初中数学《解直角三角形》单元教学设计以及思维导图
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计3
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计3一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.1节《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容之一，主要让学生了解直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数来解直角三角形。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质的基础上进行学习的，是进一步培养学生解决实际问题能力的关键环节。
教材通过丰富的实例和练习，引导学生探索直角三角形的性质和解题方法，从而提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数有一定的了解。
但是，对于如何灵活运用锐角三角函数来解直角三角形，以及如何将实际问题与数学知识相结合，仍需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行有针对性的教学，引导他们主动探索和思考，提高他们的数学应用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握直角三角形的性质，理解并熟练运用锐角三角函数来解直角三角形。
2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.通过对本节内容的学习，培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数来解直角三角形。
2.难点：如何引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生进入学习情境，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生主动探索和思考，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
4.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对直角三角形性质的理解，提高学生的动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学，提高学生的学习兴趣。
2.实例材料：准备相关的实际问题，引导学生将数学知识应用于解决实际问题。
基于核心概念的大单元整体教学设计初中数学九上《解直角三角形》
基于核心概念的大单元整体教学设计
初中数学九上《解直角三角形》
国家课程改革是学校教育教学活动不断优化升级的风向标。近日国家教育部出台了2022版义务教育课程方案和标准，明确指向核心素养导向，提出推进综合学习，探索大单元教学，强调要整合课程内容，基于核心概念进行进阶设计，落实核心素养的培养。
课程内容
2011版课标 十个核心词
数感符号意识空间观念几何直观数据分析观念运算能力推理能力模型思想应用意识创新意识
数感（小）、量感（小）符号意识（小）、抽象能力（初）空间观念（小初）几何直观（小初）数据意识（小）、数据观念（初）运算能力（小初）推理意识（小）、推理能力（初）模型意识（小）、模型观念（初）应用意识（小初）创新意识（小初）
单元评价——表现性评价
纸笔测试
评价标准
单元达标测试 见附件
满分150分A+:130及以上A：100-129分B：80-99分C: 80以下
六、单元任务分解
单元任务分解
单元任务分解
课时
课题课型
学习目标
任务与活动（教学评活动）
1
单元起始课
1.通过实际问题，能说出解直角三角形的作用。2.通过单元脉络梳理，明确本单元学习目标。
自主学习任务单——导入语
在知道直角三角形两个条件（有一个是边）的时候，我们就可以求出其他的边角。可是三角形中直角三角形只是一种特殊情况，对于非直角三角形我们有没有类似的方法求解呢？非直角三角形可以转化到直角三角形吗？试一试吧！
自主学习任务单——自主学习指导
任务一 解直角三角形模型构建活动1 转化条件，构造直角三角形 活动2 例题学习 活动3 巩固练习活动4 总结模型任务二 用锐角三角比解直角三角形活动1 用锐角三角比解直角三角形 活动2 用锐角三角比解非直角三角形
沪科版九年级数学上册第23章《解直角三角形》教学设计
沪科版九年级数学上册第23章《解直角三角形》教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版九年级数学上册第23章的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。
本章内容在初中数学中占有重要地位，是为后续学习平面几何和高中的三角学做铺垫。
通过本章的学习，学生能够掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的性质和运算有一定的了解。
但是，对于解直角三角形的理解和应用，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和辅导。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和三角函数的定义。
2.学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的理解和应用。
2.三角函数的定义和应用。
3.解决实际问题时的计算和推理。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和解决问题。
2.使用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质和应用。
3.注重实践操作，让学生通过动手操作和实际计算，加深对知识的理解。
4.采用分组合作和讨论的方式，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直角三角形的模型或图片。
3.练习题和实际问题案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直角三角形的图片，引导学生回顾已学的平面几何知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）介绍直角三角形的性质，引导学生学习勾股定理和三角函数的定义。
