914775-数字图像处理-图像压缩编码第五讲正交变换编码
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5.5.1 变换编码原理
变换编码不是直接对空域图像信号编码，而 是首先将图像数据经过某种正交变换（如傅立叶 变换（DFT），离散余弦变换（DCT），K-L变换 等等）另一个正交矢量空间(称之为变换域)，产 生一批变换系数，然后对这些变换系数进行编码 处理，从而达到压缩图像数据的目的。
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➢ 变换编码的原理 如下图：
图象 f(x,y)
正交 变换
F(u,v)
F (u, v)
样本 选择
F (u, v)
量化 编码
F (u, v)
重建
f(x,y)
➢ 图像数据经过正交变换后，空域中的总能量 在变换域中得到保持，但像素之间的相关性 下降，能量将会重新分布，并集中在变换域 中少数的变换系数上，因此，选择少数F(u,v) 来重建图像就可以达到压缩数据的目的，并 且重建图像仅引入较小误差。
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5.5.3 变换编码的数学分析
设A为正交矩阵，则有
Y=AX
（5-10）
由于A为正交矩阵，有
AAT=AA-1=E
传输或存储利用变换得到的Y，在接收端，经逆变
换可恢复X
X=A-1 Y=ATY
若在允许失真的情况下，传输和存储只用Y的前
M(M<N)个分量，这样就得到Y的近似值:
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思路： 一幅N×N 图像先被分割为n×n的子图像， 通过变换这些子图像得到(N/n)2个n×n个子图像变
换数组。变换的目的是解除每个子图像内部像素之 间的相关性或将尽可能多的信息集中到尽可能少的 变换系数上。量化时有选择性地消除或粗糙地量化 携带信息最少地系数，因为它们对重建的子图像的 质量影响最小。最后，对量化了的系数进行编码 （常利用变长编码）。
本次课内容： １．正交变换编码：变换编码原理，卡胡南-列夫变换，离 散余弦变换 ２．图像编码的国际标准：静止图像压缩标准，运动图像压缩标准
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5.5 正交变换编码
从理论上，采用正交变换 不能直接对图像数据进行有效的 压缩，但正交变换改变了图像数 据的表现形式，为编码压缩提供 了可能。
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5.5.4卡胡南-列夫变换（K-L）
对于NN的矩阵T，有N个标量λi， i=1,2,…,N,能使|T-λiI|=0 则λi叫做矩阵 T的特征值。
另外，N个满足 TVi iVi 的向量Vi叫做T 的特征向量，这些特征向量构成一个正交基 集。
设X是一个N1的随机向量，也就是说，X的
最佳变换的核心在于经变换后能使 Y 为对角阵。 若采用某种变换矩阵A，变换后的 Y 接近于对角阵， 则这种变换称为准最佳变换。
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K-L变换 是能满足均方误差准则下最佳变换。 K-L变换与图像数据有关，运算复杂，没有快速算 法，因此K-L变换在使用性受到了很大的限制。 傅立叶变换、沃尔什变换、离散余弦变换， 是常用 的准最佳变换。
系数使得 Y 误差不大。 总之，选择合适的A和相应的A1，使变换系数Y之间 的相关性全部解除和使Y的方差高度集中，就称为
最佳变换。
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最佳变换A选择的准则： 若选择变换矩阵A，使 Y 为对角阵，那么变换系 数之间的相关性可完全解除。接着选择集中主要能 量的Y系数前M项，则得到的 Y 将引起小的误差， 使Y的截尾误差小。
Y T X T T
（5-14）
因为T的各行是Φx的特征向量，故Φy是一个
对角阵，对角元素是的Φx特征值。因此
λ1 ··· 0
··· ···
Φy＝
0 ··· λN
这些也是的Φx特征值。 ➢ 随机向量Y是由互不相关的随机变量组成的，
因此线性变换T起到了消除变量间的相关性的 作用。
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熵编码中不等长码来分配码长，能量大的系数分 配较少的比特数，从而达到压缩的目的。同理，也 可以用零代替能量较小的系数的方法压缩。
(4) 去相关性质。正交变换把空间域中高度相关的 像素灰度值变为相关很弱或不相关得频率域系数。 显然这样能去掉存在于相关性中的冗余度。
总之，正交变换可把空间域中高度相关的像素灰度 值变为相关性很弱或不相关的频率域系数。
Y [ y0, y1, y2,..., yM 1]T
来重建X, 得到利用Y的近似值X的近似值为：
X A1T Y
式中，A1为M×M阵。只要A1选择恰当就可以保证 重建图像的失真在一定允许限度内。关键的问题是 如何选择A和A1，使之既能得到最大压缩又不造成 严重失真。为此要研究X的统计性质。
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解码部分由与编码部分相反排列的一系列逆操作模 块构成。由于量化是不可逆的，所以解码部分没有 对应的模块。
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5.5.2 正交变换的性质
正交变换具有如下的性质： (1) 正交变换是熵保持的，说明正交变换前后不丢失
