初中锐角三角函数教案

锐角三角函数

中考主要考查点：

1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用

➢ 知识点1.

直角三角形中边与角的关系

中，∠C=90°

（1）边的关系： （2）角的关系：

（3）边与角的关系：

sinA = cosA=

tanA= cotA=

sinA ＝cosB ＝

a c ， cosA ＝sinB ＝

b

c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a

➢ 知识点2. 特殊角的三角函数值

特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下：

α

sinα

cosα

tanα

30°

1

2

33

45°

22

22

1 60°

1

2

斜边

的对边

A ∠斜边

的邻边A ∠邻边的对边A ∠

对边的邻边A ∠2

3

233

➢ 知识点3. 三角函数的增减性

已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤

2

1

，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90°

➢ 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。

1. 同角三角函数的关系

1cos sin 22=+A A

A

A

A cos sin tan =

1cot tan =⋅A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A

B

A B A sin cos cos sin == ︒=47cos 43sin

1tan tan =⋅B A

➢ 知识点5. 直角三角形的解法

直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型:

1.已知一边一角求其它。

2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。

A C

B

例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．

DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．

例4．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=

13

12sin A 求此菱形的周长．

例5．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：

(1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ；

(3)请用类似的方法，求tan22.5°．

例6．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：

(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1；

(2)⋅=

A

A

A cos sin tan

例7．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD 于H

点．在底边BC 保持不变的情况下，当高AD 变长或变短时，△ABC 和△HBC 的面积的积S △ABC ·S △HBC 的值是否随着变化?请说明你的理由．

参考答案

1.B

2. 32

3. .2tan ,55

cos ,552sin ===B B B

4. 104cm ．提示：设DE ＝12x cm ，则得AD ＝13x cm ，AE ＝5x cm ．利用BE ＝16cm ．

列方程8x ＝16．解得x ＝2．

5.

(1)∠D ＝15°，∠DBC ＝75°；(2);32tan ,32tan +=∠-=DBC D

(3).125.22tan -=

7. 不发生改变，设∠BAC ＝2α ，BC ＝2m ，则.)tan (tan 422

m m m S S HBC

ABC =⋅=⋅∆∆αα