通过示例和讲解，让学生理解并掌握这些知识。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用直角三角形的模型或图片，进行实际操作，验证勾股定理和三角函数的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括简单的基本计算、应用题等。
教师选取部分题目进行讲解和分析，帮助学生巩固所学知识。
《解直角三角形》教学设计
《解直角三角形》教学设计(续表)图28－2－5 教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知和的正弦来求∠A的(续表)(续表)【学习目标】 1．知识技能(1)掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(2) 理解解一个直角三角形的前提条件． 2．解决问题通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．数学思考 让学生思考：为什么一个直角三角形可以解的前提条件是必须有两个元素(其中一个必须为边)．从而让学生理解画一个直角三角形的条件．4．情感态度(1) 通过给定具体的两个条件(其中一个为边)，让学生们画直角三角形，培养学生合作交流的意识和探索精神．(2)通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯． 【学习重难点】重点：直角三角形的解法．难点： (1)三角函数在解直角三角形中的灵活运用．(2)学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．课前延伸【知识梳理】(1) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝4，则b ＝． (2) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝28°，那么∠B ＝__62°__．(3) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝5，则sin A ＝41，cos A ＝41，tan A ＝__45__(4) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝30°，a ＝6，则c ＝__12__，b ＝． (5) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知c ＝6, ∠A ＝50°，则a ＝__6_sin50°__． (6) 意大利披萨斜塔在建成的时候就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1米，1972年披萨地区发生地震，这座高54.5米的斜塔在大幅摇摆后依然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2米，请你算出这时塔身中心线与垂直中心线的夹角．课内探究一、 课堂探究1(问题探究，自主学习)(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝28, ∠B ＝60°，解这个直角三角形． (2)在Rt △ACB 中，c ＝90°，a ＝30, ∠B ＝80°， 解这个直角三角形． (3)在Rt △ABC 中，c ＝90°，a ＝3，b ＝3, 解这个直角三角形．二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)(1) 画一个直角三角形，使两条直角边分别为3和4.(2) 画一个直角三角形，使一条直角边为3，一个锐角为35°.(3) 画一个直角三角形，使斜边长为8，一个锐角为40°.(4) 画一个直角三角形，使两个锐角分别为30°和60°.各小组比较由(1)(2)(3)(4)画出的直角三角形．讨论1：你觉得给出什么样的条件可以画出一个确定的三角形．讨论2：你觉得确定一个直角三角形需要的元素有什么条件？三、反馈训练1．必做题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b＝20, ∠B＝35°，解这个直角三角形(结果保留小数)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10 3，b＝20, 解这个直角三角形．2．选做题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15, ∠A的平分线AD＝10 3，解这个直角三角形．课后提升1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．2. 已知在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝6，求BC长．3. 如图，在两面墙之间有一个底端在点A的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点B处；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点D处．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3 2 m．求点B到地面的垂直距离BC.图28－2－9。
九年级数学上册《解直角三角形的知识结构》教案、教学设计
5.学生在学习过程中，可能会出现对勾股定理、特殊角的三角函数值等基础知识遗忘的情况，教师需及时提醒和辅导，确保学生能够顺利掌握本章节知识。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
3.利用多媒体、教具等教学资源，直观演示解直角三角形的过程，帮助学生形象地理解三角函数的概念。
4.设计具有梯度的问题，引导学生由浅入深地掌握知识，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5.通过课堂练习、课后作业等形式，巩固所学知识，并及时发现、纠正学生的错误。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生积极主动地学习数学，树立信心，克服困难，勇于探究的精神。
1.重点：理解并掌握解直角三角形的原理和方法，包括正弦、余弦、正切的定义和应用；能够运用勾股定理解决相关问题；特殊角的三角函数值的应用。
难点：将理论知识应用于实际问题的解决，以及在不同情境下灵活运用三角函数。
2.重点：培养学生主动探究、合作交流的能力，形成解决问题的策略。
难点：如何引导学生克服对数学的恐惧心理，树立信心，勇于面对挑战。
