2019电大本科《工程数学》期末考试题库答案
《工程数学(本)》期末综合练习
《工程数学（本）》期末综合练习一、单项选择题1．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )． A ．()BAAB 11=- B ．()111---+=+B A B A C ．()111---=B A AB D ．1111----+=+B A B A正确答案：A2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a 正确答案：B3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( ) ．A ．0，2B ．0，6C ．0，0D ．2，6 正确答案：B4. 设A ，B 是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的． A. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 B. )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P C. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 D. )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P 正确答案：C5．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ ）． A ．)(3)(2Y D X D - B ．)(3)(2Y D X D + C ．)(9)(4Y D X D - D ．)(9)(4Y D X D + 正确答案：D6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( )矩阵．A ．s n ⨯B ．n s ⨯C ．t m ⨯D ．m t ⨯ 正确答案：B7．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ ）是AX =B 的解． A ．213231X X + B ．213231ηη+ C ．21X X - D ．21X X + 正确答案：A8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ) ． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 正确答案：C9. 下列事件运算关系正确的是（ ）．A ．AB BA B += B ．A B BA B +=C ．A B BA B +=D ．B B -=1 正确答案：A10．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ ）． A ．)3,2(-N B ．)3,4(-N C ．)3,4(2-N D ．)3,2(2-N 正确答案：D11．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ ）是μ的无偏估计． A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++ C ．321535151x x x ++ D ．321515151x x x ++ 正确答案：C12．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ ）．A ．χ2分布 B ．t 分布 C ．指数分布 D ．正态分布 正确答案：B二、填空题1．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 ．应该填写：2,2,1,1--2．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21 ．应该填写：线性无关3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= ． 应该填写：)()(B P A P -4．．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k = ．应该填写：π45．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．应该填写：)1,0(nN 6．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= ． 应该填写-567．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = ． 应该填写：28．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k ．应该填写：2≠9．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 应该填写：310．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= ． 应该填写：011．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D ． 应该填写：31 12．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 估计． 应该填写：无偏三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ． 解：（1）因为210110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以2==B A AB ．（2）因为 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10011012/32/11A ．2．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--326001130012331203313596212331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100001130012331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100000130001031 一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是自由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原方程组的一个基础解系为 { X 1，X 2 }．原方程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．3．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ） = 2（1－)2(Φ）＝0.045． （2）)44()(->-=>k X P k X P ＝1－)44(-≤-k X P＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk )5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．4．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm ，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )？解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数nx U σμ-=～)1,0(N经计算得375.10=x ，075.0415.0==nσ，67.1075.05.10375.10=-=-nx σμ由已知条件96.121=-αu，且2196.167.1αμσμ-=<=-nx故接受零假设，即该机工作正常.5．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ． 解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→11100121010120001110100011110010101 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．6．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组． 解：因为（1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→1100770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000200011002341 所以，r (4321,,,αααα) = 3．它的一个极大线性无关组是 431,,ααα（或432,,ααα）．7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解． 解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}． 通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．8．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 （1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+=273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．9．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)． 解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ = 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 （2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 10．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u ) 解：已知3=σ，n = 64，且nx u σμ-= ~ )1,0(N因为 x = 21，96.121=-αu，且735.064396.121=⨯=-nuσα所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2121=+---nux nux σσαα．四、证明题1．设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 证明：因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--2．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2 所以，A 为可逆矩阵．3．设向量组321,,ααα线性无关，令2112ααβ+=，32223ααβ+=，1334ααβ-=，证明向量组321,,βββ线性无关。
国家开放大学《工程数学》综合练习题参考答案
x
1 n
n i 1
xi
，则
D(x) 2 ． n
11.设 A, B 均为 3 阶矩阵，且 A 3, B 2 ，则 2 AB1 12 ．
12.设 A 为 n 阶方阵，若存在数 和非零 n 维向量 X ，使得矩阵 AX X ，则称 X 为 A 相应于特征值 的 特征向量 . 13.若 r( A) 1 ，则 3 元齐次方程组 AX 0 的一个基础解析系中含有 2 个解向
26.设 A , B 为 n 阶矩阵，则下列等式成立的是（A）．
A． AB BA
B． A B A B
C． ( A B)1 A1 B 1
D． ( AB)1 A1B 1
27.
方
程
组
x1
x2 x2 x3
a1 a2 相
容
的
充
分
必
要
条
件
是
(B)
，
其
中
ai
0，
x1 x3 a3
(i 1, 2, 3) ．
2.下列命题正确的是（C）． A． n 个 n 维向量组成的向量组一定线性相关； B．向量组1,2 ,, s 是线性相关的充分必要条件是以1,2 ,, s 为系数
的齐次线性方程组 k11 k2 2 ks s 0 有解 C．向量组1, 2 ,, s ,0 的秩至多是 s D．设 A 是 m n 矩阵，且 m n ，则 A 的行向量线性相关
0 2 4
8.设 A , B , C 是三个事件，那么 A 发生，但 B,C 至少有一个不发生的事件表示为
A(B C) .
