雅可比行列式 (1)

§ .函数行列式

教学目的 掌握函数行列式．

教学要求

(1)．掌握函数行列式

(2) 能用函数行列式解决一些简单的问题

一、函数行列式

由n A R ⊂到R 的映射（或变换）就是n 元函数，即

12(,,,,)n n x x x y f A R R R ∈⊂⨯⊂⨯，或

由n A R ⊂到n R 的映射（或变换）就是n 个n 元函数构成的函数组，即

1212(,,

,,,,,)n n n n n x x x y y y f A R R R ∈⊂⨯⊂⨯，或 表为12(,,)n f f f ，设它们对每个自变量都存在偏导数,1,2,1,2i j f i n j n x ∂==∂，行列式

1

11122221212n n n

n n n

f f f x x x f f f x x x f f f x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ （2） 称为函数组12(,,)n f f f 在点12,(,)n x x x 的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为

121212,12,(,,

)(,,

) (,)(,)

n n n n f f f D f f f x x x D x x x ∂∂或. 例：求下列函数组（变换）的函数行列式：

1.极坐标变换

2.柱面坐标变换

22cos sin 0(,,)sin cos 0cos sin (,,)001

x

x x r

z r x y z y y y r r r r r z r

z z

z z r z ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂===+=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 3.球面坐标变换

二、函数行列式的性质

为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n 都是正确的.

已知一元函数()y f x =与()x t ϕ=的复合函数[()]y f t ϕ=的导数是

dy dy dx dt dx dt

=，与它类似的有： 定理1.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数，而(,),(,)x x s t y y s t ==也有连续偏导数，则

(,)(,)(,)(,)(,)(,)

u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=∂∂∂. 证明：由复合函数的微分法则，有 由行列式的乘法，有

(,)(,)(,)(,)u

u x x x y u v x y s t v

v y y x y s t x y s t

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 若一元函数()y f x =在点0x 某邻域具有连续的导数()f x '，且0()0f x '≠.由连续函数的保号性，在点0x 某邻域0,()()f x f x ''∆与保持同一符号，因而在∆函数()y f x =严格单调，它存在反函数()x y ϕ=，且

和它类似的有：

定理2.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数，且

(,)0(,)

u v x y ∂≠∂，则存在有连续偏导数的反函数组(,),(,)x x u v y y u v ==，且

证明：§.定理3的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定理1中，令,s u t v ==，有

10101u

u u v v

v u v ∂∂∂∂===∂∂∂∂， 即 (,)1(,)

(,)(,)

u v x y x y u v ∂=∂∂∂，(,)0(,)u v x y ∂≠∂. 三、函数行列式的几何性质

一元函数()y f x =是1R 到1R 的映射.取定一点0x ，它的象是00()y f x =.当自变量x 在点0x 有改变量x ∆，相应y 在0y 有改变量y ∆.线段y ∆的长y ∆与线段x ∆的长x ∆之比y

x 称为映射

f 在0x 到0x x +的平均伸缩系数，若当0x →时平均伸缩系数y

x 存在极限，即 00000()()lim lim '()x x y f x x f x f x x x

→→+-==， 则称0'()f x 是映射 f 在点0x 的伸缩系数.

由此可见，一元函数()y f x =在点0x 的导数的绝对值0'()f x 有新的几何意义：它是映射f 在点0x 的伸缩系数.

同样，2R 到2R 的变换(,),(,)u u x y v v x y ==也有类似的几何意义. 定理3 .若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==在开区域G 存在连续的偏导数，且 (,)x y G ∀∈，有(,)(,)0(,)

u v J x y x y ∂≡≠∂.函数组将xy 平面上开区域G 变换称uv 平面上的开区域'G .点00(,)x y G ∈变换成uv 平面上点'000000(,)[(,),(,)]u v u x y v x y G =∈，则包含点00(,)u v 的面积微元'd σ与对应的包含点00(,)x y 的面积微元之比是00(,)J x y ，即

00'00(,)(,)(,)(,)x y d u v J x y d x y σσ∂==∂.