第十章 组合变形

6 1035 0.2 0.12
2.68MPa
19
第二节 斜弯曲
[例10–2] 矩形截面悬臂梁受力如图所示, F1 作用在梁的竖向对称平面内, F2 作用在梁的水平对称平面内,F1 、F2 的作用线均与梁的轴线垂直。 已知F1 = 2 kN、F2 = 1 kN,l1 = 1 m,l2 = 2 m,b = 120 mm,h = 180 mm, 材料的许用正应力[]= 10 MPa,试校核该梁的强度。
四、叠加原理应用举例
例如：简支梁的跨中点作用集中力 F
支座反力为 F
2
剪力为
FS

F 2
最大弯矩为
M max

Fl 4
内力FS、Mmax与荷载 F 的关系就是线性的。
4
力的等效
=
+
=
+
+
5
工程实例:
第一节 组合变形的概念
6
工程实例:
第一节 组合变形的概念
p
q G
雨篷
烟 囱
7
第二节 斜弯曲 双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称面内同时受横向外力作用， 分别在水平纵向对称面和垂直纵向对称面内发生对称弯曲。 两相互垂直平面内的弯曲的组合称 斜弯曲。
应用叠加法的前提：内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系。 三、叠加法求解组合变形的基本步骤：
1.将组合变形 分解 为基本变形——将外力简化或分解， 使之每个力(或力偶)对应一种基本变形；
2.分别计算在每一种基本变形下构件的的应力和变形； 3.利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加。
3
第一节 组合变形的概念
6 4103 0.12 0.182

6.54MPa
28
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 4] 承受横向均布荷载和轴向拉力的矩形截面简支梁如图所示。 已知q = 2 kN /m,F = 8 kN,l = 4 m,b = 120 mm,h = 180 mm, 试求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
6
6
6
6
7.72MPa [ ]
满足强度要求
21
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形特点：
——作用在杆件上的 外力既有轴向拉 ( 压 ) 力，还有横向力； 杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形。
22
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 一、拉伸（压缩）与弯曲的组合变形强度计算
解： (2）杆中的最大压应力 危险截面：固定端面 轴力： FN F1 6kN 弯矩： M max F2l 2kN 2m 4kN.m
max
FN A
M max Wz
FN bh
6F2l bh2


6 103 0.12 0.15

6 4103 0.12 0.152
解： （1）分析梁的变形:
F1
BC段：在F2 作用下只在水平 对称平面内发生平面弯曲;
AB 段：在F2、F1 作用下发生斜弯曲 组合变形。
（2）危险截面是固端截面 M zmax F1l1 2 103 1N.m=2kN.m
Mymax F2l2 1103 2N.m=2kN.m
20
14
第二节 斜弯曲
二、正应力强度条件
梁的正应力强度条件是荷载作用下梁横截面内的最大正应力不能超过
材料的许用应力,即 max [ ]
最大正应力发生在危险截面的危险点处!
等直梁最大弯矩所在截面为危险截面! 危险截面上应力最大的点称为危险点! 如何确定最大正应力? 工程中常用的矩形、工字形等对称截 面梁,斜弯曲时梁中的最大正应力都 发生在危险截面边缘的角点处。
最大拉应力
最 My
o
大
压 应
Mz
力 D2 y
D1 最
z大 拉 应 力
最大压应力
15
第二节 斜弯曲 如何确定图示梁最大拉、压正应力?
固定端截面上弯矩最大！
危险截面在固定端截面！
危险点：c 和 e
c点： 最大拉应力 e点： 最大压应力
max
m ax
max

M z max Iz
Wz

FN bh

F2a
1 6
bh2

6103 0.12 0.15
6 2.4103 0.12 0.152
5MPa
同理：Bห้องสมุดไป่ตู้点的正应力
B
FN A
M Wz
FN bh

6M bh2
5.7MPa
26
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
梁斜弯曲时的强度条件是：
max

M z max Wz

M y max Wy
[ ]
或：
max

M max Wz

cos
Wz Wy

sin
[ ]
式中：Mmax是力 F 引起的最大弯矩
强度条件可解决工程中常见的三类典型问题: (1)校核强度 (2)选择截面 (3)确定许用荷载
解： （3）危险点是 E、A
F1
E点：最大拉应力 A点：最大压应力
( )max ( )max
max

M z max Wz

M y max Wy
F1l1 F2l2
2 103

2 103
1 bh2 1 hb2 1 0.12 0.182 1 0.18 0.122
b = 100 mm,h = 200 mm, = 15°,试求梁中点截面上K 点的正应力。
解：
梁中点 K 点的正应力：

Mz Iz
y My Iy
z
Mz h 1 bh3 2
My b 1 hb3 2


6M z bh2

6M y hb2
12
12


6 3863 0.1 0.22
轴力： FN F 8kN
弯矩：M max

1 2kN/m 42 m 8

4kN.m
（2）确定危险点
最大拉应力和最大压应力分别发生在跨中截面的下边缘和上边缘处。
最大拉应力： max (拉)
FN A

M max Wz

FN bh

6M max bh2

8103 0.12 0.18
解： (1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力
n - n 截面上的内力： 轴力： FN F1 6kN
弯矩： M F2a 2kN 1.2m 2.4kN.m
压缩正应力： FN
A
弯曲正应力： M y
Iz
截面上A 点的正应力： A

