北邮运筹学ch2-1 线性规划的对偶模型

产品 资源
Ⅰ
AB
C
98
6
资源限量 500
Ⅱ
54
7
450
Ⅲ
83
2
300
Ⅳ
76
4
550
每件产品利润 100 80 70
建立总收益最大的数学模型。
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
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【解】设x1，x2，x3分别为产品A，B，C的产量，则线性规划数学模
这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划问题是前面 生产计划问题的对偶线性规划问题或对偶问题。生产计划 的线性规划问题称为原始线性规划问题或原问题。
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Dual model of LP
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【例2.2】某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，
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min w 500 y1 450 y2 300 y3 550 y4
9 y1 5y2 8y3 7 y4 100 8y1 4 y2 3y3 6 y4 80 6 y1 7 y2 2 y3 4 y4 70 yi 0,i 1,,4
13x1 25x2 14x3 40x4 8x5 11x6 80
1284xx11

9x2 7x2
30x3 25x4 12x5 21x3 34x4 10x5
15x6 180
150
x1、x2、x3、x4、x5、x6 0
现有一制药厂要生产一种包含A、B、C三种营养成分的合 成药，如何制定价格，使得此药既要畅销又要产值最大。
品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资Leabharlann Baidu的转让价格
是多少才合理？价格太高对方不愿意接受，价格太低本单位收益又
太少。合理的价格应是对方用最少的资金购买本企业的全部资源，
而本企业所获得的利润不应低于自己用于生产时所获得的利润。这
一决策问题可用下列线性规划数学模型来表示。
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运筹学
Operations Research
Chapter 2 对偶问题
Dual Problem
1. 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP
2.对偶性质
Dual property
3.对偶单纯形法
Dual Simplex Method
4.灵敏度分析
Sensitivity Analysis
14
y1

30 y2

21y3

0.8
40 y1 25 y2 34 y3 0.9
8 y1 12 y2 10 y3 0.3
11y1 15 y2 0.2

y1、 y
2、y
3

0
影子价格(Shadow price): 上面两个线性规划有着重要的经
济含义。原始线性规划问题考虑的是充分利用现有资源，以产品的 数量和单位产品的收益来决定企业的总收益，没有考虑到资源的价 格，但实际在构成产品的收益中，不同的资源对收益的贡献也不同， 它是企业生产过程中一种隐含的潜在价值，经济学中称为影子价格，
型为： max Z 100x1 80x2 70x3
9x1 8x2 6x3 500
85xx11

4x2 3x2

7x3 2x3

450 300
7x1 6x2 4x3 550
x1, x2, x3 0
现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业自己不生产产
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在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规 划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。
【例2.1】 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、 资源限量及价值系数如下表：
A不少于80单位，B不少于150
单位，C不少于180单位。此人准备每天从六种食物中摄
取这三种营养成分。已知六种食物每百克的营养成分含量
及食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上
花费最少的数学模型。
含量 食物
营养成分
一
二
三 四 五 六 需要量
A
13 25 14 40 8 11 ≥80
B
24
9
30 25 12 15 ≥150
C
18
7
21 34 10 0 ≥180
食物单价（元/100g） 0.5 0.4 0.8 0.9 0.3 0.2
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【解】设xj为每天第j种食物的用量，数学模型为
min Z 0.5x1 0.4x2 0.8x3 0.9x4 0.3x5 0.2x6
设yi（i=1，2，3）为第i种营养成分的单价，则
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max w 80 y1 150 y2 180 y3
13y1 24 y2 18 y3 0.5 25 y1 9 y2 7 y3 0.4
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设y1，y2，y3及y4分别表示四种资源的单位增殖价格（售价 ＝成本＋增殖），总增殖最低可用
min w=500y1+450y2+300y3+550y4
表示。企业生产一件产品A用了四种资源的数量分别是9， 5，8和7个单位，利润是100,企业出售这些数量的资源所 得的利润不能少于100，即
9y1 5y2 8y3 7 y4 100
同理，对产品B和C有
8 y1 4 y2 3y3 6 y4 80 6 y1 7 y2 2 y3 4 y4 70
价格不可能小于零，即有yi≥0,i=1, …,4.从而企业的资源价 格模型为
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