抛物型方程的差分方法

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(2.9) (2. 10) (2.11)
建立差分算子和导数算子之间的关系，由 Talyor 展开，有
u m n 1 u m n 1 h !( u x ) n m h 2 2 !( x 2 u 2 ) n m h 3 ! 3 ( x 3 u 3 ) n m
I1 h!D xh 22 !D x2 um n
则u在(xm,tn)处对x的一阶偏导数有三个可能的近似:
(2.5) ( u x )n m u (x m 1 ,tn ) h u (x m ,tn ) u m n 1 h u m n 向前差商
( u x ) n m u ( x m ,tn ) h u ( x m 1 ,tn ) u m n h u m n 1
x m mm h 0Βιβλιοθήκη Baidu, 1 , 2 , , M ; M 1h
在 t0 ,x0 ,x1上的结点称为边界结点，属于 内的结点称为内部结点。
差分方程就是在网格点上求出微分方程解 的近似值的一种方法，因此又称为网格法。
构造逼近微分方程的差分方程的方法。
研究导数的差商近似表达式。为此对二元函 数 uu(x,t)定义um nu(xm,tn)，且假定 uu(x,t)具有我 们需要的有界偏导数。
其中, ( x , t ) a ( x , t ) 0 , c ( x , t ) 0 , ( x , t ) , 为x平t 面上某
一区域。
通常考虑的定解问题有：
(1) 初值问题(或称Cauchy问题) 在区域 ( x , t ) | x , 0 t T 上求函
hx D ln I ( x ) x 1 2 2 x 1 3 3 x
1
1
x Tx2 Tx 2
(2.14) (2.15)
0x1(2.3)
u(0,t)1(t)u ,(1,t)2(t) 0tT(2.4)
2.1 差分格式建立的基础
为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首 先将求解区域用二组平行于t轴和 x轴的直线构 成的网格覆盖，网格边长在方向 t为 tk，在 x 方向为xh(如图2.1所示)。h,k分别称为空间方向 和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结 点。对初值问题来说，网格是
exph(Dx)um n I为恒等算子
由
um n1Txum n
得
TxexhpD x()
(2.12)
或者 同理有
hD x lnTx Tx1exp h(D x) hD xlnTx1
(2.13)
因为 x T x I , T x x I
故 同理 因为
hx D ln I (x ) x 1 2 2 x 1 3 3 x
抛物型方程的差分方法
第2章抛物型方程的差分方法
2.1 差分格式建立的基础 2.2 显式差分格式 2.3 隐式差分格式 2.4 解三对角形方程的追赶法 2.5 差分格式的稳定性和收敛性 2.6 非线性抛物型方程的差分解法举例 2.7 二维抛物型方程的差分格式
2.8 交替方向的隐式差分格式( ADI 格式)
(2.8)
用向后差商近似导数的截断误差阶也为O(h)
而中心差商近似导数的截断误差阶为O(h2)
关于导数的近似差商表达式，也可以通过线 性算子作为推导工具得到，定义：
Dx
x
为
x方向偏导数算子
T x 为x方向位移算子，T x u m n u m n 1 ,T x 1 u m n u m n 1
tn nk n 0 ,1 ,2 , ,N ;N T k x m mh m 0 , 1 , 2 ,
在 t0上的结点称为边界结点，属于内的结点 称为内部结点。
对于初边值问题，设 ( x , t ) | 0 x 1 , 0 t T
，则网格是
tn nk n 0 ,1 ,2 , ,N ;N T k
数，使满足
初值条件
方(2.程 1 ) (x,t)
u(x,0)(x) x
(2.2)
(x)为给定的初始函数。 (2) 初边值问题(或称混合问题)
在区域上 ( x , t ) |0 x 1 , 0 t T 求函数u(x,t)
，使满足
方(2程 .1)
u(x,0)(x)
边值条件
(x,t)
本章，我们研究线性抛物型方程的差分解法， 主要讨论差分方程的构造方法和有关的理论问题 以及研究方法等，重点在于一维线性抛物型方程 的差分方法，对于非线性以及多维抛物型方程的 差分解法也进行了研究。
众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为
( x ,t ) u t x ( a ( x ,t ) u x ) b ( x ,t ) u x c ( x ,t ) u(2.1)
由Taylor展开，有
u ( x m 1 ,t n ) u ( x m ,t n ) 1 h ! ( u x ) n m h 2 2 ! ( x 2 u 2 ) n m h 3 ! 3 ( x 3 u 3 ) n m u ( x m 1 ,t n ) u ( x m ,t n ) 1 h ! ( u x ) n m h 2 2 ! ( x 2 u 2 ) n m h 3 ! 3 ( x 3 u 3 ) n m
(2.6)
(2.7) ( u x ) n m u ( x m 1 ,tn ) 2 h u ( x m 1 ,tn ) u m n 1 2 h u m n 1 向后差商
中心差商
显然，用差商近似导数存在误差，令
则
截断误差, 阶为O(h)
Em n( u x)n mum n1hum n E m n h 2 ( x 2 u 2 )x ,tn x m x x m 1
1
, Tx2umn umn1 2
Tx12umn umn1 2
为x方向平均算子， x
xum n1 2(um n1 2um n1 2)
x方向的差分算子:
其中: un m1 2
h u(xm2,tn)
前差算子: x , xum num n1um n
后差算子: x , xum num num n1
中心差算子: x , xum num n1um n1