谐振腔结构与稳定性

可以证明: g1 g2＞1
4.双凸非稳腔 由两个凸面反射镜组成的共轴球
面腔称为双凸非稳腔.
∵ R1＜0, R2＜0 ∴g1 g2＞1
R1
R2
L
R1
R2
L
R1
R2
L
5.平凸非稳腔
由一个凸面反射镜与平面反射镜
R
组成的共轴球面腔称为平凸腔。平
凸腔都满足g1 g2＞1 。
L
(三)临界腔: g1 g2 = 0 , g1 g2= 1
0 g1 g2 ( R1 L)( R2 L) / R1R2 1 （A）
先考虑(A)式左边的不等号即 0 g时1 g2
R1
＞R 2

L
L
可以证明: 0＜g1 g2＜1. (方法同上)
(二).非稳腔 : g1 g2＞1 或 g1 g2＜0
1. 双凹非稳腔:
由两个凹面镜组成的共轴球面腔为双凹非稳腔.这种腔的稳定
条件有两种情况.
R1
R2
其一为: R1<L, R2>L
L
此时
g1
1
L R1

0
g2
1
L R2

0
所以 g1 g2＜0
例: 某稳定腔两面反射镜的曲率半径分别R1=-1m 及
R2=1.5m
。
(1)这是哪一类型谐振腔?
(2)试确定腔长L的可能取值范围, 并作出谐振腔的简
单示意图。
(3)请作稳定图并指出它在图中的可能位置范围。
解.(1)R1＜0 (凸镜)而R2＞0 (凹镜)且稳定, 是凹凸稳定腔。 (2)稳定腔应满足
0 g1 g2 ( R1 L)( R2 L) / R1R2 1
特征点时为非稳
R1
R2
R1
R2
2、两镜特征点有重合时,一对重合为非稳;两对重合为 稳定
(一）稳定腔: 0 g1 g2 1
1.双凹稳定腔:
由两个凹面镜组成的共轴球面腔为双凹腔。这种腔的
稳定条件有两种情况。
R1
R2
其一为： R1 L 且 R2 L
证明：
∵ R1＞L
∴ 0＜ L ＜1
R1
稳定
R1
R2
(4)R1=∞,R2=50,L=40
解
40 g1 1 1
g2
1
40 50

0.2
R2
g1g2 0.2 稳定
(5)R1=-20, R2=-10, L=50
解
g1

1
50 20

7 2
g2
1
50 10

6
g1g2 21 非稳
R1
R2
(6)R1=∞, R2=-10, L=50
在稳定图上找到C点,连接CD两点,
图(2-2) 共轴球面腔的稳定图
LL
g1 g 2

(1
)(1 R1
R2
)
线段CD就是另外一 块反射镜曲率半径 的取值范围.
三.如果已有两块反射镜，曲率半径分别为R1、R2，欲用
它们组成稳定腔，腔长范围如何确定？
令k =R2/R1 例k =2 得直线方程
g2
（1 L ）（1 L ） 1 R1 R2 L L2 ＜1
R1
R2
R1R2
R1R2
即
g1g2＜1
0＜ g1g2＜1
如果 R1=R2 ，则此双凹腔为对称双凹腔，上述的两种稳
定条件可以合并成一个，即： R1=R2=R＞L/2
2.平凹稳定腔: 由一个凹面发射镜和一个平面发射镜组成的谐振腔称为平
g1 g或2 g11g2=0
g1 g2 0
2.1.2 共轴球面谐振腔的稳定图及其分类
一、常见的几类光腔的构成:
g1 g2

(1
L R1
)(1
L R2
)