9.设随机变量 X ~ B(100,0.15) ，则 E( X ) 15 ．
10. 设
x1
《工程数学》电大历年期末试题及答案 (2)
工程数学电大历年期末试题及答案第一章：复数及其运算1.1 复数的定义和性质试题：1.请简要叙述复数的定义和性质。
2.复数的共轭运算是指什么？给出其定义和性质。
3.试证明虚数单位i满足i2=−1。
答案：1.复数是由实数和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
复数的性质有：–复数可以相加：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i–复数可以相乘：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i–复数的加法和乘法满足交换律和结合律。
2.复数的共轭运算是指改变虚数部分的符号，即将a+bi变为a-bi。
共轭运算的定义和性质如下：–定义：对于任意复数z=a+bi，其共轭复数为z* = a-bi。
–性质：(a+bi) * (a-bi) = a^2 + b^2，即一个复数与其共轭的乘积等于实数部分的平方加虚数部分的平方。
3.可以通过计算i2来证明虚数单位i满足i2=−1：–i2=(0+1i)∗(0+1i)=−1。
1.2 复数的指数表示和三角函数形式试题：1.请简要叙述复数的指数表示形式和三角函数形式。
2.试证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} =\\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
答案：1.复数的指数表示形式是通过欧拉公式来表达，即$z= r \\cdot e^{i\\theta}$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
复数的三角函数形式是通过复数的实部和虚部来表示，即$z = a + bi = r\\cos\\theta + r\\sin\\theta i$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
2.可以通过欧拉公式来证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$：–欧拉公式表示为$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
电大 工程数学试卷及答案汇总(完整版)
F(w)= [e|t| ] e|t|e jt dt e( j )t dt e( j )t dt
0
0
（3 分）
= 1 1 2 j j 2 2
(2 分)
由付氏积分公式有
f(t)= 1[ F(w)]=
1
F ( )e jt d
2
(2 分)
= 1 2 (cost j sint)d
dx f (x, y)dy 1
即 从而
dx ce(2x4y)dy 1
00
c=8
(2) P(X Y )
f
(x,
y)dxdy
x
dx
8e(2x4 y) dy
2
x y
00
3
(3) 当 x>0 时， f X (x) f (x, y)dy 8e(2x4y)dy 2e2x
0
=–( y2 –7000y + 4•106 ) /1000 求极值得 y=3500 (吨)
(3 分) (1 分)
工程数学（本）10 秋模拟试题（一） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．设 A, B 都是 n 阶方阵，则下列命题正确的是( AB A B )．
《工程数学》试题
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12．求线性方程组
x1 3x2 x3 x4 1 x12x14x27x23x32x32x4x41 2
的
全
部
解
．
解
：
2x1 4x2 8x3 2x4 2
将方程组的增广矩阵化为阶梯形
1 3 1 1 1 1 3 1 1 1
2 7 2 1 2 0 1 0 1 0 1 4 3 2 1 0 1 2 3 0
13．设二维随机变量 (X ,Y ) 的联合概率函数是
2019年电大本科《工程数学》期末考试题库及答案
2019年电大本科《工程数学》期末考试题库及答案一、单项选择题1.若10010020*******=aa ，则=a （12）．⒊乘积矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1253014211中元素=23c （10）． ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是()AB BA --=11）．⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）．D. -=-kA k A n () ⒍下列结论正确的是（A. 若A 是正交矩阵则A -1也是正交矩阵）．⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ ）． ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（A ≠0）⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）． D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．A. ()A B A AB B +=++2222⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C. [,,]--'1122 ）．⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（ 有唯一解）．⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ 3）． ⒋设向量组为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111,0101,1100,00114321αααα，则（ααα123,, ）是极大无关组．⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ A ）成立． Ａ．λ是AB 的特征值10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．B PAP =-1 ⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B.()A B B A +-⊂ ⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．C. AB =∅且AB U =⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（ D. 307032⨯⨯..）． 4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的．C. 如果A B ,对立，则A B ,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D.)1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（6, 0.8）．7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）． A. xf x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a PD.f x x ab()d ⎰）．10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01．C. σμ-=X Y1.A 是34⨯矩阵，B 是52⨯矩阵，当C 为（ B 24⨯）矩阵时，乘积AC B ''有意义。
2019年电大工程数学（本科）期末考试试题及答案
2019年电⼤⼯程数学（本科）期末考试试题及答案电⼤⼯程数学(本科)期末考试试题及答案⼀、单项选择题1．设B A ,都是n 阶⽅阵，则下列命题正确的是(AB A B= )． 2．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成⽴的是( ()BAAB 11=- )． 3. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成⽴的是（B A B A '+'='+)( ）．4．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成⽴的是（ BAAB = ）．5．设A ，B 是两事件，则下列等式中（ )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容）是不正确的． 6．设A 是n m ?矩阵，B 是t s ?矩阵，且B C A '有意义，则C 是( n s ? )矩阵． 7．设是矩阵，B 是矩阵，则下列运算中有意义的是（）8．设矩阵?--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( 0，6 ) ． 9. 设矩阵--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的⼀个特征向量α=( ??011 ) ． 10．设是来⾃正态总体的样本，则（321535151x x x ++ ）是µ⽆偏估计．11．设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=µH 采⽤统计量U =（nx /15-）．12．设2321321321=c c c b b b a a a ，则=---321332211321333c c c b a b a b a a a a （2-）． 13．设??~X ，则=<)2(X P （0.4 ）． 14．设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体22,)(,(σµσµN 均未知）的样本，则（ 1x ）是统计量． 15．若是对称矩阵，则等式（A A ='）成⽴． 16．若（）成⽴，则元线性⽅程组AX O =有唯⼀解．17. 若条件（ ?=AB 且A B U += ）成⽴，则随机事件，互为对⽴事件． 18．若随机变量X 与Y 相互独⽴，则⽅差)32(Y X D -=（ )(9)(4Y D X D + ）．19若X 1、X 2是线性⽅程组AX =B 的解⽽21ηη、是⽅程组AX = O 的解则（213231X X +）是AX =B 的解．20．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ )3,2(2-N ）． 21．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（）．22. 若0351021011=---x ，则=x （3 ）．30. 若)4,2(~N X ，（22-X ），则． 23. 若满⾜（)()()(B P A P AB P = ），则与是相互独⽴．24. 若随机变量X 的期望和⽅差分别为)(X E 和)(X D 则等式（22)]([)()(X E X E X D -= ）成⽴．25. 若线性⽅程组只有零解，则线性⽅程组（可能⽆解）．26. 若元线性⽅程组有⾮零解，则（）成⽴．27. 若随机事件,满⾜，则结论（与互不相容）成⽴．28. 若?=4321432143214321A ，则秩=)(A （1 ）．29. 若??=5321A ，则=*A （ --1325 ）．30．向量组--732,320,011,001的秩是（ 3 ）．31．向量组的秩是（4）．32. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的⼀个极⼤⽆关组可取为（21,αα）．33. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（[]2,3,1--）．34．对给定的正态总体),(2σµN 的⼀个样本),,,(21n x x x Λ，2σ未知，求µ的置信区间，选⽤的样本函数服从（t 分布）． 35．对来⾃正态总体，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（∑=-312)(31i i X µ ）不是统计量．)3,2,1(=i ．36. 对于随机事件，下列运算公式（)()()()(AB P B P A P B A P -+=+）成⽴．37. 下列事件运算关系正确的是（ A B BA B += ）．38．下列命题中不正确的是（ A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量）．39. 下列数组中，（1631614121）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．40. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr ⾄多是（ 2）．41. 已知=??-=21101210,20101B a A ，若??=1311AB ，则=a （ 1- ）． 42. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（1,21-==b a ）．43. ⽅程组=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( 0321=-+a a a )，其中0≠i a ，44. 线性⽅程组=+=+013221x x x x 解的情况是（有⽆穷多解）．45. n 元线性⽅程组有解的充分必要条件是（)()(b A r A r M= ） 46．袋中有3个红球，2个⽩球，第⼀次取出⼀球后放回，第⼆次再取⼀球，则两球都是红球的概率是（25） 47. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （87）．48．=-15473（ 7543--??）⼆、填空题1．设B A ,均为3阶⽅阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= 8．2．设B A ,均为3阶⽅阵，2,3A B ==，则13A B -'-= -18 ． 3. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB —8 ． 4. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12 ． 