风险价值VaR的稳健性检验

摘要：（本文根据VaR 定义, 提出一个两点分布, 然后运用样本数据对其未知

分布参数进行估计, 得出它的置信域, 再利用该分布参数和VaR 的内在关系来完成对VaR 的检验.）

关键词：风险价值VaR，稳健性检验，kupiec检验法

引言：风险价值VaR是近年来国外兴起的一种金融市场的风险管理工具，旨在

估计给金融资产或投资组合在未来可能遭受的最大损失或潜在损失。VAR可以将多种市场风险换算成一个可用货币计量的指标数值，投资者可根据这个简单数值，分析出整个资产面临的风险、组合内的风险分散及风险和概率之间的关系。VAR 模型中将投资组合的价值，设置为其所有市场风险因子的函数，因此可度量包括利率、汇率、股票、商品价格和金融衍生产品风险在内的各种市场风险，并度量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在风险。而这些都是适合市场需要的最重要因素，并且是传统风险价值方法无法比拟的。其对市场的重大影响价值使得VaR的准确性、稳健性又成为银行监管者及模型使用者所关注的问题，因为模型只有在很好预测风险时才发挥作用。如果频繁出现超出预计的大额损失，这时使用者必须从头做起，检查错误在哪。然而在实际应用中，由于数据抽样、模型假设、随机因素和人为因素的影响，无论采用哪种方法都会产生一定的偏差。为了准确把握VaR估计结果的稳健性，VaR的稳健性检验也成为了使用VaR的必然也是最重要的检验之一。

风险价值VaR的计算

1、VaR模型以及参数设定

衡量VaR的第一步是对两个数量因素的选取：

1）基本时间间隔应为多长：它是对给定持有期限的回报的波动性和关联性考察的整体时间长度, 是整个数据选取的时间范围。

2）持有期限：它是衡量回报波动性和关联性的时间单位, 也是取得观察数据的频率。持有期限应该根据组合调整的速度来具体确定。

3）置信水平应为多大：置信水平过低, 损失超过VaR 值的极端事件发生的概率过高, 这使得VaR 失去意义。置信水平过高, 超过VaR 值的极端事件发生的概率可以得到降低, 但统计样本中反映极端事件的数据也越来越少, 这使得对VaR 值估计的准确性下降。

2、我们对VaR模型的几个假设

1)市场有效性假设( 有效性定义: 有关证券的各种信息均反映在其价格

中) ;

2)市场的波动是随机的, 不存在自相关性。

（注：因为根据我国学者的实证研究，我国目前证券市场为弱有效性，并且政府对市场的干预以及交易商的投机操纵行为也使得我国证券市场具有自相关性，因此证券市场的日收益率的波动不能完全满足正态性，所以我们这里计算只能将其近似为正态处理。事实上完全满足市场强有效性和收益率正态分布假设的

市场是不存在的，只是为利用VaR 模型计算而设计的一种理论上的假设。）

3、VaR 模型

VaR 的定义：在正常市场条件和给定置信度内，投资组合在既定时期内可能遭受的最大价值损失。用数学语言表示为：

Prob （X

几种稳健性检验方法

1）Kupiec 提出的LR 检验方法：目前处理模型风险最为常用的统计检验方法，是Kupiec 提出的似然率（likelihood ratio,下文简记为LR ）方法，这种方法非常简单并且有一定的可靠性。并且为大多数风险检验者所用。

使用方法:将观测到的盈亏结果与测定的VaR 值进行比较，超过测定VaR 的例外情形可被视为一个二项分布中出现的独立事件。定义0-1变量1It = 表示例外情形的发生， 0It =表示没有发生超出VaR 的损失。记1It =的样本数为N ，则失败频率为(/)P N T ∧=,Kupiec 检验的零假设为P P ∧=，其似然比检验的统计量为：

22[(1)]2[(1)]~:(1)T N N T N N uc LR In p p In p p X ΛΛ--=--+-

2）正态近似法

正态近似检验法是失败检验发的一种，也是检验VaR 的估计值是否与实际情况相符的一种较为简单并且容易的检验方法，但是这种检验法相对于Kupiec 检验的准确性较低。