( R1

L)( R2 R1 R2

L)
二、稳定性几何判别法
1、任一镜的两个特征点(顶点与曲率中心)之间,只包含
另一镜的一个特征点时,为稳定;包含两个特征点或不含
其二为: R1+R2＜L
可以证明: g1 g2＞1 (证明略)
2.平凹非稳腔 稳定条件: R1＜L , R2= ∞
证明 : ∵g2=1, g1＜0 ∴ g1 g2＜0
R1
R2
L
R1 L
3.凹凸非稳腔 凹凸非稳腔的非稳定条件也有两种:
其一是: R2＜0, 0＜R1＜L
可以证明: g1 g2＜0
其二是: R2＜0, R1+R2＞L
临界腔属于一种极限情况,其稳定性视不同的腔而不同.
在谐振理论研究和实际应用中,临界腔具有非常重要的意义.
分类实虚共共焦焦腔腔
—— 共焦腔焦点在腔内，它是双凹腔 ——共焦腔焦点在腔外，它是凹凸腔
R1
R2
R1
R2
F
实
F
虚
1.对称共焦腔——腔中心是两镜公共焦 点且：
R1=L
R2=L
R1= R2= R = L=2F F——二镜焦距
F
L
∵ g1 = g2 = 0 ∴ g1 g2 = 0
可以证明，在对称共焦腔内，任意傍轴光线可往返多次而不
横向逸出，而且经两次往返后即可自行闭合。这称为对称共
焦腔中的简并光束。整个稳定球面腔的模式理论都可以建立
在共焦腔振荡理论的基础上，因此，对称共焦腔是最重要和
最具有代表性的一种稳定腔。
2.半共焦腔——由共焦腔的任一个凹面反射镜与放在公共 焦点处的平面镜组成
四.稳定图: 稳定条件的图示 0 g1g2 1
1.作用:用图直观地表示稳定条件,判断稳定状况 *(光腔的)
2.分区: 图上横轴坐标应为 g1 1 R,L1纵轴坐标应为
g2
1
L R2
稳定区: 由 (二直线) g1= 0、g2= 0 和 *(二支双曲线)
g1g2 = 1 线所围区域(不含边界) *(图上白色的非阴影区)
(3) 非稳腔 :g1 g2＞1 或 g1 g2＜0
➢对应图中阴影部分的光学谐振腔都是非稳腔。
g2
2 (1/2,1) ,(1,1/2)
1 (1,1)
4 (0,0) 0
5 (-1,-1)
g1 3 (0,1) ,(1,0)
1——平行平面腔 2——半共焦腔 3——半共心腔 4——对称共焦腔 5——对称共心腔
虚共心腔——凹凸腔 g1＞ 0 ，g2＞ 0
都有 R1+R2= L g1 g2 =1
（临界腔）
R1
R2
o
o
虚
光线即有简并的，也有非简并的
0 g1g2 1
例 判断谐振腔的稳定性(单位:mm)
(1)R1=80,R2=40,L=100
解
g1

1
100 80


1 4
g1 g 2

3 8
稳定
g2
解
50 g1 1 1
g2
1
50 10

6
g1g2 6
非稳
R2
三、谐振腔稳定性小结 1、对称双凹腔: Ｌ＜2Ｒ时稳定
非稳 非稳 稳定 稳定 稳定
2、对称凹凸腔(两镜曲率半径大小相等): Ｌ＜Ｒ时稳定
非稳 非稳 稳定
3、平凹腔: Ｌ＜Ｒ时稳定
非稳 非稳
稳定
4、双凸腔、双平腔、平凸腔为非稳腔
一.谐振腔的几何参数:
R1
R2
1、R L参数
L
R1、R2：两镜面曲率半径，L：腔长
符号规则: 凹面向着腔内时(凹镜) Ri＞0 ,
凸面向着腔内时(凸镜) Ri＜0。 L ---- 腔长(二反射镜之间的距离) , L＞0 ;
2、g
参数定义：
g1

