3-1刚体定轴转动、转动惯量、转动定律

轴2
轴1
x o
d
x dx
x
1 2 ml 12
讨论: (1) 轴2:
l 1 2 2 J 2 ( x) dx ml l / 2 2 3
l/2
转动惯量
力学 第三章 刚体的运动
1 12 ml 与 J 2
2
讨论:(2) J1 平行轴Leabharlann Baidu理:
1 3
ml 关系:
2
轴2
轴1
d ( J ) dLz 更普遍的表达式： M z dt dt 说明： • Mz, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； • 比较Mz= J 和F=ma：改变刚体转动状态的是力矩； • 转动惯量是刚体转动惯性的量度。
讨论(3) 轻质细棒, 轴1:
m l 2 m l 2 1 2 J 3 ( ) ( ) ml 2 2 2 2 4 ① J 与质量有关; ② J 与质量分布有关; ③ J 与轴的位置有关.
m 2
o
m 2
转动定律
力学 第三章 刚体的运动
三、刚体定轴转动的转动定律(P114) 由牛顿第二定律推导出： M z J
转动 非定轴转动 定轴转动 特点:各质元都绕定轴作圆周运动, 、 、 相同,
平动
转动
一般运动
刚体的运动
三、描述刚体定轴转动的物理量
1. 参考平面：与转轴相垂直的平面。 2. 角位置，角位移
力学 第三章 刚体的运动
角位置 ：位矢与 ox 轴夹角。
角位移 d ：dt 时间内角位置增量。
M F1d1 F2 d 2
F1
P
o d1
F2
说明：
•与转轴垂直但作用于转轴的力对转动不产生力矩；
•与转轴平行的力对转轴不产生力矩；
•刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。
力矩
力学 第三章 刚体的运动
例1 下图所示为一根均匀细棒，可绕右端O轴 在铅直面内转动。设它在水平位置时所受的 重力矩为M，则当此棒被切去2/3，剩下右边 的1/3，在水平位置时棒所受的重力矩为 （A）M/3 （B）M/9 （C）M/6 （D）M
三. 重点、难点: 重点: 刚体定轴转动的转动定律及其应用. 难点: 刚体的角动量、定轴刚体的角动量定理.
力学 第三章 刚体的运动 §3-1 刚体的平动、转动和定轴转动
一. 刚体 — 非形变体(不变质点组). 二. 刚体的运动 F mac 平动 特点: 各质元点 r 、 a 相同 用质心的运动代表 、
转动惯量
力学 第三章 刚体的运动
例3-1(P115). 一匀质细棒, 质量为 m, 长为l , 轴过棒中心且垂直于棒. 求: 棒对该轴的转动惯量.
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dx
J1 x 2dm
m l/2
x

l / 2
x dx
2
m l
l/3
M r F l mg l M mg M 2 3 6 [B]
O l
转动惯量
力学 第三章 刚体的运动
二. 转动惯量(P115)
1. 定义 离散分布刚体的转动惯量:
J lim mi ri
n i 1
n
2
J mi ri
i 1
n
2
无限分割刚体:
连续分布刚体的转动惯量:
y
运动方程： ( t )
定轴转动只有两个转动方向。 规定：
d
0
P(t+dt) P(t)

x
位矢从ox 轴逆时针方向转动时角位置 为正，反之， 为负。
刚体的运动
力学 第三章 刚体的运动
3. 角速度和角加速度 d d d 2 2 dt dt dt
y r O
ri
mj
ri
F ( F )
fji fij
O
mi
一对内力的力矩之和为零
大小 方向
M rF sin(r , F ) rF sin r sin F
r F
右手法则
力矩
力学 第三章 刚体的运动

对定轴转动
M只有两个方向，可用正、负表示。 合力矩： M M 1 M 2
dm dV
例3-2(P116): 求圆盘对于通过中心 并与盘面垂直的转轴的转动惯量。 设圆盘的半径为 R ，质量为 m ，密 度均匀。
r dr
R
解
设质量面密度，取r~r+dr的圆环，dm= 2rdr 4 R R 1 3 2 mR 2 J r dm 2 r dr 0 2 2
x
2
J J c md
o
d
x dx
x
•说明:
• 两轴平行； • JC为刚体绕质心轴的转动惯量； • d 为两平行轴间距离。
转动惯量
力学 第三章 刚体的运动
常用的几个J（P118） C R
m
2 J =mR 均匀圆环： c
均匀圆盘： C R m
1 J c mR 2 2
均匀杆：
A
C l 2 l 2
m
1 2 1 2 J c ml ，J A ml 12 3
转动惯量
力学 第三章 刚体的运动 轴1
例2. 一均匀圆环的质量为 m, 半径为 R , 轴垂直于环面, 到圆心的距离为d . 求: 转动惯量.
解: J1 J c md 2
J 2 mR 2 md 2
d
轴2
mR 2 md 2
x
r
ω
a β
4. 线量与角量的关系(P113)
方向垂直 和 r 组成的平面
r


at r , an r
2
§3-2 力矩 转动惯量 转动定律
一. 力矩
M r F
Z
力学 第三章 刚体的运动
M 是改变刚体运动状态的唯一原因。
F//
F
o
rj
J r 2dm
m
ri
mi
对刚体积分
dm — 质元的质量 r — 质元的轴距 2 注意 : J mdr m r 2 dm — 质元的转动惯量 2. 有关因素：转轴的位置、质量、形状
转动惯量
3. 计算: J
m
r 2dm
线分布
dm dl
力学 第三章 刚体的运动
面分布 体分布
dm ds
第三章 刚体的运动
力学 第三章 刚体的运动
一. 教学内容: 刚体的运动; 转动惯量、转动动能、刚体的角动量、力矩; 刚体定轴转动的转动定律、动能定理、 角动量定理、角动量守恒定律. 二. 教学要求: 1. 理解刚体模型, 了解转动惯量的概念; 2. 掌握力矩的概念, 理解刚体定轴转动定律及其适用条件; 3. 理解力矩的功和转动动能, 掌握定轴转动动能定理及其应用; 4. 理解角动量的概念、定轴刚体的角动量定理和角动量守恒定律.