2020年成都中考数学模拟试题(一)

2020年成都中考数学模拟试题（一）
A卷(共100分)
一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分)
1.已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3
2.如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
3.天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球与太阳之间的平均距离，即149597870700m，约为149600000km．将数149600000用科学记数法表示为（）
A．14.96×107B．1.496×107C．14.96×108D．1.496×108
4.二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
5.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）
A．60°B．65°C．75°D．80°
6.下列计算正确的是（）
A．a6+a6＝a12B．a6×a2＝a8C．a6÷a2＝a3D．（a6）2＝a8
7.分式方程1
x+2
=1的解是（）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
8.某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
人数（人）317137
时间（小时）78910
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）
A．17，8.5B．17，9C．8，9D．8，8.5
9.如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（）
A．150米B．160米C．180米D．200米
10.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中结论正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11.关于x 的方程mx 2m ﹣
1+（m ﹣1）x ﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ． 12.如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 是 米（结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
13.当直线y ＝（2﹣2k ）x +k ﹣3经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是 ．
14如图，∠MAN ＝60°，点B 为AM 上一点，以点A 为圆心、任意长为半径画弧，交AM 于点E ，交AN 于点D ．再分别以点D ，E 为圆心、大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ．作射线AF ，在AF 上取点G ，连接BG ，过点G 作GC ⊥AN ，垂足为点C ．若AG ＝6，则BG 的长最小为 .
三、解答题（本大题共6个小题，共54分)
15（12分）.(1)计算：32+（x ﹣5）0−√4+（﹣1）﹣1．(2)解不等式组：{x 2−x−13≥1x−32
＜x +2．
16.（6分）先化简，再求代数式的值：
2x x+1−2x−4
x 2−1÷x−2x 2−2x+1，其中x ＝3cos60°．
17.（8分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．80≤x ＜85，B ．85≤x ＜90，C ．90≤x ＜95，D ．95≤x ≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在C 组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级七年级八年级
平均数9292
中位数93b
众数c100
方差5250.4
根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
18.（8分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，√2≈1.41，√3≈1.73）．
19.（10分）如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y=m
x的图象的两个
交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．
20.（10分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，
①求证：OD=1
2OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接
DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
B卷(共50分)
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21.(4分)估计√33的值在．
22.(4分)已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．
23.（4分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是．
24.（4分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB 上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为．
25.（4分）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26.（8分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
27.（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．
（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM 于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN ＝AM•PE．
28.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c 过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点
E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=1
2BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一
点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年成都中考数学模拟试题（一）详细解析：
1解：﹣19+20＝1．故选：C ．