信息。因此用图像各像素灰度存储或传送和用变 换系数去存储或传输一样。 (2) 正交变换熵能量保持的。 (3) 正交变换重新分配能量。常用的正交变换，如傅 立叶变换，能力集中于低频区，在低频区变换系 数能量大而高频区系数能力小得多。这样可用
每个分量xi都是随机变量。X的均值（平均向 量）可以由L个样本向量来估计向量Mx：
M x
1 L
L l 1
Xl
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（Fra Baidu bibliotek-11）
➢ Mx协方差矩阵可以由
Mx
E{( X
M x )( X
M x )T }
1 L
L l 1
Xl
XlT
MlMlT
（5-12）
来估计。协方差矩阵是实对称的。对角元素
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数字图像处理
（Digital Image Processing）
山东科技大学
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图像压缩编码
山东科技大学 郑永果教授
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第五章 图像压缩编码
已讲解内容 1. 图像压缩的概念 图像压缩，“数据”与“信息” 数据冗余，编码冗余、像素间冗余、心理视觉冗余 无误差（亦称无失真、无损、信息保持）编码和有误差 （有失真或有损）编码 图像编码模型，信源编码，信源解码，信道编码，信道 解码 图像保真度准则，客观保真度准则，主观保真度准则 2. 统计编码方法: 图像的霍夫曼编码、算术编码、 3. 无失真编码:位平面编码，二值图像编码，行程编码，无损预测编码 4．有误差压缩编码： 有损预测编码，
对于 X=[x0, x1, x2 , … , xn-1]T ， X的均值为: X E[X ]
X的协方差矩阵为： X E[(X X )(X X )T ]
同理，对于 Y=[ y0, y1, y2 , … , yn-1]T Y的均值为: Y E[Y ] Y的协方差矩阵为： Y E[(Y Y)(Y Y)T ] 根据式(6.5.3)得：
是个随机变量的方差，非对角元素是它们的
协方差。
• 定义一个线性变换T，它可由任何X向量产生
一个新向量Y：
•
Y T ( X M x ) （5-13）
• 式中，T的各行是Mx的特征向量，即T的行向 量就是Mx的特征向量。
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➢ 变换得到的Y是期望为零的随机向量。Y的协 方差矩阵可以由X的协方差矩阵决定：
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根据式(5-10)得：
Y E[( AX AX )(AX AX )T ] AE[( X X )( X X )T ]AT
AX AT
可见，Y的协方差 Y 可由 X 作二维正交变换得到。 X 是图像固有的，因此关键是要选择合适的A，使 变换系数Y之间有更小的相关性。另外去掉了一些
5.5.1 变换编码原理
变换编码不是直接对空域图像信号编码，而 是首先将图像数据经过某种正交变换（如傅立叶 变换（DFT），离散余弦变换（DCT），K-L变换 等等）另一个正交矢量空间(称之为变换域)，产 生一批变换系数，然后对这些变换系数进行编码 处理，从而达到压缩图像数据的目的。
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➢ 变换编码的原理 如下图：
图象 f(x,y)
正交 变换
F(u,v)
F (u, v)
样本 选择
F (u, v)
量化 编码
F (u, v)
重建
f(x,y)
➢ 图像数据经过正交变换后，空域中的总能量 在变换域中得到保持，但像素之间的相关性 下降，能量将会重新分布，并集中在变换域 中少数的变换系数上，因此，选择少数F(u,v) 来重建图像就可以达到压缩数据的目的，并 且重建图像仅引入较小误差。
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5.5.3 变换编码的数学分析
设A为正交矩阵，则有
Y=AX
（5-10）
由于A为正交矩阵，有
AAT=AA-1=E
传输或存储利用变换得到的Y，在接收端，经逆变
换可恢复X
X=A-1 Y=ATY
若在允许失真的情况下，传输和存储只用Y的前
M(M<N)个分量，这样就得到Y的近似值:
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思路： 一幅N×N 图像先被分割为n×n的子图像， 通过变换这些子图像得到(N/n)2个n×n个子图像变
换数组。变换的目的是解除每个子图像内部像素之 间的相关性或将尽可能多的信息集中到尽可能少的 变换系数上。量化时有选择性地消除或粗糙地量化 携带信息最少地系数，因为它们对重建的子图像的 质量影响最小。最后，对量化了的系数进行编码 （常利用变长编码）。
本次课内容： １．正交变换编码：变换编码原理，卡胡南-列夫变换，离 散余弦变换 ２．图像编码的国际标准：静止图像压缩标准，运动图像压缩标准
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5.5 正交变换编码
从理论上，采用正交变换 不能直接对图像数据进行有效的 压缩，但正交变换改变了图像数 据的表现形式，为编码压缩提供 了可能。
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5.5.4卡胡南-列夫变换（K-L）