5．设互不相容，且，则0 ．6. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-．7. 设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独⽴．8．设A 为n 阶⽅阵，若存在数λ和⾮零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称λ为A 的特征值． 9．设A 为n 阶⽅阵，若存在数λ和⾮零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 10. 设是三个事件，那么A 发⽣，但C B ,⾄少有⼀个不发⽣的事件表⽰为)(C B A +. 11. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，当C 为（42? ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．12. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵⽅程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．13．设随机变量012~0.20.5X a ?? ???，则a14．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X 15. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15 ．16．设随机变量的概率密度函数为≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k = π4 ．17. 设随机变量??-25.03.0101~a X ，则45.0 ． 18. 设随机变量?5.02.03.0210~X ，则=≠)1(X P 8.0． 19. 设随机变量X 的概率密度函数为≤≤=其它0103)(2x x x f ，则=<)21(X P 81．20. 设随机变量的期望存在，则0． 21. 设随机变量，若5)(,2)(2==X E X D ，则=)(X E 3．22．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时23．设θ是未知参数θ的⼀个估计，且满⾜θθ=)?(E ，则θ?称为θ的⽆偏估计． 24．设θ是未知参数θ的⼀个⽆偏估计量，则有?()E θθ=． 25．设三阶矩阵A 的⾏列式21=A ，则1-A = 2 ． 26．设向量β可由向量组n ααα,,,21Λ线性表⽰，则表⽰⽅法唯⼀的充分必要条件是n ααα,,,21Λ线性⽆关． 27．设4元线性⽅程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次⽅程组的基础解系含有 3 个解向量．28. 设1021,,,x x x Λ是来⾃正态总体)4,(µN 的⼀个样本，则~101101∑=i i x )104,(µN ．29. 设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体的⼀个样本，∑==ni i x n x 11，则=)(x D n2σ30．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1-- ． 31．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 1，-1，2，-2 ． 32.设??=070040111A ，则_________________)(=A r ．2 33．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．34．若样本n x x x ,,,21Λ来⾃总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x )1,0(nN35．若向量组：-=2121α，=1302α，-=2003k α，能构成R 3⼀个基，则数k 2≠ ． 36．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 3137. 若线性⽅程组的增⼴矩阵为=41221λA ，则当λ＝（ 21）时线性⽅程组有⽆穷多解． 38. 若元线性⽅程组0=AX 满⾜，则该线性⽅程组有⾮零解． 39. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A PB A P B A P ，则=)(AB P 0.3 ．40. 若参数θ的两个⽆偏估计量1θ和2?θ满⾜)?()?(21θθD D >，则称2?θ⽐1θ更有效． 41．若事件A ，B 满⾜B A ?，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ． 42. 若⽅阵满⾜A A '=，则是对称矩阵．43．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 44．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 45. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则k=1- 46. 向量组的极⼤线性⽆关组是（）．47．不含未知参数的样本函数称为统计量． 48．含有零向量的向量组⼀定是线性相关的．49. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 0.6 ．50. 已知随机变量?-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 2.4 ． 51. 已知随机变量??-5.05.05.05.05201~X ，那么=)(X E 3． 52．⾏列式701215683的元素21a 的代数余⼦式21A 的值为= -56 ．53. 掷两颗均匀的骰⼦，事件“点数之和为4”的概率是（ 121）. 54. 在对单正态总体的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（未知⽅差，检验均值）．55. 1111111---x x 是关于x 的⼀个多项式，该式中⼀次项x 系数是 2 ．56. =-1--451231． 57. 线性⽅程组b AX =中的⼀般解的⾃由元的个数是2，其中A 是54?矩阵，则⽅程组增⼴矩阵)(b A r M = 3 ． 58. 齐次线性⽅程组0=AX 的系数矩阵经初等⾏变换化为--→→000020103211ΛA59. 当λ= 1 时，⽅程组-=--=+112121x x x x λ有⽆穷多解．1．设矩阵，且有，求X ．解：利⽤初等⾏变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．设矩阵??=--=500050002,322121011B A ，求B A 1-．解：利⽤初等⾏变换得--→--102340011110001011100322010121001011----→----→14610013501000111146100011110001011 ??-----→146100135010134001 即 ??-----=-1461351341A 由矩阵乘法得-----=-----=-52012515105158500050002146135 1341B A 3．设矩阵=--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ．解：（1）因为2100110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以 2==B A AB ．（2）因为 []--=100100010110001132I A--→--→10010011001012/32/1001100100110010101032 所以 ??--=-10011012/32/11A ． 4．设矩阵100111101A ??=--，求1()AA -'．解：由矩阵乘法和转置运算得100111111111010132101011122AA --'=-=----- 利⽤初等⾏变换得100201001111→-??100201011101001112??→---即 1201()011112AA -'=??5．设矩阵??---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解：（1）1100110211210110211423532211=---=---=---=A（2）利⽤初等⾏变换得-----→---1032100121100012 11100423010532001211即6．已知矩阵⽅程B AX X +=，其中--=301111010A ，?? --=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且-----→---=-1012100111100010111002010101010010----→-----→11010012101012000111010011110010101即 ??----=--110121120)(1A I 所以 ??---=------=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．7．已知B AX =，其中??==108532,1085753321B A ，求X ．解：利⽤初等⾏变换得------→1055200132100013211001085010753001321----→---→12110025*********1121100013210001321 ??-----→121100255010146001 即 ??-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得--=????-----==-1282315138 1085321212551461B A X8．求线性⽅程组=++-=++--=+-+-=-+-234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解：将⽅程组的增⼴矩阵化为阶梯形 ----→-------0462003210010101113122842123412127211131?---→---→0000002200010101113106600022000101011131 ⽅程组的⼀般解为：（其中为⾃由未知量）令=0，得到⽅程的⼀个特解)0001(0'=X .⽅程组相应的齐⽅程的⼀般解为：-===4342415xx x x x x （其中为⾃由未知量）令=1，得到⽅程的⼀个基础解系)1115(1'-=X .于是，⽅程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）9．求齐次线性⽅程组=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =??→--326001130012331203313596212331 →100001130012331??→100000130001031 ⼀般解为 ??=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是⾃由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原⽅程组的⼀个基础解系为 { X 1，X 2 }．原⽅程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．10．设齐次线性⽅程组=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时⽅程组有⾮零解？在有⾮零解时，求出通解．解：因为A =---λ83352231---→610110231λ??---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(⽅程组的⼀般解为： ==3231x x x x ，其中3x 为⾃由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则⽅程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．27．罐中有12颗围棋⼦，其中8颗⽩⼦，4颗⿊⼦．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋⼦中⾄少有⼀颗⿊⼦的概率；（2）取到3颗棋⼦颜⾊相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋⼦中⾄少有⼀颗⿊⼦”，2A =“取到的都是⽩⼦”，3A =“取到的都是⿊⼦”，B =“取到3颗棋⼦颜⾊相同”，则（1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+==273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．11．求下列线性⽅程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=??-++=??-++=? 解利⽤初等⾏变换，将⽅程组的增⼴矩阵化成⾏简化阶梯形矩阵，即245353652548151115-?? ?- ? ?-??→245351201000555-?? ?-- ? →120100055500555--?? ? ? ???→120100011100000--?? ? ? ???⽅程组的⼀般解为：1243421x x x x x =+??=-+?，其中2x ，4x 是⾃由未知量．令042==x x ，得⽅程组的⼀个特解0(0010)X '=，，，．⽅程组的导出组的⼀般解为：124342x x x x x =+??=-?，其中2x ，4x 是⾃由未知量．令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，．所以⽅程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数．12. 当取何值时，线性⽅程组+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求⽅程组的全部解．解：将⽅程组的增⼴矩阵化为阶梯形由此可知当时，⽅程组⽆解。
2019年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案【电大备考篇】