九年级数学上册《解直角三角形的知识结构》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握解直角三角形的原理和方法，包括正弦、余弦、正切的定义和应用。
2.能够运用三角函数解决实际问题，如测量物体的高度、距离等。
3.掌握特殊角的三角函数值，并能熟练运用。
4.理解勾股定理在解直角三角形中的应用，能够运用勾股定理解决相关问题。
2.培养学生合作交流的意识，学会倾听、尊重他人的意见，共同解决问题。
3.培养学生将数学知识应用于实际生活的能力，感受数学在生活中的重要作用。
初中数学《解直角三角形》单元教学设计以及思维导图11
初中数学《解直角三角形》单元教学设计以及思维导图11 解直角三角形主题单元设计适用年初四级所需时课内8课时，课外2课时间主题单元学习概述(说明:简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要学习方式和预期的学习成果，字数300-500。
) 本章内容是解决解直角三角形的基础，其中前两小节，又是本章的基础。
专题一，主要介绍了三类锐角三角函数的概念，明确了角度与数值之间的函数关系，为今后的正确学习本章知识打下基础;专题二，主要讲了三种特殊角的三角函数值，让学生熟记三类函数值，为今后的有关三角函数的计算题目做好准备;专题三，主要介绍了解直角三角形的几种类型，让学生熟练掌握;专题四，主要介绍了应用解直角三角形的知识要解决的几类实际生活中的问题。
通过对这部分知识的了解、应用，让学生能学以致用。
用所学知识解决简单的生产和生活中的实际问题，提高他们的学习兴趣，进一步激发他们的求知欲。
专题五，介绍了测量旗杆的高度的几种方法。
重点:经历把实际问题转化为数学问题的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
难点:体验数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
主题单元规划思维导图主题单元学习目标(说明:依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标)知识与技能:1、能够用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切、正弦、余弦进行简单的计算.2、理解正切、正弦、余弦、倾斜程度、坡度的数学的意义和与现实生活的联系. 理解锐角三角函数的意义3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.能够进行30?、45?、60?角的三角函数值的计算.能够根据30?、45?、60?的三角函数值说明相应的锐角的大小.5、会解直角三角形(要求熟练准确)，能将一般三角形转化为直角三角形(适当加高)6、学会将坝高问题、触礁问题转化为解直角三角形的问题，能通过解直角三角形解决实际生活问题。
初中数学初三数学上册《解直角三角形》教案、教学设计
4.请家长协助监督，确保学生按时完成作业，养成良好的学习习惯。
6.差异化教学，关注个体：针对学生的个体差异，设计不同难度的练习题，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
7.课堂小结，巩固知识：在每个知识点讲解结束后，进行课堂小结，帮助学生梳理所学知识，巩固记忆。
8.作业布置，拓展提高：布置适量的课后作业，包括基础知识和拓展提高题目。让学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
（二）讲授新知
1.首先，我会带领学生回顾直角三角形的基本概念，如直角三角形的定义、特点以及勾股定理等。
2.接着，引入锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，通过具体的例子让学生理解它们在直角三角形中的应用。
3.讲解锐角三角函数的表示方法，以及如何运用这些函数求解直角三角形中的边长和角度。
4.结合实际例题，演示如何使用勾股定理和锐角三角函数解决实际问题，使学生明白数学知识在实际生活中的价值。
3.小组合作，共同探究：组织学生进行小组讨论和合作，共同解决实际问题。在这个过程中，学生可以相互交流、相互学习，提高解决问题的能力。
4.拓展思维，提高能力：在教学过程中，设置一定的拓展性问题，引导学生进行思考。通过拓展性问题，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
5.紧扣教材，注重实践：紧密围绕教材内容，结合生活实际，设计具有针对性的练习题。让学生在实践中掌握知识，提高解题能力。
4.解直角三角形：通过例题，讲解如何运用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形。
5.实际应用：让学生分组讨论，解决实际问题，巩固所学知识。
6.总结与拓展：总结解直角三角形的步骤和方法，引导学生进行拓展思考。
7.课后作业：布置适量的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》教案3
浙教版数学九年级下册《1.3 解直角三角形》教案3一. 教材分析《1.3 解直角三角形》是浙教版数学九年级下册的教学内容。
本节内容是在学生已经掌握了三角形的性质、勾股定理等知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用三角函数解决实际问题，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形的性质、勾股定理等概念有一定的了解。
但是，解直角三角形的方法和应用可能对学生来说较为抽象，需要通过实例和操作来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和操作，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
六. 教学准备1.教具准备：直角三角形模型、三角板、多媒体课件等。
2.学具准备：学生每人准备一个直角三角形模型。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示直角三角形的模型，引导学生回顾三角形的性质和勾股定理。
然后提出问题：“如何判断一个三角形是否为直角三角形？如何求解直角三角形的边长和角度？”激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示直角三角形的定义和性质，引导学生掌握直角三角形的特征。