1
L R1
g2
1
L R2
成像公式为: 1 1 1 s s f
3、双平腔
(平行平面腔)
4、凹凸腔
5、平凹腔
6、平凸腔
三.光腔按几何损耗(几何反射逸出)的分类:
稳定腔 (光腔中存在着伴轴模,它可在腔内多次传播而不逸出腔外) 光腔 临界腔 (几何光学损耗介乎上二者之间)
非稳腔 (伴轴模在腔内经有限数往返必定由侧面逸出腔外,有很高的
几何光学损耗)
2.1.1共轴球面谐振腔的稳定性条件
s——物距 f ——透镜焦距
s´——象距
二.光腔的稳定条件:
(1)条件:使傍轴模(即近轴光线)在腔内往返无限多次不逸 出腔外的条件, 即近轴光线几何光学损耗为零, 其 数学表达式为
0 g1 g2 1
(2)据稳定条件的数学形式,
稳定腔:
0 g1 g2 1
非稳腔: 临界腔:
g1 g或2 1
➢ (g1>1,g2<1; g2>1,g1<1) ➢共焦腔，R1＝R2＝L，因而，g1=0，g2=0，对应图中的坐标原点。 ➢半共焦腔，由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组成的腔,对应图中E和F点g1=1，g2=1/2
(2) 临界腔 :g1 g2 = 0 , g1 g2= 1
➢平行平面腔，对应图中的A点。只有与腔轴平行的光线才能在腔内往返g1=1，g2=1 ➢共心腔， 满足条件R1＋R2＝L，对应图中第一象限的g1g2＝1的双曲线。 ➢半共心腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成，对应图中C点和D点。 g1=1，g2=0
临界区: 边界线 非稳区: 其余部份 *(阴影区)
*一球面腔(R1 ,R2 , L)相应的(g1 ,g2) 落在稳定区, 则为稳定腔
*一球面腔(R1 ,R2 , L)相应的(g1 ,g2)落 在临界区(边界线), 则为临界腔 *一球面腔(R1 ,R2 , L)相应的(g1 ,g2)落 在非稳区(阴影区), 则为非稳腔
第2章 激光器的工作原理
回顾 ——产生激光的三个必要条件： 1. 工作物质 2. 激励能源 3. 光学谐振腔
前瞻 —— 研究谐振腔的几何理论和衍射理论 §2-1 光学谐振腔结构与稳定性 一.光腔的作用: 1.光学正反馈: 建立和维持自激振荡。 (提高间并度) 决定因素: 由两镜的反射率、几何形状及组合形式。
R = 2L g1 = 1 , g2 = 1/2 故 g1 g2 =1/2＜1 （稳定腔）
R = 2L
3.平行平面腔——由两个平面反射镜组成的共轴谐振腔
R1=R2=∞，g1=g2=1， g1 g2=1
L
4.共心腔—— 两个球面反射镜的曲率中心重合的共轴球
面腔
实共心腔——双凹腔 g1＜ 0 ，g2＜ 0
L
0＜1 L ＜1
R1
即：0＜g1＜1 ，同理 0＜g2＜1
所以：0＜g1g2＜1
R1
R2
其二为： R1＜L R2＜L 且 R1+R2＞L L
证明：∵R1＜L ∴ 1 L ＜ 0即 g1＜0
R1
同理：g2＜0 ，∴g1g2＞0 ；又∵ L＜R1+R2
∴ L2 ＜ R1 R2 L
或
R1R2
R1R2
最小曲率半径R1= R2
A点: g1 = g2 1 R1= R2
∞
L
B点: g1 = g2 - 1 R1= R2
2
因此,反射镜曲率半径的取值范围:
L2 R
∞ 是平行平面腔;
1
2 是共心腔
二.给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的曲 率半径，其取值范围如何确定?
例如: R1 = 2L 则 g1 =0.5
2. 控制光束特性: 包括纵模数目、横模、损耗、输出功 率等。
二.谐振腔结构 —— 开放式共轴球面光学谐 振腔的构成
1.构成:在激活介质两端设置两面反射镜 (全反、部分反)。
2. 开放式: 除二镜外其余部分开放
共轴: 二镜共轴 球面腔: 二镜都是球面反射镜(球面镜) 二.谐振腔类型
1、双凹腔
2、双凸腔
1 100 40


3 2
R1
R2
(2)R1=20, R2=10, L=50
解
g1
1
50 20


3 2
50 g2 1 10 4
R1
R2
g1g2 6 非稳
(3)R1=-40, R2=75, L=60
解
g1
1
60 40

5 2
g2
1
60 75

1 5
g1g2 0.5
稳区图
2.1.3 稳定图的应用
一.制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取
值范围如何确定？
由于对称稳定腔有: R1= R2= R
即: g1 = g2
所以对称稳定腔的区域在稳定图
的A、B的连线上.
图(2-2) 共轴球面腔的稳定图
g1 g 2

(1
L )(1 R1
L R2
)
最大曲率半径R1= R2
凹腔。其稳定条件为：R＞L
R
L
证明：∵ R1＞L ,
g1
1
L
R1 ;
R2
∞, g2= 1
∴
0＜g1

1
L ＜1
R1
故有
0＜g1
g
＜
2
1
3.凹凸稳定腔:
由一个凹面反射镜和一个凸面反射镜组成的共轴球面
腔为凹凸腔.它的稳定条件是:
R1＜0, R2＞L , 且 R1+R2＜L .
R1
R2
或者:R2＞L ,
图(2-2) 共轴球面腔的稳定图
3.利用稳定条件可将球面腔分类如下:
(1) 稳定腔 (0<g1 g2 <1)
➢双凹稳定腔，由两个凹面镜组成，对应图中
➢l、2、3和4区. (0＜g1＜1 ，0＜g2＜1 ; g1＜0, g2＜0)
➢平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成，
➢➢凹对凸应稳图定中腔AC，、由AD一段个（凹0<面g1镜<1和,一g2个=1凸; 0面<g镜2<组1 成,g，1=对1)应图中5区图和(26-2区) 共。轴球面腔的稳定图
1
L R2
1 L k R1

1 k
(k
1
g1 )

1 k
g1
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k
1 k

0.5g1

0.5
图(2-2) 共轴球面腔的稳定图
g1 g 2

(1
L )(1 R1
L R2
)
在稳定范围内做 直线AE、DF，
A点： g1 1 E点： g1 0
L0 L R1
在AE段可得 0<L<R1 同理：在DF段可得 2R1<L<3R1