2019年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案一、1．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( B )矩阵． A ．s n ⨯ B ．n s ⨯ C ．t m ⨯ D ．m t ⨯2．若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解，而21ηη、是方程组AX = O 的解，则（ A ）是AX =B 的解． A ．213231X X + B ．213231ηη+C ．21X X -D ．21X X + 3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( C ) ． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1004. 下列事件运算关系正确的是（ A ）．A ．A B BA B += B ．A B BA B +=C ．A B BA B +=D ．B B -=1 5．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ D ）． A ．)3,2(-N B ．)3,4(-N C ．)3,4(2-N D ．)3,2(2-N6．设321,,x x x 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则（ C ）是μ的无偏估计． A ．321525252x x x ++ B ．321x x x ++ C ．321535151x x x ++ D ．321515151x x x ++ 7．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（ B ）．A ．χ2分布B ．t 分布C ．指数分布D ．正态分布 二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A ．2．若向量组：⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k 3．设A B ,互不相容，且A )>0，则P B A ()=4．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D5．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ三、（每小题10分，共60分）1．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→110100121010120001110100011110010101即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ． 2．设向量组)1,421(1'--=，，α，)4,1684(2'--=，，α，)2,513(3'--=，，α，)1,132(4'-=，，α，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．解：因为 （1α 2α 3α 4α）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→1100770075002341⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000200011002341所以，r (4321,,,αααα) = 3．它的一个极大线性无关组是431,,ααα（或432,,ααα）．3．用配方法将二次型32312123222132122435),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解：32312123222132122435),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=322322232122)2(x x x x x x x -++++=232322321)()2(x x x x x x +-+++=令333223211,,2x y x x y x x x y =-=++=即得 232221321),,(y y y x x x f ++=由（*）式解出321,,x x x ，即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=33322321132y x y y x y y y x 或写成⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321*********y y y x x x4．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)．均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知96.1975.0=u )设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I++=--．证明：因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--一、 1．设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ，则下列命题正确的是（D ）． A . 若AC AB =，且0≠A ，则C B = B .2222)(B AB A B A ++=+C . A B B A '-'='-)(D . 0=AB ，且0≠A ，则0=B2．在下列所指明的各向量组中，（B ）中的向量组是线性无关的．A . 向量组中含有零向量B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C . 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D . 向量组的向量个数大于向量的维数3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( C ) ．A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 4. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ A ）的事件． A . 至少有一人没射中 B . 二人都没射中C . 至少有一人射中D . 两人都射中 5．设)1,0(~N X，)(x Φ是X的分布函数，则下列式子不成立的是（ C ）．A .5.0)0(=ΦB . 1)()(=Φ+-Φx xC . )()(a a Φ=-ΦD .1)(2)(-Φ=<a a x P6．设321,,x x x 是来自正态总体的样本，则（D ）是μ无偏估计．A . 321x x x ++ B .321525252x x x ++ C . 321515151x x x ++ D . 321535151x x x ++7．对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（A ）．A . 已知方差，检验均值B . 未知方差，检验均值C . 已知均值，检验方差D . 未知均值，检验方差二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 是2阶矩阵，且9=A ，'-)(31A2为53⨯矩阵，且该方程组有非零解，则)(A r3．2.)(=A P ，则=+)(B A P4．若连续型随机变量X数的是⎩⎨⎧≤≤=其它,010,2)(x x x f ，则)(X E 5．若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2θ满足)ˆ()(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，问：A1-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A2．线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----112313211151132212322213214242),,(x x x x x x x x x x f ++++=化为标准(C)⎩⎨⎧≤≤=其它,0π0,sin )(x x x f (D)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0π2π,cos )(x x x f 7．设总体满足，又，其中是来自总体的个样品，则等式（B ）成立． (A)nX E μ=)( (B)μ=)(X E (C)22)(n X D σ=(D)2)(σ=X D1．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-*02132．若λ是A 根．3．已知5.0)(,9.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P4.0．4．设连续型随机变量X的密度函数是)(x f ，则<<)(b X a P5三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡--=101111001A ，求1)(-'A A即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='-211110102)(1A A2．在线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=++153233232121321x x x x x x x x λλ中λ取何值时，此方程组有解．有解的情况下写出方程组的一般解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--λλλλ21110333032115323011321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→λλλλ2200011102101220001110321由此可知当1≠λ时方程组无解，当1=λ时方程组有解．此时方程组的一般解为⎩⎨⎧+-=--=113231x x x x 3．用配方法将二次型23322231212132162242),,(x x x x x x x x x x x x f +++-+=化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解：23322231212132162242),,(x x x x x x x x x x x x f +++-+=232332223231212322217)96()4424(x x x x x x x x x x x x x x -+++--+++=2323223217)3()2(x x x x x x -++-+=令333223211,3,2x y x x y x x x y =+=-+=即得2322213217),,(y y y x x x f -+=由式解出321,,x x x ，即得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321135yx y y x y y y x或写成。
2019-2020年电大考试工程数学复习题精选及答案
《工程数学》期末综合练习题工程数学（本）课程考核说明（修改稿）I. 相关说明与实施要求本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。
本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。
考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。
其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。
形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。
工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。
考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。
本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。
工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。
因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。
试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。
考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。
期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。
考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。
三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。
电大《工程数学》期末复习题
