基于边缘的图像分割

不同的边缘信号
(a)
(b)
(c)
(d)
图像中不同类型的边界 （a） 边界； （b） 线； （c） 折线变化； （d） 缓慢的平滑变化
图像边缘
综上所述，图像中的边缘可以通过对它们求导数
来确定，而导数可利用微分算子来计算。对于数字图
像来说，通常是利用差分来近似微分。
梯度边缘检测
设f(x,y)为连续图像函数，Gx和Gy分别为x方向和 y方向的梯度，且在点(x,y)处的梯度可以表示为一个
（5.6） （5.7）
梯度边缘检测
用卷积模板可表示为 ：
G (i, j ) Gx G y
其中，Gx和Gy分别为 ：
1 Gx 0 0 1
0 Gy 1
1 0
（5.8）
(2) Sobel算子 Sobel算子在点(i,j)的梯度幅值表示为：
2 2 S (i, j ) s x sy
基于边缘的图像分割
图像边缘
◆图像边缘有两个特征：方向和幅度 沿边缘走向，像素值变化比较平缓；
沿垂直于边缘的走向，像素值则变化比较剧烈。
◆一般常用一阶和二阶导数来描述和检测边缘。

基本思想：计算局部微分算子
边界图像
截面图

一阶微分：用梯度算子来计算 特点：对于亮的边，边的变化起点是正的，结束是负 的。对于暗边，结论相反。常数部分为零。 用途：用于检测图像中边的存在
其中，sx和sy分别x方向和y方向梯度的模版形式 ：
（5.12）
Sobel 算子 原图
Prewitt 算子
Roberts 算子
拉普拉斯二阶导数算子 ：
2 f 2 f f 2 2 x y
2
（5.13）
二阶差分的偏导数近似式为 ：
2 f Gx ( f (i 1, j ) f (i, j )) 2 x x x f (i 1, j ) f (i, j ) x x f (i 2, j ) 2 f (i 1, j ) f (i, j )
（5.14）
以上是以(i+1,j)为中心，用i替换i+1可得以(i,j)为中心 的二阶偏导数公式：
也即有： 同理有： 所以有：
2 f f (i 1, j ) 2 f (i, j ) f (i 1, j ) x 2 2 f f (i, j 1) 2 f (i, j ) f (i, j 1) 2 y
二阶微分：通过拉普拉斯来计算 特点：二阶微分在亮的一边是正的，在暗的一边 是负的。常数部分为零。 用途：①二次导数的符号，用于确定边上的像素 是在亮的一边，还是暗的一边。 ② 0跨越，确定边 的准确位置
图像边缘
图像
剖面
一阶导数
二阶导数
上升阶跃边缘 （ a）
下降阶跃边缘 （ b）
脉冲状边缘 （c）
（5.15） （5.16）
对应的集中模板为：
0 1 0 1 4 1
2 f 2 f 2 f (i 1, j ) f (i, j 1) 4 f (i, j ) f (i 1, j ) f (i, j 1) 2 x y
0 1 0
1 1 1
1 8 1
1 1 1
高斯-拉普拉斯(LOG)算子
把高斯平滑滤波器和拉普拉斯锐化滤波器结合起来，先平滑掉
噪声，再进行边缘检测，所以效果更好。
常用的LOG算子是5×5的模板：
2 4 4 4 2 8 0 4 4 0 4 8 24 8 4 4 0 8 0 4 2 4 4 4 2
Sobel
Robert
Prewitt
LOG
（5.9） （5.10）
简化的卷积模板表示形式为 ：
S (i, j ) s x s y
1 sx 2 1 0 0 0 1 2 1
1 sy 0 1 2 0 2 1 0 1
其中，sx和sy分别x方向和y方向梯度的模版形式 ：
矢量，并有其梯度定义：
f ( x, y ) G ( f ( x, y )) x f ( x, y ) y
T
（5.1）
(1) Roberts算子 是一个交叉算子，其在点(i,j)的梯度幅值表示为：
G(i, j) f (i, j) f (i 1, j 1) f (i 1, j) f (i, j 1)
（5.11）
(3) Prewitt算子 Prewitt算子在点(i,j)的梯度幅值表示为：
2 2 S (i, j ) s x sy
（5.9） （5.10）
1 0 1 1 0 1
简化的卷积模板表示形式为 ： S (i, j ) s x s y
1 sx 1 1 0 0 0 1 1 1 1 sy 0 1
屋顶边缘 Байду номын сангаас d）
图像边缘及其导数曲线规律示例
边缘检测与微分运算
边缘点是信号“变化剧烈”的地方，以一维信号为例，定义一个
准确的边缘数学模型。
A
AA A
BB B (b) (b) (b) （b ）
CC C
AA A BB B CC C (c) （ c） (c) (c)
AA A BB B
CC C
（a）
(d) (d) (d) （ d）