然后讲解勾股定理的推导过程，使学生理解勾股定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关直角三角形的问题，让学生分组讨论和操作。
例如：“已知直角三角形的两个直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长和两个锐角的大小。
”学生通过实际操作和合作交流，解决问题。
初中数学《解直角三角形》单元教学设计以及思维导图
解直角三角形
适用年级九年级
所需时间4课时
主题单元学习概述
本主题的教学活动是以测楼高为专题，在专题目标的驱动下，引导学生学习相关的知识：如何解直角三角形，同时让学生探究在直角三角形中，满足什么条件的直角三角形可以求解的分析过程，从而解决要测量楼高需要测量哪些数据？需要什么工具？最后带领学生实地进行测量，共同探讨怎样测量的问题，最后达到解决即会测、怎么测、怎么计算等问题。
学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。
主题单元规划思维导图
主题单元学习目标
知识技能：
1、理解直角三角形中各元素之间的关系；
2、会运用勾股定理直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直接三。
初中数学_解直角三角形教学设计学情分析教材分析课后反思
六．教学设计课题解直角三角形课时 1教学目标:1.了解解直角三角形的概念并能由已知条件解直角三角形及实际问题。
2.通过对全章知识的回顾引出一些解直角三角形的问题再由学生自己发现解直角三角形一般具备的三种已知条件得情况并由此掌握解直角三角形的含义和方法教学重点与.难点直角三角形的解法.教学方法一、本章知识结构图直角三角形中的边角关系____ 锐角三角函数________解直角三角形________实际问题二、回顾与思考1.（1）锐角三角形函数是如何定义的？（2）直角三角形的边角关系包括哪些内容？2. 总结直角三角形的边角关系，完成下面的表格教学内容师生行为设计意图一、复习引入教师提出问题，引起学生思考，然后有学生来回答回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系以及锐角三角函数的有关知识二、回顾汇总教师根据学生的回答归纳教师提出问题，引导提示学生思考总结回顾复习汇总，为解直角三角形打下基础三、典型例题例1在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB ?教师：1、就学生分析简要讲评。
2、有学生板书出过程，强调做题规范性然后出示解题过程,让学生自己批改,可以发现自己的不足五．学情分析通过以前的数学学习，大多数学生已能用数学思想来思考问题，能与教师或同学一起来分析问题。
但由于各种因素的影响，学生发展参差不齐。
部分学生对学过的知识点掌握不牢固，做题没有把握，讲不出原因。
八．效果分析1. 学生在数学课堂上不积极参与，缺少主动发言的热情或根本不愿意发言;另外，相当一部分学生在听课时跟不上老师的节奏。
2. 学生对数学课堂知识的理解不全面，课外花的冤枉时间多。
大部分学生对书本知识不够重视，找不到数学学科复习的有效载体，不能有效的利用课本，适时地回归课本。
3．学生缺少教师明确的指导，在复习时缺乏系统安排和科学计划，或者学习和复习没有个性化特点, 导致学习效果不明显。
初中数学《解直角三角形》单元教学设计以及思维导图
《解直角三角形》单元教学设计本单元内容包括:“探索直角三角形的边角关系”、“特殊角三角函数值”、“锐角三角函数的应用举例”三个方面。
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系之一，它是联系几何与代数的桥梁,在解决现实问题中有着重要的作用。
“三角形”“勾股定理”“相似三角形”单元已经让学生了解了直角三角形的概念，知道了直角三角形角与角，边与边的之间关系，掌握了三角形的相似;推理证明等知识，为本单元的学习打下了一定的基础。
因此，本单元的内容是对直角三角形的边与角之间关系的进一步探究和应用，是相似的延续和升华.另外，也为高中阶段继续研究三角函数的知识奠定了基础，因此，它又是沟通初中数学和高中数学的一条通道;就中观层面分析，本单元的内容是直角三角形知识的重点部分之一，也是解决数学问题和利用数学知识解决实际问题的有效工具。
本章的学习，重点是熟练地运用三角函数解直角三角形。
难点把实际问题抽象为数学问题，建立合适的数学模型，探索解决问题的有效方法。
同时逐步渗透“数形结合” 的思想。
在本主题单元中，我设计成三个专题来组织学习活动。
专题一:锐角三角函数的定义，通过研究梯子的倾斜程度，理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)概念。
专题二:特殊角三角函数值及解直角三角形，专题三:锐角三角函数应用。
通过选取生活中的题材，如《测量物体的高度》，让学生进一步体会三角函数的应用。
主题单元学习目标知识与技能:1、使学生会运用锐角三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2.通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值;或由已知三角函数值求出它对应的锐角。
过程与方法:1.经历探索直角三角形边角间关系的过程，发展观察、分析、发现问题的能力，体会数形结合的思想。
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
情感态度与价值观:1.让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。
初中数学《解直角三角形》单元教学设计以及思维导图4
（4）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。 过程与方法：（1）经历探索直角三角形中边角之间关系的过程；经历探索 30º，45º，60º角的三角函数值的过程。
（2）体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题。 情感态度与价值观：（1）发展学生观察、分析、发现问题的能力；（2）培养学生独立思考及互相合作的习惯。
（2 课时）
专题二：用计算器求锐角三角函数
（2 课时）
专题三： 解直角三角形及其应用
（8 课时）
„„„„
其中，专题三中测量物体的高度作为研究性学 2 课时
专题学习目标
（1）理解正切、正弦、余弦的意义并能举例进行说明； （2）能够运用 tanA ,sinA ,cosA 表示直角三角形中两边的比； （3）能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。
62
25
∴BC＝ .