《工程数学》期末复习题库工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．BA AB = B ．B A B A +=+ C ．111)(---+=+B A B A D ．111)(---=B A AB2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a3．下列命题中不正确的是（ ）． A ．A 与A '有相同的特征多项式B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量 C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）． A ． B ． C ． D ．5．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ ）．A ．55-xB ．5/15-xC ．nx /15- D ．15-x二、填空题（每小题3分，共15分）1．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 ． 2．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 3．设互不相容，且，则 ． 4．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= ．5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．三、计算题（每小题16分，共64分）1．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'． 2．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 3．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．4．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x = 2.5，求μ的置信度为99%的置信区间.(已知 576.2995.0=u )四、证明题（本题6分）4．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．工程数学（本）11春模拟试卷参考解答一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 二、填空题（每小题3分，共15分）1．1，-1，2，-2 2．3 3．0 4．np 5．)1,0(nN三、（每小题16分，共64分） 1．解：由矩阵乘法和转置运算得10011111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ………6分 利用初等行变换得10020001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1002001110101112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦即 1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦………16分 7-2．解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→120100055500555--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→120100011100000--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． ……8分令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，．方程组的导出组的一般解为： 124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，． ……13分所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数． ……16分3．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186 ……8分（2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以 28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 ……16分 4．解：已知2=σ，n = 625，且nx u σμ-= ~ )1,0(N ……5分因为 x = 2.5，01.0=α，995.021=-α，576.221=-αu206.06252576.221=⨯=-nuσα……10分所以置信度为99%的μ的置信区间为：]706.2,294.2[],[2121=+---nux nux σσαα. ……16分四、（本题6分）证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2．所以，A 为可逆矩阵． ……6分《工程数学》综合练习一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( )． A ．AB A B = B ．222()2A B A AB B -=-+ C ．AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O = 正确答案：A2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ ）． A . 1 B . 3 C . 2 D . 4正确答案： B3．n 元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．A . )()(b A r A r =B . 不是行满秩矩阵C .D . 正确答案：A4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．A . 256B . 103 C . 203 D . 259正确答案：D 5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是μ无偏估计．A . 321515151x x x ++ B . 321x x x ++C . 321535151x x x ++D . 321525252x x x ++正确答案： C6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立． A . I AA =-1 B . A A =' C . 1-='A A D . A A =-1正确答案：B7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ ）． A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B . 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 正确答案：D8．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．A .B . A O ≠C .D . A 的行向量线性相关 正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．A . ∅=AB 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=C . ∅=AB 且A B U +=D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A . XB .∑=31i iXC . ∑=-312)(31i i X μ D . ∑=-312)(31i i X X正确答案： C二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= ．应该填写：-182．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称λ为A 的特征值．应该填写：AX X λ=3．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = ．应该填写：0.34．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时．应该填写：275．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ．应该填写：ˆ()E θθ=6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ． 应该填写：87．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 应该填写：AX X λ=8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ． 应该填写：0.39．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为： （其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）3．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解： 零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。
电大国开大学期末复习资料：《工程数学》期末考试练习题(2024秋版本)(简化版)
工程数学期末考试练习题（共224题）目录【知识点1】【行列式的递归定义】单选6题 (2)【知识点2】【余子式与代数余子式】单选6题 (2)【知识点3】【行列式的性质】单选8题 (3)【知识点4】【矩阵的运算】单选8题 (3)【知识点5】【方阵乘积行列式定理】单选8题 (4)【知识点6】【可逆矩阵（逆矩阵）】单选7题/判断1题 (4)【知识点7】【高斯消元法解线性方程组】单选8题 (5)【知识点8】【极大线性无关组，向量组的秩】单选6题 (5)【知识点9】【（非）齐次线性方程组解的性质及解的结构】单选8题 (6)【知识点10】【特征值与特征向量的求法】单选6题 (7)【知识点11】【随机事件的概率和性质】单选8题 (7)【知识点12】【古典概型】单选8题 (7)【知识点13】【概率的加法公式，条件概率与乘法公式】单选8题 (8)【知识点14】【离散型随机变量的概率分布】单选8题 (8)【知识点15】【连续型随机变量的概率密度，分布函数】单选8题 (9)【知识点16】【方差与方差的性质】单选8题 (9)【知识点17】【正态分布和它的数字特征】单选8题 (10)【知识点18】【统计量】单选4题 (10)【知识点19】【置信区间】单选4题 (10)【知识点20】【假设检验】单选4题 (11)【判断题1】【特殊矩阵】判断8题 (11)【判断题2】【矩阵的秩】判断7题/选择1题 (11)【判断题3】【线性方程组的相容性定理】判断10题 (12)【判断题4】【向量组的线性相关性】判断10题 (13)【判断题5】【矩阵特征值、特征向量的定义】判断8题 (13)【判断题6】【随机事件的关系与运算】判断8题 (13)【判断题7】【事件的独立性，全概公式】判断8题 (14)【判断题8】【数学期望与期望的性质】判断8题 (14)【判断题9】【二项分布和它的数字特征】判断8题 (14)【判断题10】【无偏性与有效性】判断8题 (15)工程数学期末考试练习题说明：题型为单项选择题和判断题，涵盖 1-7 章的内容，其中单项选择题涉及20 个知识点，判断题涉及 10 个知识点，每个知识点下有 6-8 道题目可供练习，预祝大家取得好成绩！【知识点 1】【行列式的递归定义】单选6题1.110240001−−= （ -2 ）2.若行列式210140700a−−=，则a =（ -1 ）3.若行列式000100020200100a a=，则a =（ 1 ）4.10011111x −−−是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是（1）． 5.求解二元线性方程组1212321221x x x x −=⎧⎨+=⎩，则x 1=（ 2 ），x 2=（ -3 ）6.计算三阶行列式124221342D −=−=−−（ -14 ）【知识点 2】【余子式与代数余子式】单选6题1.n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是（ ()1i jij ij A M +=− ）2.三阶行列式120438012−−的余子式23M =（1201− ） 3.三阶行列式12438012−−的代数余子式32A =（ 1048−）4.三阶行列式11111111x −−−中元素x 的代数余子式23A =（ 1111−− ）5.行列式512107的元素21a的代数余子式21A的值为（-56）6.设111213212223313233a a aD a a aa a a=,21233133a aMa a=,23213331a aNa a=,则12a的余子式（是M）【知识点3】【行列式的性质】单选8题1.设1231231232a a ab b bc c c=,则123112233123333a a aa b a b a bc c c−−−=（-2）2.设1231231232a a ab b bc c c=,则123112233123222a a aa b a b a bc c c+++=（2）3.设1231231232a a ab b bc c c=,则123112233123333a a aa b a b a bc c c+++=−−−（-2）4.若1101200153x−−=−,则x=（3）5.若1101200151x−−=+,则x=（-1）6.行列式114228153−−−=（0）7.下列等式成立的是（111111a b a bc d c d+=++），其中a,b,c,d为常数8.行列式111111111D=−=−−（4）【知识点4】【矩阵的运算】单选8题1.若A为3×4矩阵，B为2×5矩阵，且乘积AC B''有意义，则C为（5×4）矩阵.2. 若A为3×4矩阵，B为2×5矩阵，且乘积AC B'有意义，则C为（2×4）矩阵.3.若A为3×4矩阵，B为4×3矩阵，则下列运算可以进行的是（AB）4.设4034A ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，120314B −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则()A B ''+=（ 063518−⎡⎤⎢⎥−⎣⎦ ） 5.已知10102A a ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，10210112B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若1131AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a =（ -1 ） 6.设147426310A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则2A =（ 28148412620⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ）7.设147440310A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，101426115B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A B +=（ 248866425⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ）8.