对于NN的矩阵T，有N个标量λi， i=1,2,…,N,能使|T-λiI|=0 则λi叫做矩阵 T的特征值。
另外，N个满足 TVi iVi 的向量Vi叫做T 的特征向量，这些特征向量构成一个正交基 集。
设X是一个N1的随机向量，也就是说，X的
最佳变换的核心在于经变换后能使 Y 为对角阵。 若采用某种变换矩阵A，变换后的 Y 接近于对角阵， 则这种变换称为准最佳变换。
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K-L变换 是能满足均方误差准则下最佳变换。 K-L变换与图像数据有关，运算复杂，没有快速算 法，因此K-L变换在使用性受到了很大的限制。 傅立叶变换、沃尔什变换、离散余弦变换， 是常用 的准最佳变换。
系数使得 Y 误差不大。 总之，选择合适的A和相应的A1，使变换系数Y之间 的相关性全部解除和使Y的方差高度集中，就称为
最佳变换。
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最佳变换A选择的准则： 若选择变换矩阵A，使 Y 为对角阵，那么变换系 数之间的相关性可完全解除。接着选择集中主要能 量的Y系数前M项，则得到的 Y 将引起小的误差， 使Y的截尾误差小。
Y T X T T
（5-14）
因为T的各行是Φx的特征向量，故Φy是一个
对角阵，对角元素是的Φx特征值。因此
λ1 ··· 0
··· ···
Φy＝
0 ··· λN
这些也是的Φx特征值。 ➢ 随机向量Y是由互不相关的随机变量组成的，
因此线性变换T起到了消除变量间的相关性的 作用。
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熵编码中不等长码来分配码长，能量大的系数分 配较少的比特数，从而达到压缩的目的。同理，也 可以用零代替能量较小的系数的方法压缩。
(4) 去相关性质。正交变换把空间域中高度相关的 像素灰度值变为相关很弱或不相关得频率域系数。 显然这样能去掉存在于相关性中的冗余度。
总之，正交变换可把空间域中高度相关的像素灰度 值变为相关性很弱或不相关的频率域系数。
Y [ y0, y1, y2,..., yM 1]T
来重建X, 得到利用Y的近似值X的近似值为：
X A1T Y
式中，A1为M×M阵。只要A1选择恰当就可以保证 重建图像的失真在一定允许限度内。关键的问题是 如何选择A和A1，使之既能得到最大压缩又不造成 严重失真。为此要研究X的统计性质。
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解码部分由与编码部分相反排列的一系列逆操作模 块构成。由于量化是不可逆的，所以解码部分没有 对应的模块。
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5.5.2 正交变换的性质
正交变换具有如下的性质： (1) 正交变换是熵保持的，说明正交变换前后不丢失
信息。因此用图像各像素灰度存储或传送和用变 换系数去存储或传输一样。 (2) 正交变换熵能量保持的。 (3) 正交变换重新分配能量。常用的正交变换，如傅 立叶变换，能力集中于低频区，在低频区变换系 数能量大而高频区系数能力小得多。这样可用
每个分量xi都是随机变量。X的均值（平均向 量）可以由L个样本向量来估计向量Mx：
M x
1 L
L l 1
Xl
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（Fra Baidu bibliotek-11）
➢ Mx协方差矩阵可以由
Mx
E{( X
M x )( X
M x )T }
1 L
L l 1
Xl
XlT
MlMlT
（5-12）
来估计。协方差矩阵是实对称的。对角元素
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图像压缩编码
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第五章 图像压缩编码
已讲解内容 1. 图像压缩的概念 图像压缩，“数据”与“信息” 数据冗余，编码冗余、像素间冗余、心理视觉冗余 无误差（亦称无失真、无损、信息保持）编码和有误差 （有失真或有损）编码 图像编码模型，信源编码，信源解码，信道编码，信道 解码 图像保真度准则，客观保真度准则，主观保真度准则 2. 统计编码方法: 图像的霍夫曼编码、算术编码、 3. 无失真编码:位平面编码，二值图像编码，行程编码，无损预测编码 4．有误差压缩编码： 有损预测编码，
对于 X=[x0, x1, x2 , … , xn-1]T ， X的均值为: X E[X ]
X的协方差矩阵为： X E[(X X )(X X )T ]
同理，对于 Y=[ y0, y1, y2 , … , yn-1]T Y的均值为: Y E[Y ] Y的协方差矩阵为： Y E[(Y Y)(Y Y)T ] 根据式(6.5.3)得：
是个随机变量的方差，非对角元素是它们的
协方差。
• 定义一个线性变换T，它可由任何X向量产生
一个新向量Y：
•
Y T ( X M x ) （5-13）
• 式中，T的各行是Mx的特征向量，即T的行向 量就是Mx的特征向量。
国家级精品资源共享课
➢ 变换得到的Y是期望为零的随机向量。Y的协 方差矩阵可以由X的协方差矩阵决定：
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根据式(5-10)得：
Y E[( AX AX )(AX AX )T ] AE[( X X )( X X )T ]AT
AX AT
可见，Y的协方差 Y 可由 X 作二维正交变换得到。 X 是图像固有的，因此关键是要选择合适的A，使 变换系数Y之间有更小的相关性。另外去掉了一些