第十九章 量子力学基础( I ) 作业参考答案(2015)

()
一. 选择题
[ D ]1.（基础训练1）在加热黑体过程中，其最大单色辐出度（单色辐射本领）对应的波长由0.8 μm 变到0.4 μm ，则其辐射出射度（总辐射本领）增大为原来的 (A) 2倍． (B) 4倍． (C) 8倍． (D) 16倍． ［ ］
提示: 由维恩位移定律：T m λ=b ，∴m λ∝
T
1
，即1221m m T T λλ=
又由斯特藩-玻耳兹曼定律，总辐射出射度：
0400()()M T M T d T λλσ∞
==⎰
444022140112()0.8
()()16()0.4
M T T M T T λλ∴==== [ D ]2.（基础训练4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最
大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大
动能为：
(A) 2 E K ． (B) 2h ν - E K ． (C) h ν - E K ． (D) h ν + E K ．
提示: 根据爱因斯坦光电效应方程：2
012
m h mv A ν=
+， 式中h ν为入射光光子能量，0A 为金属逸出功，2
12
m mv 为逸出光电子的最大初动能，即E K 。

所以有：0k h E A ν=+及'
02K h E A ν=+，两式相减即可得出答案。

[ C ]3.（基础训练5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是
(A) 1.5 eV ． (B) 3.4 eV ． (C) 10.2 eV ． (D) 13.6 eV ．
提示: 根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系：2
1
1
(1R n νλ
=
=-
最长波长的谱线，相应于2n =，至少应向基态氢原子提供的能量12E E h -=ν，又因为26.13n
eV E n -
=，所以l h E E h -=ν=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2216.1326.13eV eV =10.2 eV
[ C ]4.（基础训练6）根据玻尔的理论，氢原子在n =5轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为 (A) 5/4． (B) 5/3． (C) 5/2． (D) 5． ［ ］ 提示: 玻尔轨道角动量L n =，第一激发态2n =，52:5:2L L ∴=
[ D ]5.（自测提高2）当照射光的波长从4000 Å变到3000 Å时，对同一金属，在光电
效应实验中测得的遏止电压将： ［ ］ (普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60
×10-19 C)
(A) 减小0.56 V ． (B) 减小0.34 V ． (C) 增大0.165 V ． (D) 增大1.035 V ．
提示: 由爱因斯坦光电效应方程：2
012
m h mv A ν=
+，其中，212a m eU mv =，可得：
0a c
h eU A λ=+， 1.035a a hc U U V e λλλλ
'-'-=='
[ D ]6.（自测提高6）电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是 0.4 Å，则U 约为 (A) 150 V ． (B) 330 V ． (C) 630 V ． (D) 940 V ． ［ ］
提示:
2
12mv eU =，德布罗意波长：h h p mv λ==，2
()9422h U V me
λ∴=
= 二. 填空题
1.（基础训练12）光子波长为λ，则其能量=c
h
λ；动量的大小 =h λ；质量=
h
c λ
．
2.（基础训练13）在X 射线散射实验中，散射角为φ 1 = 45°和φ 2 =60°的散射光波长改变量之比∆λ1：∆λ2 =__0.586___．
提示: 00(1cos )h
m c
λλλϕ∆=-=-，
1212:(1cos ):(1cos )λλϕϕ∆∆=--
3. （基础训练16）在光电效应实验中，测得某金属的遏止
电压|U a |与入射光频率ν的关系曲线如图所示，由此可知该金属的红限频率ν0=14
510⨯Hz ；逸出功A =__2__eV ．
提示: 由爱因斯坦光电效应方程：2
012
m h mv A ν=+，其中，2
12a m eU mv =，可得：0a h eU A ν=+，红限频率：00A h
ν=，对应最大初动能为零，
即加速电压为零时的频率，逸出功：
34142000 6.631051033.1510 2.07A h J eV
ν--==⨯⨯⨯=⨯=
|U a | (V)ν (×1014 Hz)
-2
5
10
4. （基础训练19）在B =1.25×10-
2 T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长是___12
9.9810
m -⨯___．
提示: mv BqR = ，
12
9.9810h h h m p mv BqR
λ-====⨯ 5. （自测提高11）已知基态氢原子的能量为－13.6 eV ，当基态氢原子被 12.09 eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加到玻尔半径的___9___倍．
提示: 1n h E E ν=-2
13.6(13.6)eV n
=-
--，解得3n =，轨道半径2119n r n r r == 6. （自测提高14）氢原子基态的电离能是 __13.6__eV ．电离能为+0.544 eV 的激发态氢原子，其电子处在n =__5__ 的轨道上运动．
提示: 电离能是指电子从基态激发到自由状态所需的能量.
∴氢原子基态的电离能E =1E E -∞=2
213.613.613.61eV eV
eV ⎛⎫
-
--= ⎪∞⎝⎭
E =n E E -∞ 即 +0.544 eV=
2
6.13n
eV
三. 计算题
1. （基础训练21）波长为λ0 = 0.500 Å的X 射线被静止的自由电子所散射，若散射线的波长变为λ = 0.522 Å，试求反冲电子的动能E K ．
解: 根据能量守恒：22
00
h m c h mc νν+=+ ∴反冲电子获得动能：2
02c m mc E K -=ννh h -=0λ
λc
h
c
h
-=0
J 161068.1-⨯=
2.（自测提高20）质量为m e 的电子被电势差U 12 = 100 kV 的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长．若不用相对论计算，则相对误差是多少？(电子静止质量
m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C)
解: 考虑相对论效应，则动能2
2c m mc E e K -==12eU ，2
2
1c
u m m e -=
2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛-===c u u m h mu h p h e λ＝)
2(21212c m eU eU hc e +＝3.71m 1210-⨯
若不用相对论计算，则2
2
1
u m e =12eU ， u m h p h e ==
'λ=12
2eU m h e =3.88m 1210-⨯ 相对误差： λ
λ
λ-'＝4.6﹪
3. （自测提高21）氢原子发射一条波长为λ =4340 Å的光谱线．试问该谱线属于哪一谱线系？氢原子是从哪个能级跃迁到哪个能级辐射出该光谱线的？(里德伯常量R =1.097×107 m -1 )
解: 由里德伯公式：221
11(
)R k n
νλ
=
=-，由已知：2
2111()0.21R k n λ=-= 当2,5k n ==时，
22111
()0.2125
R λ=-=，所以该谱线属于巴尔末系。

