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=，
因为
)
()
()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=
+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ， 所以当b a
>时，10<<a
b ，10<++<m
a m
b ，m
a m
b a
b ++<，22)()(m
a m
b a b ++<，所以12e e <；
当b a <时，1>a b ，1>++m
a m
b ，而m a m b a b ++>，所以22
)()(m a m b a b ++>，所以12
e e >. 6【答案】D 【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设
11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则2
11222
44y x y x ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以
1212
12
22y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得0
00001,55y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,2323y y =∴-<<.因为点M 在
圆
()
()2
2250x y r r -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率
不存在，故
00y ≠，所以不取等号），所以2
04416,24y r <+<∴<<.选D.
7.
8【答案】D 【解析】双曲线()22
2
210,0x y a b a b -=>> 的渐近线方程为b y x a
=±，由点()
2,3在渐近线上，所以32b a =，双曲线的一个焦点在抛物线247y x =准线方程7x =-上，所以7c =，由此可解得2,3a b ==，所以2
2
14
3
x
y -
=. 9【答案】C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2
204
y x -=，即2y x =±，
10【答案】A.
x
y
–121
2
3
4
5
6
7
8
9
–1–2–3–4–5–6
1
2345
6A
B
C
F
O M
11【答案】D 【解析】设双曲线方程为22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB
BM
=，
120ABM ∠=，过点
M
作
MN x ⊥轴，垂足为N
，在
Rt BMN ∆中，
BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,
3)M a a ，代入双曲线方程得
2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．
12【答案】33
【解析】()2
2210x
y a a -=>的渐近线方程为1y x a =±，303x y y x +=⇒=-，0a >,则133,3a a -=-=
13.【答案】2【解析】抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即
1, 2.2
p
p ==
14.【答案】
5.
15【答案】32，x y 2
2±
=. 16【答案】22325()24x y -
+=
【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222
(4)2a a -=+，解得32
a =. 18【答案】【解析】(Ⅰ)设直线:
l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122
29
M
x x kb
x k +=
=-+，
2(3)23(9)
mk k k -⨯
+．解得
147k =-，247k =+．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行
四边形．。