已知50302A a ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，500832B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若A B '=，则a =（ -8 ） 【知识点5】【方阵乘积行列式定理】单选8题1.A ,B 都是n 阶矩阵（n ＞1），则下列命题正确的是（ AB A B = ）2.设A ,B 均为n 阶方阵，则下列等式成立的是（ AB BA = ）3.设A ,B 均为n 阶方阵，0k >且1k ≠，则下列等式正确的是（ ()nkA k A −=− ）4.设A ,B 均为3阶方阵，且1A =−，3B =−，则A B '=（ 3 ）5.设A ,B 均为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ AB A B = ）6.设A ,B 均为3阶方阵，且1A =−，1B =，则1AB −=（ -1 ） 7. A ,B 是3阶方阵，其中3A =，2B =，则12A B −'⋅=（ 12 ）8. A ,B 都是n 阶方阵（n ＞1），则下列命题正确的是（ AB A B = ） （题干或为“设A ,B 均为n 阶方阵，n ＞1，则下列等式正确的是”） 【知识点 6】【可逆矩阵（逆矩阵）】单选7题/判断1题1.设方阵A 可逆，且A 是对称矩阵，则等式（ ()11A A −−'= ）成立2.设方阵A 可逆，则下列命题中不正确的是（ 线性方程组AX O =必有非零解 ）3.设方阵A 可逆，则下列命题中正确的是（ A O ≠ ）4.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ ()11AB BA −−= ）5.方阵A 可逆的充分必要条件是（ 0A ≠ ）6.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ ()111AB B A −−−= ）7.设矩阵011112210A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，判断A 是否可逆？（ 是 ）8.设A ,B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下式（ AB A B '= ）成立【知识点 7】【高斯消元法解线性方程组】单选8题1. 用消元法得123233241 0 2x x x x x x +−=⎧⎪+=⎨⎪−=⎩的解123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为（ []11,2,2'−− ）2.方程组12122125x x x x +=⎧⎨+=⎩的解12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为（ []3,1'− ）3.方程组1212233x x x x −=⎧⎨+=⎩的解12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为（ []2,1' ）4.线性方程组122310x x x x +=⎧⎨+=⎩（ 一般解为13231x x x x =+⎧⎨=−⎩（3x 是自由未知量） ）5.齐次线性方程组AX O =的系数矩阵经初等行变换化为102101020000A ⎡⎤⎢⎥→→−⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组的一般解为（ 1342422x x x x x =−−⎧⎨=⎩（34,x x 是自由未知量） ）6.非齐次线性方程组AX B =的增广矩阵经初等行变换化为[]102501020000A B ⎡⎤⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组的一般解为（ 132252x x x =−+⎧⎨=⎩（3x 是自由未知量） ）7.线性方程组12341234134332462 3x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+−=⎩一般解的自由未知量的个数为（ 2 ）8.设4元线性方程组AX B =有解且()1r A =，那么AX B =的相应齐次方程组的一般解中含有（ 3 ）个自由未知量【知识点 8】【极大线性无关组，向量组的秩】单选6题1.向量组100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩为（ 3 ） 2.向量组[]1,2,3,[]1,2,0,[]1,0,0,[]0,0,0的秩为（ 3 ）3.设向量组为11100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20011α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,31010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（123,,ααα）是极大无关组4.向量组[]10,0,0α=,[]21,0,0α=,[]30,1,0α=,[]40,0,1α=的极大线性无关组是（ 234,,ααα ）5.向量组11001α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,31111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41110α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,51101α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的极大线性无关组是（ 1234,,,αααα ）6.求向量组11001α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦31111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41110α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,51101α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩是（ 4 ）【知识点 9】【（非）齐次线性方程组解的性质及解的结构】单选8题 1.设线性方程组AX B =的两个解为12,X X ，（12X X ≠），则下列向量中（212X X −）一定是AX B =的解2.若0X 是线性方程组AX O =的解，1X 是线性方程组AX B =的解，则有 （ 10X X +是AX B =的解 ）3.非齐次线性方程组AX B =的增广矩阵经初等行变换化为[]100001020011/2A B ⎡⎤⎢⎥→→−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（方程组AX B =的通解为1230212x x x ⎧⎪=⎪=−⎨⎪⎪=⎩ ）4.设齐次线性方程组AX O =的方程组的一般解为1342344576x x x x x x =−⎧⎨=−⎩（其中34,x x 是自由未知量）则它的一个基础解系为（ [][]124710,5601X X ''==−− ） 5.设齐次线性方程组AX O =的方程组的一般解为 13232x x x x =−⎧⎨=⎩（其中3x 是自由未知量），则它的一个基础解系为（[]1121X '=−） 6.设齐次线性方程组AX O =的方程组的一般解为13233x x x x =−⎧⎨=⎩（其中3x 是自由未知量），则它的一个基础解系为（[]1311X '=−）7.设线性方程组AX B =的系数矩阵A 的秩为r ，增广矩阵[]|A B 的秩为r+1，那么方程组：（ 无解 ）8.如果线性方程组AX B =的系数矩阵A 的列向量线性无关，那么方程组： （ 解的情况取决于向量B ）【知识点 10】【特征值与特征向量的求法】单选6题1.矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦的特征值为（ -1,4 ） 2.已知矩阵A 的特征值为-1,4，则2A 的特征值为（ -2,8 ）3.已知矩阵A 的特征值为2,0，则12A 的特征值为（ 1,0 ）4.已知矩阵A 的特征值为-1,4，则1A −的特征值为（ -1,14）5.设矩阵A 有一个特征值λ，对应的特征向量为ν，那么矩阵T A 的特征值和特征向量是（ ,T λν ）6.已知矩阵A 的特征多项式为()256f λλλ=−+，那么矩阵A 的特征值为（ 2,3）【知识点 11】【随机事件的概率和性质】单选8题1.甲、乙二人射击，A , B 分别表示甲、乙射中目标，则()P AB 表示（ 至少有一人没射中目标的概率 ）2.甲、乙二人射击，A , B 分别表示甲、乙射中目标，则()P AB 表示（ 两人都射中目标的概率 ）3.下列所列的概率性质中不正确是（对于任意两个事件A ,B ，有()()()P A B P A P B +=+ ）4. 下列所列的概率性质中正确是（ 对任一事件A ，有()01P A ≤≤ ）5.某购物抽奖活动中，每人中奖的概率为0.3.则{}31A =个抽奖者中恰有人中奖的概率()P A =（ 1230.70.3C ⨯⨯ ）6.某购物抽奖活动中，每人中奖的概率为0.4.则{}41A =个抽奖者中恰有人中奖的概率()P A =（ 1340.60.4C ⨯⨯ ）7.关于概率的公式错误的是（ ()()()P A B P A P B +=+ ） 8.设()0p AB =，则正确的是（ ()()p A B p A −= ） 【知识点 12】【古典概型】单选8题1.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为5”的概率是（ 19 ）2.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ 118 ）3.同时掷3枚均匀硬币，恰好有1枚正面向上的概率为（ 38 ）4.同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为（ 38）5.设袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，则2个球恰好不同色的概率是（ 35）6.袋中有5个黑球，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ 485C ）7.设袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都取到白球的概率是（ 425）8.袋中有5个球，3个新2个旧，每次取1个，无放回地取两次，则第二次取到新球的概率是（ 35）【知识点 13】【概率的加法公式，条件概率与乘法公式】单选8题 1.已知()0P B >，12A A =Φ，则（ ()()()1212|||P A A B P A B P A B +=+⎡⎤⎣⎦ ）成立 2.设A ,B 是两事件，则下列等式中（()()()P AB P A P B =，其中A ,B 互不相容 ）是不正确的3.已知()0.3P A =，()0.5P B =，则当事件A ,B 互不相容时，()P A B +=（ 0.8 ）4.设A ,B 为两个事件，且B A ⊂，则()P A B +=（ ()P A ）5.若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ()()()P A B P A P B +=+ ）6.设A ,B 为两个事件，且B A ⊂，则()P A B −=（ ()()P A P B − ）7.假设生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭。
电大《工程数学》期末真题(含31套历年真题：2002年至2017年)
） 。
D． D． 秩（A）<n 或秩（B）<n
三、计算题（每小题 10 分，共 30 分）
2
一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分） 1． 1． B 2． 2． D 3． 3． B 4． 4． D 5． 5． C 6． 6． A 7． 7． C 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1． 1． 相等 2． 2． t，s（答对一个给 2 分） 3． 3． P（A）P（B） 4． 4． p（1-p）
1
中央广播电视大学 2001—2002 学年度第一 学期“开放本科”期末考试土木专业工程数 学（本）试题
2002 年 1 月
一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分）
4．设 A，B 均为 n 阶方阵，若 AB=0，是一定有（ A． A． A=0 或 B=0 B． B． 秩（A）=0 或秩（B）=0 C． C． 秩（A）=n 或秩（B）=n
０ ００
， 则｛ Ａ｝ 今（
０ ０
Ａ ． ２ ４
１ ３ ． 一 ２ ４
Ｃ．０
Ｕ ． １ ２
’，口“ ｚ ＋ ＂ ＋ ａ ． ｝ ， 若有 Ｏ ａ ， 十Ｏ ａ ｚ － ｝ － ． ． ． ０ ａ ． ＝ ０ ， 则向量组 ａ ｝ ， ａ ｚ ・， 对 于向量组 ａ ＇ ，ａ
（含 31 套历年真题）2002 年 1 月至 2017 年 7 月 国家开放大学（中央电大）“开放本科”期末考 试《工程数学》（本）试题及参考答案（含 15 年 31 套真题）
试卷代号：1080
《工程数学》真题目录（31 套）