4.（自测提高26）在氢原子中，电子从某能级跃迁到量子数为n 的能级，这时轨道半径改
变q 倍，求发射的光子的频率．
解：设始态能级量子数为 k , 则轨道半径由r k 变为r n , 且r k = qr n .
由 22
02me h k r k π=ε 2分 可得 2
2qn k = 1分
光子的频率 )1
1(22k n Rc -=ν
即 )1
1()1(2222q n
Rc k n n Rc -=-=ν 2分
5. （自测提高28）氢原子激发态的平均寿命约为10-8 s ，假设氢原子处于激发态时，电子作圆轨道运动，试求出处于量子数n =5状态的电子在它跃迁到基态之前绕核转了多少圈．( m e
= 9.11×10-31 kg ，e =1.60×10-19 C ，h =6.63×10-34 J ·s ，ε 0=8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 )
解：电子作一次圆周运动所需时间(即周期T )为
ωπ
=
2T ①
令激发态的平均寿命为 τ = 10-8
s ，故电子在τ内从激发态跃迁到基态前绕核的圈数为
T
N τ
=
②
电子作圆周运动的周期Ｔ可由下面二式求出
r m r
e 2
2
024v =πε ③ π=22h
r m ωn ④ 可求出 3
332041
2n
h n me ⋅π=εω ⑤ 由①、②、⑤可得 T N τ
=3
7
3332041054.614n
n h n me ⨯=⋅=ετ 当n = 5 N = 5.23×105。