使用方法：假定样本观察周期为T 天，则T 天内的失败天数N 服从二项分布(,),B T p p 为失败率，即实际损益超过VaR 估计值的概率。

在上述假设下，当T 相当大是，根据中心极限定理，可将二项分布近似看成正态分布，即~(0,1)(1)N pT z N p p T

-=-，在给定原假设p α=成立时，检验统计量~(0,1)(1)N T z N T

ααα-=-，根据假设检验的原理，可以得到失败天数N 的接受域：/2/2(1)(1)T T N T T ββαμαααμαα--≤≤+-，

其中/2βμ为正态分布的上2β分位数，β为假设检验的显著性水平，在给定β，VaR 的左尾概率和样本容量T 的不同取值时，就可以得到相应的接受域或者拒绝域。这是当实际观测的样本取值N 落入接受域时，就接受原假设，认为相应的VaR 模型可以用来进行风险衡量，否则，的那个样本取值N 落入拒绝域是，说明VaR 模型低估或者高估了资产的实际风险。

3）贝叶斯方法

贝叶斯方法是一种新近的VaR 稳健性检验方法，其对大样本数据或者小样本数据都有较好的估计，而且准确性较高，但分析过程与计算比较繁琐。下面对其使用方法进行简单介绍。

使用方法：在上述正态检验方法的假设条件下，失败天数N 服从二项分布(,)B T p ，其概率分布如下：

()(1)k k T k T p N k p C p p -==- 1,2,,k T =

根据贝叶斯理论，在对任何未知参数作区间估计的时候均可把该参数当作随机变量，并且在事先没有任何关于参数的信息时，按照同等无知原理，假定该参数服从参数空间上的均匀分布，因此，这里假设二项分布的参数p 的无信息先验分布为均匀分布(0,1)U ，则p 的鲜艳分布密度为：

根据贝叶斯原理，可得p 的后验分布为：

(1)1(1)11()(1)(1,1)

k T k f p k P p B k T k +--+-=-+-+ 其中，K 是考察周期内失败的天数，(1,1)B k T k +-+为Beta 函数。由Beta 分布的密度函数可知，p 的后验分布为(1,1)B k T k +-+。

根据Beta 分布的密度函数性质，设p 的置信水平为1β-的置信区间为,,t u p p ????则p 在区间[]0,t p 上取值的概率为2β，在区间[]0,u p 上取值的概率为12β-，根据对p 的密度函数在p 取值区间上积分得到相应的取值概率，有下面两个方程成立：

(1)1(1)10

1(1)2(1,1)p k T k p p dp B k T k β+--+--=+-+? (1)1(1)101

(1)12(1,1)u p k T k p p dp B k T k β+--+--=-+-+?

2(2(1),2(1))F T k k β-++ 解得，211(1)(2(1),2(1))

t k p k T k F T k k β+=++-+?-++ 1211(1)(2(1),2(1))u k p k T k F T k k β-+=

++-+?-++ 其中，2(2(1),2(1))F T k k β-++为F 分布上的2β分位数。

结论就是，按照同等无知原理，假设二项分布的未知参数p 服从参数空间上

的均匀分布，运用贝叶斯定理，验证了p 的后验分布为Beta 分布。然后根据Beta 分布密度函数的性质，在给定的置信水平下，得到p 的置信区间：,t u p p ????由于N Tp =，在原假设p α=成立时，在给定的检验的显著性水平β，VaR 的左尾概率α和样本容量T 的不同取值时，根据上面的公式就可以得到失败次数N 的接受域。当实际的样本取值N 落入接受域时，认为相应的VaR 模型可以用来进行风险衡量，否则，当样本取值N 落入拒绝域时，需要进一步判定该VaR 模型对于资产的实际风险是低估还是高估的。由于这种接受域是在贝叶斯统计理论下推到出来的，故这种检验VaR 的方法称为贝叶斯检验法。

上述稳健性检验方法是生活中使用较多的VaR 稳健性检验方法，但是基于实用性与准确性，Kupiec 方法无疑要比其他两种方法方便使用而且准确性也很良好。基于Kupiec 方法的上述特征，我们下面VaR 的稳健性检验在实践当中的应用中就采用此种方法，对上证与深成指数的VaR 进行稳健性检验

VaR 的稳健性检验在实践当中的应用

1、数据的收集

由于在众多的金融衍生品中，股指期货如何进行风险管理, 已经成为业界极为关注的课题。所以在这里就引入股指期货中所受关注较多的上证指数为VaR 计算以及VaR 稳健性检验的实证分析对象。我们选取2009年8月27号到2010年11月29号共220个交易日的上证综指数据，与2009年8月27号到2010年11月29号共220个交易日的深圳成指数据作为实证样本数据。