FN A
M
第二节 斜弯曲
[例10–2] 矩形截面悬臂梁受力如图所示, F1 作用在梁的竖向对称平面内, F2 作用在梁的水平对称平面内,F1 、F2 的作用线均与梁的轴线垂直。 已知F1 = 2 kN、F2 = 1 kN,l1 = 1 m,l2 = 2 m,b = 120 mm,h = 180 mm, 材料的许用正应力[]= 10 MPa,试校核该梁的强度。
平面弯曲
斜弯曲
8
第二节 斜弯曲 垂直纵向对称面
梁在垂直纵对 称面 xy 面内发 生平面弯曲 。 Z 轴为中性轴
曲线
对称轴
z x
梁的轴线
y
9
挠曲线
第二节 斜弯曲
水平纵向对称面
z x
梁的轴线
对称轴
y
梁在水平纵向对
称面 xz 平面内弯曲，
y 轴为中性轴。
10
第二节 斜弯曲 矩形截面梁的斜弯曲
11
第二节 斜弯曲 圆形截面梁的斜弯曲 组合变形仍为平面弯曲。
M y z M z y
Iy
Iz
M (cos y sin z)
Iz
Iy
注意：
(1) 式中的Mz 、My、y、z 等均以绝对值代入;
(2) ′和 ″的正、负,可根据梁的变形和 求应力点的位置来判定(拉为正、压为)。
z y
y
K 点 ′和 ″的均为正(为拉应力)。
Mz

1 8
qyl 2

1 8
q cos
l2

1 2103 8
cos15
42 N.m
3863N.m
My

1 8
qzl
2

1 q sin l2
8

1 2103 sin15 8
42 N.m
1035N.m
18
第二节 斜弯曲 [例10 – 1] 矩形截面简支梁承受均布荷载如图示,已知 q = 2kN /m, l = 4 m,
最大正应力发生在弯矩最大截面的边缘处,其值为
max

FN A

M max Wz
正应力强度条件为
max

FN A
M max Wz
[ ]
25
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
注意:选择截面时，首先确定比值 Wz ，再确定截面具体尺寸。 Wy
17
第二节 斜弯曲 [例10 – 1] 矩形截面简支梁承受均布荷载如图示,已知 q = 2kN /m, l = 4 m,
b = 100 mm,h = 200 mm, = 15°,试求梁中点截面上K 点的正应力。
解：
梁中点处弯矩最大（危险截面）：
中性轴仍与加载（合成载荷）轴垂直，但挠度曲线不再为加载面内的平面曲线。
12
第二节 斜弯曲
一、正应力计算 斜弯曲时,梁的横截面上一般是同时存在正应力和切应力, 切应力忽略不计！ [例题] 计算矩形截面悬臂梁K点的正应力。
解： Fy F cos, Fz F sin
a 截面上的弯矩有：
z
M z Fya Fa cos M cos
举例说明：
1.正应力计算
F 引起拉伸正应力: FN
A
' 在横截面上均匀分布
q 引起弯曲正应力: M y
Iz
'' 沿截面高度成直线规律分布
F、q 共同作用下，横截面上任一点的正应力: FN M y
A Iz
23
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
建筑力学
（十） 主讲单位： 力学教研室
1
第十章 组合变形
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形 第四节 偏心拉伸(压缩)
2
第一节 组合变形的概念 一、组合变形的概念：一般荷载作用下发生的变形可视为两种或两种
以上基本变形的组合,称之为组合变形。 二、解决组合变形问题的基本方法: 叠加法
解： （1）确定危险截面 跨中
轴力： FN F 8kN
弯矩：M max

1 2kN/m 42 m 8

4kN.m
（2）确定危险点
最大拉应力和最大压应力分别发生在跨中截面的下边缘和上边缘处。
最大压应力：
max(压)

FN A

M max Wz

FN bh

6M max bh2

8 103 0.12 0.18
y
M y Fza Fa sin M sin
式中： M Fa
K 点正应力有：
Mz y
Iz
M y z
Iy
K 点总的正应力是：


Mz Iz
y My Iy
z
M (cos
Iz
y sin
Iy
z)
13
第二节 斜弯曲
解： K 点总的正应力是：
杆件在拉（压）与弯曲组合变形时横截面上任一点的正应力计算公式：
注意正、负号规定：
FN M y
A Iz
（1）轴向拉伸时'为正,压缩时'为负; （2）''的正负随点的位置而不同,仍根据梁的变形来判定(拉为正,压为负)。
24
2.强度计算
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
ymax

M y max Iy
zmax
M z max M y max
Wz
Wy
或：
max
m ax
max

M
max

cos Iz

ymax
sin
Iy
zmax

M max Wz

cos


Wz Wy

sin
16
第二节 斜弯曲
9.22MPa
27
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 4] 承受横向均布荷载和轴向拉力的矩形截面简支梁如图所示。 已知q = 2 kN /m,F = 8 kN,l = 4 m,b = 120 mm,h = 180 mm, 试求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解： （1）确定危险截面 跨中