1、2002 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 2、2003 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 3、2003 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 4、2004 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 5、2004 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 6、2005 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 7、2005 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 8、2006 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 9、2006 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 10、2007 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 11、2007 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 12、2008 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 13、2008 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 14、2009 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 15、2009 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 16、2010 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 17、2010 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 18、2011 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 19、2011 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 20、2012 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 21、2012 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 22、2013 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 23、2013 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 24、2014 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 25、2014 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 26、2015 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 27、2015 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 28、2016 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 29、2016 年 7 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 30、2017 年 1 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案 31、2017 年 6 月国家开放大学（电大）期末考试《工程数学》（本）试题及参考答案
2019年电大工程数学(本科)期末考试试题及答案
电大工程数学(本科)期末考试试题及答案一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(AB A B= )． 2．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ()BAAB 11=- )． 3. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（B A B A '+'='+)( ）．4．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ BAAB = ）．5．设A ，B 是两事件，则下列等式中（ )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 ）是不正确的． 6．设A 是n m ⨯矩阵，B 是t s ⨯矩阵，且B C A '有意义，则C 是( n s ⨯ )矩阵． 7．设是矩阵，B 是矩阵，则下列运算中有意义的是（）8．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( 0，6 ) ． 9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 ) ． 10．设是来自正态总体的样本，则（321535151x x x ++ ）是μ无偏估计．11．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（nx /15-）．12．设2321321321=c c c b b b a a a ，则=---321332211321333c c c b a b a b a a a a （2-）． 13． 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （0.4 ）． 14． 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ 1x ）是统计量． 15．若是对称矩阵，则等式（A A ='）成立． 16．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．17. 若条件（ ∅=AB 且A B U += ）成立，则随机事件，互为对立事件． 18．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ )(9)(4Y D X D + ）．19若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解而21ηη、是方程组AX = O 的解则（213231X X +）是AX =B 的解．20．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ )3,2(2-N ）． 21．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）．22. 若0351021011=---x ，则=x （3 ）．30. 若)4,2(~N X ，（22-X ），则． 23. 若满足（)()()(B P A P AB P = ），则与是相互独立．24. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D 则等式（22)]([)()(X E X E X D -= ）成立．25. 若线性方程组只有零解，则线性方程组（可能无解）．26. 若元线性方程组有非零解，则（）成立．27. 若随机事件,满足，则结论（与互不相容 ）成立．28. 若⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432143214321A ，则秩=)(A （1 ）．29. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A ，则=*A （ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1325 ）．30．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ 3 ）．31．向量组的秩是（4）．32. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为（21,αα）．33. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（[]2,3,1--）．34．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（t 分布）． 35．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（∑=-312)(31i i X μ ）不是统计量．)3,2,1(=i ．36. 对于随机事件，下列运算公式（)()()()(AB P B P A P B A P -+=+）成立．37. 下列事件运算关系正确的是（ A B BA B += ）．38．下列命题中不正确的是（ A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量）．39. 下列数组中，（1631614121）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．40. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（ 2）．41. 已知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21101210,20101B a A ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1311AB ，则=a （ 1- ）． 42. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（1,21-==b a ）．43. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( 0321=-+a a a )，其中0≠i a ，44. 线性方程组⎩⎨⎧=+=+013221x x x x 解的情况是（有无穷多解）．45. n 元线性方程组有解的充分必要条件是（)()(b A r A r = ）46．袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（259） 47. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （87）．48．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦） 二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= 8．2．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= -18 ． 3. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB —8 ． 4. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12 ． 5．设互不相容，且，则0 ．6. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-．7. 设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立 ．8．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称λ为A 的特征值． 9．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 10. 设是三个事件，那么A 发生，但C B ,至少有一个不发生的事件表示为)(C B A +. 11. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，当C 为（42⨯ ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．12. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵方程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．13．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a14．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X 15. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15 ．16．设随机变量的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k = π4 ．17. 设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25.03.0101~a X ，则45.0 ． 18. 设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.02.03.0210~X ，则=≠)1(X P 8.0． 19. 设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它0103)(2x x x f ，则=<)21(X P 81．20. 设随机变量的期望存在，则0． 21. 设随机变量，若5)(,2)(2==X E X D ，则=)(X E 3．22．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时27 ．23．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 无偏 估计． 24．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有ˆ()E θθ=． 25．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = 2 ． 26．设向量β可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21线性无关 ． 27．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量．28. 设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~101101∑=i i x )104,(μN ．29. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体的一个样本，∑==ni i x n x 11，则=)(x D n2σ30．