2、参数的设定

对于证券市场我们需要做如下参数设定

1）持有期限：根据股价指数波动的特点，我们选择持有期限为一日。

2）持有期限：根据股票变动速度，我们采集样本的观察期间为1年。

3）置信水平：根据我国证券市场的特点，我们设定置信水平为95%。

3、 VaR 的计算及分析过程

1）在假设条件下计算指数日收益率：

(/1)Xt In Pt Pt =-

此处利用每日的对数收益率来近似实际的收益率，其中Pt 为t 日的收盘价格。然后再根据正态分布的特性计算出给定置信度下的收益率。

2）做日收益率分布直方图进行正态检验。（见图1与图2）

图一

图二

从图一与图二可以看出上证综合指数日收益率分布表现出较强的正态特征：众数附近十分集中，尾部细小。

3）有关上证综指与深证成指日收益率的相关统计结果如下

上证综指深证成指

均值()μ -0.00014

0.00058 方差2()x σ

0.000742 0.0043 标准差()x σ 0.027239 0.020726

4）VaR 的计算

由于正态分布的特点，集中在均值附近左右各1.65σ区间范围内的概率为0.90，用公式表示为( 1.65 1.65)0.90P X μσμσ-<<+=，再根据正态分布的对称性可知( 1.65)( 1.65)0.05P X P X μσμσ<-=>+=；则有( 1.65)0.95P X μσ>-=。根据以上计算结果可知在95%的置信度情况下：

t 日VaR 值=1t -日收盘价1.65σ。

根据数据与公式，可以计算出上证指数2009年8月27日至2010年11月29日和深成指数2009年11月2日至2009年11月29日的任何一交易日的VaR 值。如：2009年12月15日的上证综合指数VaR 值为：

VaR=3274.46（2009年12月14日收盘价）?1.650.027239147.17?=

转化成文字语言的意义为：根据该模型可以有95%的把握判断上证综指在2009年12月15日的收盘价不会低于14日收盘价-15日的VaR 的值，即：

3274.46-147.17=3127.29

实际上证综指12月14日的收盘价为3302.9。

4稳健性检验

计算出上证指数与深成指数的VaR 以后，我们就需要用上述选好的Kupiec 方法对VaR 的稳健性进行检验。

在几种稳健性检验方法介绍的假设前提下根据公式：

22[(1)

]2[(1)]~:(1)T N N T N N uc LR In p p In p p X ΛΛ--=--+- 我们可以得出

概率水平p

255T =天非拒绝区+失效数510NT =天 1000T =天 0.01

7N < 111N << 417N << 0.025

212N << 621N << 1536N << 0.05

621N << 1636N << 3765N << 0.075

1128N << 2751N << 5992N << 0.10

1636N <<

3865N << 81120N << 以上表格的数据表示在一年期限内（T=255），我们所预计5%25513N pT =+?=天偏差天数。但只要出现偏差天数在621-天内，我们就不应该拒绝原假设。则认为VaR 模型是准确的，下面我们做出2009年8月27号到2010年11月29号上证指数的波动情况与VaR 预期下限的拟合图：

图三

图4是深圳成指于2009年8月27号到2010年11月29号的实际波动情况与用VaR

预测下限的拟合图：

现将样本区间内实际收盘指数地域预测下限的天数与95%置信度情况下的可能出现的期望天数做对比，结果如下（期望值查上表可得）：

上证综指深圳成指

实际情况 5 8

置信度内期望情况12.75 12.75

从我们整理出来的数据以及Kupiec检验法我们可以得出以下结论：

1、对我们选取的这255个交易日内，两个市场股价指数均在这255个交易日内拟合良好，超过VaR下限的次数都小于允许值

2、在VaR预测的历史经验中，我们知道，VaR不是在所有测算中都如此准确，所以分析我们采取数据这一时期的证券市场情况我们可以看出，在我们采集数据前半段时间，即2010年前半年左右时间内，证券市场波动不大，而2010年下半年左右时间，证券市场虽然波动比前半年强烈些，但任然不剧烈，整体成较平缓态势波动，在较平缓的波动不明显的情况下，我们可以看出VaR的预测情况较为保守，而我国证券市场还不够规范，也可能是VaR模型预测效果较好的一个重要原因。

3、根据以上结果，我们能够得出VaR有较好的稳健性，在风险价值测算上还是具有一定参考价值的。

参考文献：[1]（美）菲利普·乔瑞（Philippe Jorion）著.《风险价值—金

融风险管理新标准》[M]张海鱼译.北京：中信出版社，2004年。

[2]杨勇愉，丁进，杨凡.VaR模型后验测试的贝叶斯方法[J].统计与决策，2005年五期。

[3]龙小波、吴敏文《证券市场有效性理论与中国证券市场有效性实证研究》（J），《金融研究》1995年五期。