多属性决策方法 (1)

• 简单线性加权法是一种常用的多属性决策方法， 先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标 准化处理，求出各方案的线性加权指标平均值， 并以此作为各可行方案排序的依据。应该注意， 简单线性加权法对决策矩阵的标准化处理，应当 使所有的指标正向化。
简单线性加权法的基本步骤是：
步骤一：用适当的方法确定各决策指标的权重，设权重向量为：
x2 p ...
，

xn1
xn2
xnp

•综合指标 F a1 x1 a2 x2 a p x p X，
为 其中组合系数为 (a1, a2 , , a p )'
p
且要求 ( , ) ' ai2 1 i 1
•33
其中组合系数为 (a1, a2 , , a p )', 使 var( F )最大，
•23
•教育投入：学术资源、师资资源、物质资源
•
财力资源、学生情况
•1．学术资源 •（1）博士点总数及学科分布； •（2）硕士点总数及学科分布； •（3）国家重点学科数及学科分布； •（4）国家重点实验室、国家工程研究中心、国家人文社科重点研究基地 •数及学科分布； •（5）国家级科技奖励。 •2．师资资源 •（1）具有博士的教师比例或教师在其领域获得最高学位的比例； •（2）专任教师与学生比； •（3）长江学者特聘教授人数或两院院士人数； •（4）教师平均工资。
1 n
xi n k1 xki
1 n
cov( xi ,
xj
)

n
1
( xki
k 1

xi )( xkj

xj)
•38
•3）求相关系数矩阵R的特征值和特征向量矩阵
det(R E) 0
•矩阵R的特征值 1 2 p 0
•和特征向量
u1，u2， ，up
步骤四：以线性加权指标值 ui 为依据，选择线性加权指标值最大者为
n
最满意的答案，即
u(a* )

max
1 i m
ui
max 1 i m
w j yij 。
j 1
二、理想解法
• 理想解法又称为TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法。
j 1,2, , p
•指标
•项目
a11 a12 a1 p
a21 a22 a2 p




an1
an2
anp

•36
(a1, a2 , , a p )
•指标间的差异
•标准化
xij
aij a j var(a j )
其中
aj
•26
•（3）毕业生国外院校奖学金获 得者与录取人数及比率；
•（4）留学生比例（在同专业学 生中的比例；来自五大洲的比 例）；
•（5）国家级大赛学生获奖情况 （电子设计、数模、桃战杯，英 语演讲、机器人大赛等）。
•4．校友捐赠 •校友平均捐赠率。 •5．声望或声誉 •知名学者专家、校长、官员、企 业家问卷调查。
•中国大学排行榜问题
•n所大学 • p个指 标
•29
•清华、北大、复旦、南开… ... 江西 财大等 •学术资源 x1、师资资源 x2、物质资源 x3、财力资源 x4、学生情况 x5、科研 成果 x6、成果转化 x7、人才培养 x8、 校友捐赠 x9、
•……..
•多数情况下,不同指标之间是有一定相关性.
因此F1 Xu1, var( F1) 1 •同理，有 F2 Xu2 , F3 Xu3 , , Fp Xup
var( Fj ) j , j 1,2, , p
此时，称F1为第一主成分，F2为第二主成分，...，Fn为第n主成分
p
称f j j / i为第j个主成分的贡献率
•24
•3．物资资源 •（1）图书总量及生均藏书量；（2）图书馆用于购买新书的经费 占图书馆开支的比例；（3）图书馆总面积及生均面积； •（4）教师人均办公用房的面积；（5）体育馆总面积及生均面积 •4．财力资源 •（1）生均行政经费的开支； •（2）奖学金和助学金占行政经费的比例； •（3）享受奖学金与助学金人数占全体学生比例； •（4）专任教师与科研人员人均科研经费； •（5）教师年平均收入（学校发放的部分）； •5．学生情况 •（1）学生填报志愿的录取率； •（2）高考录取平均分； •（3）各省市重点高中文理科前30名考生录取比率，各省市文理科前100名 考生的录取比例； •（4）研究生总数及其在全校学生中比率； •（5）研究生报考与录取比率。
最优值为给定区间时的变换
•决策理论与方法
•13
常用的数据预处理方法
•决策理论与方法
•14
向量规范化
•决策理论与方法
•15
常用的数据预处理方法
•决策理论与方法
•16
原始数据的统计处理
•决策理论与方法
•17
多属性决策问题的决策方法
一、简单线性加权法 二、理想解法 三、功效系数法
一、简单线性加权法
• 功效系数法的基本步骤是：
– 步骤一：确定决策指标体系 – 步骤二：计算各指标的功效系数 – 步骤三：计算各方案的总功效系数 – 步骤四：以总功效系数为判据，对各方案进行排序。
功效系数越大，方案越优；反之，方案越劣。
•案例
•主成分分析
•中国大学排行榜
•中国大学排行榜 —— • 网大排行榜 • 武书连排行榜(广东管理科学学 院) • 中国校友会排行榜
j 1
p
p

var( F ) k juj W k juj
j1
j1

p
p
p
k juj k j juj k j j
j1
j1
j1
•34
u1时, var( F ) 最大, 且 max var( F ) 1
• 非量纲化 • 归一化
•决策理论与方法
•6
常用的数据预处理方法
•决策理论与方法
•7
线性变换——例子
•决策理论与方法
•8
常用的数据预处理方法
•决策理论与方法
•9
标准0-1变换
•决策理论与方法
•10
最优值为给定区间时的变换
•决策理论与方法
•11
最优值为给定区间时的变换
•决策理论与方法
•12