2解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：
故选：C ．
3解：将数149600000用科学记数法表示为1.496×108．故选：D ．
4解：∵y ＝（x ﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A ． 5解：∵OC ＝CD ＝DE ，∴∠O ＝∠ODC ，∠DCE ＝∠DEC ，∴∠DCE ＝∠O +∠ODC ＝2∠ODC ， ∵∠O +∠OED ＝3∠ODC ＝∠BDE ＝75°，∴∠ODC ＝25°，
∵∠CDE +∠ODC ＝180°﹣∠BDE ＝105°，∴∠CDE ＝105°﹣∠ODC ＝80°．故选：D ．
6解：A 、a 6+a 6＝2a 6，故此选项错误；B 、a 6×a 2＝a 8，故此选项正确；
C 、a 6÷a 2＝a 4，故此选项错误；
D 、（ a 6）2＝a 12，故此选项错误；故选：B ．
7解：1x+2=1，两侧同时乘以（x +2），可得x +2＝1，解得x ＝﹣1；
经检验x ＝﹣1是原方程的根；故选：B ．
8解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，∴这组数据的中位数为8+9
2=8.5；故选：D ．
9解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为20°，∴多边形的边数为360°÷20°＝18， ∴小莉一共走了：18×10＝180（米）．故选：C ．
10解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，−b 2a ＞0，∴abc ＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴−b
2a =1，
∴b ＝﹣2a ，当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b +c ＝0，∴4a +4a +c ＝0，∴8a +c ＝0，故②错误；
③∵A （x 1，m ），B （x 2，m ）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x 1+x 2＝1×2＝2，
∴当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝4a ﹣4a +c ＝c ，故③正确；
④由题意可知：M ，N 到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于3时，
在x 轴下方的抛物线上存在点P ，使得PM ⊥PN ，即4ac−b 24a ≤−3，
∵8a +c ＝0，∴c ＝﹣8a ，∵b ＝﹣2a ，∴4a⋅(−8a)−(−2a)24a ≤−3，解得：a ≥13，故④错误；
⑤易知抛物线与x 轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴y ＝ax 2+bx +c ＝a （x +2）（x ﹣4）
若方程a （x +2）（4﹣x ）＝﹣2，即方程a （x +2）（x ﹣4）＝2的两根为x 1，x 2，
则x 1、x 2为抛物线与直线y ＝2的两个交点的横坐标，
∵x 1＜x 2，∴x 1＜﹣2＜4＜x 2，故⑤错误；故选：A ．
11解：∵关于x 的方程mx 2m ﹣
1+（m ﹣1）x ﹣2＝0如果是一元一次方程， ∴当m ＝1时，方程为x ﹣2＝0，解得：x ＝2；当m ＝0时，方程为﹣x ﹣2＝0，解得：x ＝﹣2；
当2m ﹣1＝0，即m =12时，方程为12−12x ﹣2＝0，解得：x ＝﹣3，
故答案为：x ＝2或x ＝﹣2或x ＝﹣3．
12解：∵sinα=
AD AC ，∴AD ＝AC •sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5 13解：y ＝（2﹣2k ）x +k ﹣3经过第二、三、四象限，∴2﹣2k ＜0，k ﹣3＜0，∴k ＞1，k ＜3，
∴1＜k ＜3；故答案为1＜k ＜3；
14解：由作法得AG 平分∠MON ，∴∠NAG ＝∠MAG ＝30°，
∵GC ⊥AN ，∴∠ACG ＝90°，∴GC =12AG =
12×6＝3， ∵AG 平分∠MAN ，∴G 点到AM 的距离为3，∴BG ≥3．故填：3．
15解：(1)原式＝9+1﹣2﹣1＝10﹣3＝7．
(2)解：解不等式x 2−x−13≥1，得：x ≥4，解不等式x−32＜x +2，得：x ＞﹣7，则不等式组的解集为x ≥4．
16解：原式=2x x+1−2(x−2)(x+1)(x−1)•(x−1)2x−2=2x x+1−2x−2x+1
=2x+1， 当x ＝3cos60°＝3×12=32时，原式=232+1=45． 17解：（1）a ＝（1﹣20%﹣10%−310）×100＝40，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，∴b =94+942
=94； ∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，∴c ＝99；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．
（3）参加此次竞赛活动成绩优秀（x ≥90）的学生人数＝720×
1320=468人， 答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x ≥90）的学生人数是468人．
18解：∵斜坡CF 的坡度为 i ＝1：1.5．∴Rt △CFG 中，CG ＝1.5FG ＝2√3×1.5＝3√3，∴FD ＝EG ＝3√3+6． 在Rt △BCE 中，BE ＝CE •tan ∠BCE ＝6×tan60 o ＝6√3．∴AB ＝AD +DE ﹣BE ．
＝3√3+6+2√3−6√3=6−√3≈4.3 （米）．答：宣传牌的高度约为4.3米．
19解：（1）∵A （n ，﹣2），B （﹣1，4）是一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =m x 的图象的两个交点，∴4=m −1，得m ＝﹣4，∴y =−4x ，∴﹣2=−4n ，得n ＝2，∴点A （2，﹣2），
∴{2k +b =−2−k +b =4，解得{k =−2b =2，∴一函数解析式为y ＝﹣2x +2， 即反比例函数解析式为y =−4
x
，一函数解析式为y ＝﹣2x +2；
（2）设直线与y 轴的交点为C ，当x ＝0时，y ＝﹣2×0+2＝2，∴点C 的坐标是（0，2），
∵点A （2，﹣2），点B （﹣1，4），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =
12×2×2+1
2
×2×1＝3． 20解：（1）①连接OB 、OC ，则∠BOD =1
2BOC ＝∠BAC ＝60°，∴∠OBC ＝30°，∴OD =1
2OB =1
2OA ；
②∵BC 长度为定值，∴△ABC 面积的最大值，要求BC 边上的高最大，
当AD 过点O 时，AD 最大，即：AD ＝AO +OD =3
2
，
△ABC 面积的最大值=1
2×BC ×AD =1
2×2OB sin60°×3
2=3√3
4； （2）如图2，连接OC ，
设：∠OED ＝x ，则∠ABC ＝mx ，∠ACB ＝nx ，
则∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ＝180°﹣mx ﹣nx =12