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1-- ． 31．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 1，-1，2，-2 ． 32.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=070040111A ，则_________________)(=A r ．2 33．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．34．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x )1,0(nN35．若向量组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2121α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1302α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k 2≠ ． 36．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 31．37. 若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（ 21）时线性方程组有无穷多解． 38. 若元线性方程组0=AX 满足，则该线性方程组 有非零解 ． 39. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A P B A P B A P ，则=)(AB P 0.3 ．40. 若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足)ˆ()ˆ(21θθD D >，则称2ˆθ比1ˆθ更 有效 ． 41．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ． 42. 若方阵满足A A '=，则是对称矩阵．43．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 44．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 45. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则k=1- 46. 向量组的极大线性无关组是（）．47．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ． 48．含有零向量的向量组一定是线性相关 的．49. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 0.6 ．50. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 2.4 ． 51. 已知随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5.05.05.05.05201~X ，那么=)(X E 3． 52．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为= -56 ．53. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（ 121）. 54. 在对单正态总体的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（未知方差，检验均值）．55. 1111111---x x 是关于x 的一个多项式，该式中一次项x 系数是 2 ．56. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12514⎥⎦⎤⎢⎣⎡--451231． 57. 线性方程组b AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54⨯矩阵，则方程组增广矩阵)(b A r = 3 ．58. 齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→→000020103211 A59. 当λ= 1 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500050002,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→14610013501000111146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-520125151051585000500021461351341B A 3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ． 解：（1）因为2100110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以 2==B A AB ．（2）因为 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100010110001132I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→10010011001012/32/1001100100110010101032 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10011012/32/11A ． 4．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'． 解：由矩阵乘法和转置运算得100111111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 利用初等行变换得100201001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100201011101001112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦即 1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解： （1）1100110211210110211423532211=---=---=---=A（2）利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---103210012110001211100423010532001211即6．已知矩阵方程B AX X +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X ． 解：因为B X A I =-)(，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→11010012101012000111010011110010101即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．7．已知B AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ，求X ． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1055200132100013211001085010753001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→12110025*********1121100013210001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→121100255010146001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-12823151381085321212551461B A X8．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为： （其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）9．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--326001130012331203313596212331 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100001130012331⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→100000130001031 一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是自由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原方程组的一个基础解系为 { X 1，X 2 }．原方程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．10．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解．解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．27．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+==273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．11．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→120100055500555--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→120100011100000--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量．令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，． 方程组的导出组的一般解为：124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，； 令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，． 所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，， 其中1k ，2k 是任意实数．12. 当取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。
电大本科 工程数学-期末复习试卷含答案
工程数学综合练习（一）一、单项选择题A. 1B. -1C. 0D. 24. A.B 都是〃阶矩阵(〃:>1),则下列命题正确的是(). A.AB=BAB,若AB = O ，则 A = 0或8 = 0C. (A-B)2 =A 2-2AB + B 2D.仇耳=凤同 5. 若A 是对称矩阵，则等式()成立. A. A -1 = A f B. A = —A C. A = A'D. A ，= -A1 2 6. 若 A = 3 5，则A. 0 9. 向量组a, =[1 2 3]',%=[2 2 4]',%=[1 极大无关组可取为（）.B. a,,a 2C.D. %,。
2，%，。
410. 向量组 %=[1,0,-2],%=[2,3,5],%=[1,2,1],则 2a,+a 2-3a 3 =b a 2 b 2a 3 a 2 3角-如C 2a 33%-打 C3B 是矩阵，则下列运算中有意义的是（）. A'B D AB' 3. 己知A7.若人=2 2 2 23 3 3 3 44 4 4C. 2A. 4 2]',%= [2 3 5]'的一个 C 2 C 3C|设A 是〃xs 矩阵， AB B. BA C.2. A. 0 0 -a,若 AB = ,则。
=（8.向量组A. 1,-3,2B. 1,-3,-2]C. 1,3,-2]D. 1,3,2]11. 线性方程组」X，+X2=+X2=解的情况是(). x 2 + x 3 = 0A.无解 D.只有零解 C.有唯一非零解 D.有无穷多解12, 若线性方程组AX=O 只有零解，则线性方程组AX=b (). A.有唯一解 B.有无穷多解C.可能无解 D.无解 13. 若〃元线性方程组AX=O 有非零解，则()成立. A. r(A) < n B. r(A) = n C. |A| = 0D. A 不是行满秩矩阵14. 下列事件运算关系正确的是(). C. D. B = BA+BA15. 对于随机事件A,B.下列运算公式()成立. A. P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) B. P(AB) = P(A)P(B) C. P(AB) = P(8)P(B|A) D. P(A + B) = P(A) + P(B)16. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都 是红球的概率是(). A. AB. Ac. AD .210 20 252517.若随机事件满足AB = 0,则结论()成立 A. A 与8是对立事件 B. A 与B 互不相容C. A 与B 相互独立D. 1与京互不相容 18.若A, B 满足() ,则A 与8是相互独立. A. P(A + B) = P(A) + P(B) B. P(A-B) = P(A)-P(B)Dpg端 中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布.A. B = BA + BAB. A = BA + BAC. P(AB) = P(A)P(B) 19.下列数组中，(1 1 1 3 1 1 3 12 4 16 162 4 8 820. 设X123则 P(X <2)=0.1 0.3 0.4 0.2A. 0.1B. 0.4C. 0.3D. 0.221. 随机变量X 〜8(3，：), 则 P(X <2)=()A. 0B.C.1D782822.已知X 〜N(2,22),若aX+b~ N(O,1),那么(). A. a = 2,b = -2 B.。