新人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结

一、分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子

B

A

叫做分式。 例1.下列各式a

π,11x +，15

x ＋y ，22a b a b --，－3ｘ2，０•中,是分式的有（ ）个。

二、 分式有意义的条件是分母不为零；【Ｂ≠０】 分式没有意义的条件是分母等于零;【B=０】

分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠０且A=０ 即子零母不零】

例2.下列分式，当x 取何值时有意义。(1)21

32

x x ++; (2)2323x x +-。

例3.下列各式中，无论x 取何值,分式都有意义的是（ ）。 Ａ.

121x + Ｂ.21x x + C ．231

x x

+ D ．2

221x x +

例4．当x______时，分式21

34

x x +-无意义。当ｘ_＿__＿__时,分式2212x x x -+-的值为零。

例５.已知

1x -1

y

=3,求5352x xy y x xy y +---的值。

三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于０的整式,分式的值不变。

(0≠C ) 四、分式的通分和约分:关键先是分解因式。

例6.不改变分式的值，使分式11

5101139

x y

x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘以(• ）。 例７.不改变分式2323523

x x

x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是(• )。

例８．分式434y x a +,2411x x --,22x xy y x y -++,22

22a ab

ab b +-中是最简分式的有( ）。 例９.约分：（1)22699x x x ++-； (２)22

32

m m m m

-+- 例１0.通分:（1)26x ab ,29y a bc ; (2）2

1

21a a a -++，261

a -

例11.已知x 2+３x+１=0，求x 2+

2

1

x 的值. 例１2.已知x+1

x

=3,求2421x x x ++的值．

五、分式的运算：

分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减,先通分，变为同分母分式,然后再加减。

,a b a b a c ad bc ad bc

c c c b

d bd bd bd

±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

例13.当分式211x --21x +－1

1

x -的值等于零时，则x ＝_________。 例14.已知a+b=３，ab=1，则a b +b a 的值等于_____＿＿。 例１5.计算：222x x x +--21

44x x x --+。

例1６.计算:2

1

x x --x －1

例17.先化简,再求值:

3a a --263a a a +-+3a ，其中a=32

。 六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10

≠=a a ；

当n 为正整数时,n

n

a a 1

=

- ()0≠a 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.（m,n 是整数)

(1)同底数的幂的乘法:n

m n m a a a +=⋅；

（2）幂的乘方：mn

n

m a

a =)(；

(3）积的乘方：n

n

n

b a ab =)(;

bc

ad

c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n n n b

a b a =)(C B C A B A ⋅⋅=C

B C A B A ÷÷=

(4）同底数的幂的除法:n

m n

m

a

a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方:n n

n b

a b a =)(（b ≠０）

八、科学记数法:把一个数表示成n a 10⨯的形式(其中101<≤a ，n 是整数)的记数方法叫做科学记

数法。

１、用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时,其中１0的指数是1-n 。

2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中1０的指数是第一个非0数字前面０的个数(包括小数点前面的一个0)。 例1８.若2510

2=x

,则x -10等于（ )。

A ．51- B.51 C.501 D.625

1

例１9．若31=+-a a ，则22-+a a 等于（ )。 A. 9 Ｂ. 1 C. 7 D. 11

例２0.计算:(1)1

01

23)326(34--⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅-⋅- （2）()

3

2

132----xy b a

例21.人类的遗传物质就是D ＮＡ,人类的DNA 是很长的链,最短的２2号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是＿＿＿__＿_____。 例22．计算(

)()

___________10310

32

12

5=⨯÷⨯--。

例2３.自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一门新学科,这就是“纳米技术”,已知5２个纳米的长度为0．00０0０005２米，用科学记数法表示这个数为＿________。

例２4．计算34x x y -＋4x y y x +--74y x y -得（ ） Ａ.-264x y x y +- B.264x y

x y

+- C.-2 Ｄ.2

例25.计算a-b+22b a b +得（ ) A ．22a b b a b -++ B.ａ+ｂ C.22

a b a b

++ D.ａ-ｂ

九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1、解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母）,把分式方程转化为整式方程。

2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。 ３、解分式方程的步骤：

(1)、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （２）、解这个整式方程。

（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（４)、写出原方程的根。

增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 4、分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。

例2６.解方程。

(1)623-=x x （2)1613122-=-++x x x (3)01152=+-+x x （4)x

x x 387

41836---

=- 例27． X 为何值时，代数式x

x x x 2

31392---++的值等于2?

例28.若方程1

22

423=+-+x x 有增根,则增根应是（ )

十、列方程应用题

（一）、步骤(１)审：分析题意，找出研究对象,建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位;(3)

列:根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细;(5)检：不要忘记检验;(6)答:不要忘记写。 （二） 应用题的几种类型:

1、行程问题:基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。

例２9.甲、乙两地相距19千米,某人从甲地去乙地,先步行７千米,然后改骑自行车,共用了２小时到达乙地,已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 2、工程问题 基本公式:工作量=工时×工效。

例30．一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成，如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天？ 3、顺水逆水问题 v

顺水

=v 静水+v 水； ｖ逆水=v 静水－ｖ水。

例3１．已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行7２千米所用的时间与逆流航行4８千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米？