∠BOC ＝∠DOC ，
∵∠AOC ＝2∠ABC ＝2mx ，∴∠AOD ＝∠COD +∠AOC ＝180°﹣mx ﹣nx +2mx ＝180°+mx ﹣nx ， ∵OE ＝OD ，∴∠AOD ＝180°﹣2x ，即：180°+mx ﹣nx ＝180°﹣2x ，化简得：m ﹣n +2＝0． 21解：∵25＜33＜36，∴√25＜√33＜√36，∴5＜√33＜6．故填5＜√33＜6 22解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣（3k +1），x 1x 2＝2k 2+1．
∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1＝8k 2， 整理，得：2k 2﹣k ﹣1＝0，解得：k 1=−12
，k 2＝1．
∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1）＞0， 解得：k ＜﹣3﹣2√3或k ＞﹣3+2√3，∴k ＝1．故答案为：1． 23解：列表如下：
黄 红 红 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
白 （黄，白） （红，白） （红，白）
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为49
，故答案为：49
．
24解：由折叠的性质可知，∠DAF ＝∠BAF ＝45°，∴AE ＝AD ＝6，∴EB ＝AB ﹣AE ＝2，
由题意得，四边形EFCB 为矩形，∴FC ＝ED ＝2，∵AB ∥FC ，∴∠GFC ＝∠A ＝45°，∴GC ＝FC ＝2，
由勾股定理得，GF =√FC 2+GC 2=2√2，则△GCF 的周长＝GC +FC +GF ＝4+2√2，故答案为：4+2√2． 25解：∵点F 是△ABC 的重心，∴BF ＝2EF ，∴BE ＝3EF ，∵FG ∥BC ，∴△EFG ∽△EBC ，
∴EF BE
=1
3
，
S 1
S △EBC
=（1
3
）2=19，∴S 1：S 2=18
；故答案为：1
8
．
26解：（1）设一次函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0）由图象可得，当x ＝30时，y ＝140；x ＝50时，y ＝100 ∴{140=30k +b 100=50k +b ，解得{k =−2b =200
∴y 与x 之间的关系式为y ＝﹣2x +200（30≤x ≤60）． （2）设该公司日获利为W 元，由题意得W ＝（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450＝﹣2（x ﹣65）2+2000 ∵a ＝﹣2＜0；∴抛物线开口向下；∵对称轴x ＝65；∴当x ＜65时，W 随着x 的增大而增大； ∵30≤x ≤60，∴x ＝60时，W 有最大值；W 最大值＝﹣2×（60﹣65）2+2000＝1950． 即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
27证明：（1）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵CM ⊥AB ，BN ⊥AC ，∴∠BMC ＝∠CNB ＝90°， 在△BMC 和△CNB 中，{∠MBC =∠NCB
∠BMC =∠CNB BC =CB ，∴△BMC ≌△CNB （AAS ）；
（2）∵△BMC ≌△CNB ，∴BM ＝NC ，∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CMB ，∴
PE
BM
=
CP CB
，
∵PF ∥AC ，∴△BFP ∽△BNC ，∴
PF
NC
=BP BC
，∴
PE
BM
+PF BM
=CP CB
+BP CB
=1，∴PE +PF ＝BM ；
（3）同（2）的方法得到，PE ﹣PF ＝BM ，
∵△BMC ≌△CNB ，∴MC ＝BN ，∵∠ANB ＝90°，∴∠MAC +∠ABN ＝90°，
∵∠OMB ＝90°，∴∠MOB +∠ABN ＝90°，∴∠MAC ＝∠MOB ，又∠AMC ＝∠OMB ＝90°，
∴△AMC ∽△OMB ，∴AM MC
=OM MB
，∴AM •MB ＝OM •MC ，∴AM ×（PE ﹣PF ）＝OM •BN ，
∴AM •PF +OM •BN ＝AM •PE ．
28解：（1）在y ＝2x +6中，当x ＝0时y ＝6，当y ＝0时x ＝﹣3，∴C （0，6）、A （﹣3，0），
∵抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过A 、C 两点，∴{−18−3b +c =0c =6，解得{b =−4
c =6，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +6；
（2）令﹣2x 2﹣4x +6＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1，∴B （1，0），∵点E 的横坐标为t ，∴E （t ，﹣2t 2﹣4t +6）， 如图，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，则EH ∥FG ，
∵EF =1
2BF ，∴
BF BE
=
BG BH
=
FG EH
=2
3
，∵BH ＝1﹣t ，∴BG =23BH =23−2
3t ，∴点F 的横坐标为13
+2
3
t ，
∴F （1
3+2
3t ，20
3+4
3t ），∴﹣2t 2
﹣4t +6=32（203+4
3
t ），∴t 2+3t +2＝0，解得t 1＝﹣2，t 2＝﹣1，
当t ＝﹣2时，﹣2t 2﹣4t +6＝6，当t ＝﹣1时，﹣2t 2﹣4t +6＝8，
∴E 1（﹣2，6），E 2（﹣1，8），当点E 的坐标为（﹣2，6）时，在Rt △EBH 中，EH ＝6，BH ＝3， ∴BE =√EH 2+BH 2=√62+32=3√5，∴sin ∠EBA =
EH BE =3√5=2√5
5
； 同理，当点E 的坐标为（﹣1，8）时，sin ∠EBA =
EH BE =4√17
17，∴sin ∠EBA 的值为2√55或4√1717
； （3）∵点N 在对称轴上，∴x N =
−3+1
2
=−1， ①当EB 为平行四边形的边时，分两种情况： （Ⅰ）点M 在对称轴右侧时，BN 为对角线，
∵E （﹣2，6），x N ＝﹣1，﹣1﹣（﹣2）＝1，B （1，0），∴x M ＝1+1＝2，
当x＝2时，y＝﹣2×22﹣4×2+6＝﹣10，∴M（2，﹣10）；
（Ⅰ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵x N＝﹣1，B（1，0），1﹣（﹣1）＝2，E（﹣2，6），∴x M＝﹣2﹣2＝﹣4，当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）2﹣4×（﹣4）+6＝﹣10，∴M（﹣4，﹣10）；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵B（1，0），E（﹣2，6），x N＝﹣1，∴1+（﹣2）＝﹣1+x M，∴x M＝0，当x＝0时，y＝6，∴M（0，6）；
综上所述，M的坐标为（2，﹣10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．。