xnj

( x1, x2 , , x p )
•37
•2) 计算相关系数矩
阵
r11 r12 r1 p
•相关系数矩 阵
R


r21
r22

r2 p

rp1 rp2 rpp
rij为向
量xi
和x
的相
j
关系数
，
rij
cov( xi , x j ) var( xi ) var( x j )
i1
k
f j为前k个主成分的累积贡献率
j 1
k
通常,前k个主成分的累积贡献率 f j 0.85时 j 1
•我们就取前 k个主成分
•35
•主成分分析法的步骤
•1）样本数据处理
有待评估的n个项目(公司、产品、项目等)，每项项目
有 p 项指标，第i个项目的第 j 项指标为aij，i 1,2, , n；
• 这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解， 并以靠近理想解和远离理想解两个基准作为评价各 可行方案的依据。理想解法又成为双基点法。
• 理想解：设想各指标属性都达到最满意的解。 • 负理想解：设想指标属性都达到最不满意的解。
三、功效系数法
• 功效系数法是将各决策指标的相异度量转化为相应 的无量纲的功效系数，再进行综合评价的多属性决 策方法。
•如此多的指标(40多个)，都与学校的排名和声誉有 关但又可能互相重叠交叉，如何处理这些指标才 够客观合理。
•其他类 •似问题
•企业生产率评价 •品牌知名度评价 •各地区居民消费评价
•等 等
•27
•主成分分析法 •（PCA）
•28
•Karl Parson在1901年引进的，针对非随机向量 •Hotelling 1933年将这个方法推广到随机向量.
•此时所选取的综合指标，相当于在原指标的基础上， 进行了坐标旋转，使得第一个指标的方差最大（含有 最多的信息）。
•32
•主成分的推导
设有n个项目，p个指标，相应的指标矩阵为：
x11 x12 x1 p
X

(X1,
X 2 ,
,
Xp)

x21 x22 ... ... ...
W
(w1, w2 ,L
,
wn
)T
，其中，
n

wj
1。
j 1
步骤二：对决策矩阵 X (xij )mn 作标准化处理，标准化矩阵为
Y ( yij )mn ，并且标准化之后的指标均为正向指标。
n
步骤三：求出各决策方案的线性加权指标值 ui wj yij 1 i m。 j 1
《决策理论与方法》
多属性决策 Multi-attribute Decision-making
•决策理论与方法
•2
决策矩阵(属性矩阵、属性值表)
•决策理论与方法
•3
决策矩阵(属性矩阵、属性值表)
•决策理论与方法
•4
决策矩阵(属性矩阵、属性值表)
•决策理论与方法
•5
数据预处理（规范化 ）
• 属性值有多种类型。放大效益型；缩小成 本型
•25
•教育产出：研究成果、成果转化、人才培养
•
Байду номын сангаас
校友捐赠、声望声誉
•1．研究成果 •（1）课题批准总数及级别； •（2）索引情况：SCI/EI/ISTP/ •CSTP/SSCI/A&HCI/CSSCI人均数； •（3）获国家和国际奖励。 •2．科技成果转化 •（1）成果转化率； •（2）成果转化效益。 •3．人才培养 •（1）7月～9月前毕业生一次就 业率（毕业率）； •（2）7月前毕业生考取其他院校 研究生人数及比率；
•特征向量矩阵 U (u1，u2， ，up )
•4）求主成分的贡献率，确定因子 •如果 k 超过0.85，
p
fi i / i i 1
则说明前k个主成分 基本包含了全部指
k
•特征值的累积贡献率 k fi i 1
标具有的信息，因 此可以只选前k个主
var( F ) var( X ) ' var( X ) 'W
若W的特征根为1 2 p 0，
W var( X ) 协方差矩阵
对应的正交特征向量组为：u1, u2 ,
,
u
，
p
且
Wu j
juj
p
p
令
kjuj 且
k
2 j

1
j 1
•在实际工作中，一般取信息量包含85%以上的前几 个综合指标，虽然这样做会损失一部分信息，但是 我们已经获取了主要信息，并从原始数据中进一步 提取了•31 某些新的信息。
综合指标为：
F1 a11x1 a12x2 a1p xp F2 a21x1 a22x2 a2 p xp Fp a p1x1 a p2 x2 app xp ai21 ai22 ai2p 1 (i 1,2, , p) 且满足条件 （1）Fi , Fj不相关,或正交； （2）F1是x1, x2 , , xp的线型函数中方差最大的,以此类推
•财力资源、物质资源 •科研成果、成果转化 •人才培养、校友捐赠
•相互关联
•基本思想
•主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性的 指标（比如 p个指标），重新组合成一组相互无关 的综合指标来代替原来指标。通常数学上的处理就 是将原来 p个指标作线性组合，作为新的综合指标。
•30
•第一综合指标 F1 a11x1 a12 x2 a1 p x p

1 n
n i 1
aij，var(a j )
1 n1
n
(aij
i 1
a j )2
x11 x12 x1 p
•标准化数据矩阵
X


x21
x22
x2 p


xn1
xn2
xnp

x1 j
xj


x2 j

如何取a11、a12、 、a1 p
F1的方差var( F1)最大
•第二综合指标 F2 a21x1 a22 x2 a2 p x p
F2的方差var( F2 )最大吗? 还要要求F1和F2不相关，即cov(F1, F2 ) 0, 即正交
•以此类推，可以创建第三、第四、以至第 p个综合指 标，同时后面的主成分也要前面所有的主成分正交