6
25 ∴cosB＝ BC 6 25 5 ,
AB 65 65 13 6
sinA＝ BC 5 AB 13
可以得出同例 1 一样的结论. ∵∠A+∠B=90°，
∴sinA：cosB=cos(90-A)，即 sinA＝cos(90°-A)； cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即 cosA＝sin(90°-A).
12
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA＝ ，AC＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB、sinA 呢?你还能得出类似例 1 的
13
结论吗?请用一般式表达.
分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透 sin(90°-A)＝cosA，cos
(90°-A)=sinA.
12
初中数学初三数学下册《解直角三角形》教案、教学设计
为了巩固学生对解直角三角形知识的掌握，培养他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第十章第一节后的练习题，包括勾股定理的应用、特殊角的三角函数值计算等，共10题。
目的：通过基础练习，使学生熟练掌握解直角三角形的基本知识和方法。
2.提高拓展题：选取2-3道与实际生活相关的例题，如测量物体的高度、计算斜边的长度等，要求学生运用所学知识解决。
2.分层次教学：针对学生的个体差异，设计不同难度的例题和练习，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
3.突破难点：
a.利用教具、多媒体等辅助手段，直观展示直角三角形的性质和勾股定理的证明过程，帮助学生理解记忆。
b.通过实例讲解和练习，让学生掌握三角函数的定义、性质和特殊角的函数值，提高解题能力。
c.引导学生挖掘题目中的隐含条件，培养学生的问题分析能力。
1.学生已经熟悉勾股定理，并能运用其解决一些简单问题，但对于勾股定理在直角三角形中的应用还不够熟练，需要进一步巩固和拓展。
2.学生对三角函数的概念和性质有所了解，但部分学生对三角函数在实际问题中的应用感到困惑，需要通过具体实例进行讲解和引导。
3.学生在解决实际问题时，往往缺乏将数学知识应用到具体情境中的能力，需要教师在教学中注重培养他们的应用意识和实践能力。
4.熟练掌握特殊角的三角函数值，提高解题效率。
5.学会运用解直角三角形的方法解决实际问题，如测量距离、高度等。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下过程与方法：
1.创设情境，引导学生发现直角三角形在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在探究中掌握解直角三角形的方法。
2.难点பைடு நூலகம்三角函数在实际问题中的灵活运用；解直角三角形时涉及到的隐含条件的挖掘和运用；将实际问题转化为数学模型的能力。
28.2.1解直角三角形(教案)
今天我们在课堂上学习了“解直角三角形”这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，关于导入新课的部分，我发现通过提出与生活相关的问题，学生的兴趣和好奇心确实被激发出来了。他们能够主动参与到课堂讨论中，这为后续的学习奠定了良好的基础。在以后的教学中，我还需要多关注学生的生活经验，将更多实际案例融入教学，以提高他们的学习积极性。
-理解并熟练运用正弦、余弦、正切函数解直角三角形。
-能够将解直角三角形的方法应用于解决实际问题。
具体细节：
-识别直角三角形，并记忆直角三角形的三个内角和为180°，其中一个角为90°。
-掌握正弦、余弦、正切函数的定义，例如sinA =对边/斜边，cosA =邻边/斜边，tanA =对边/邻边。
-通过具体例题，如给定一直角三角形的一条直角边和斜边，求解另一条直角边或角度。
-应用直角三角形的性质和三角函数解决实际问题，如测量距离、高度等。
2.教学难点
-理解和记忆特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值。
-在实际问题中识别和应用直角三角形的解法。
-理解并运用三角函数的殊角的三角函数值，如sin30°=1/2，cos60°=1/2，sin60°=√3/2，cos30°=√3/2，tan45°=1。
-掌握30°、45°、60°特殊角的三角函数值；
-运用三角函数求解直角三角形中未知角度；
-通过实际案例分析，培养学生的实际应用能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过解直角三角形的探究过程，引导学生运用已知的三角函数知识进行逻辑推理，提高学生分析问题和解决问题的能力。
28.2.1解直角三角形（教案）
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用教案新版华东师
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用教案新版华东师大版12第1课时 解直角三角形及其简单应用1．理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素；(重点)2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用．(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝ac，即c ＝acos B＝3632＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123；(2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝ab ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．【类型二】 构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BMtan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210.方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．探究点二：解直角三角形的简单应用 【类型一】 求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB AC，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB AD，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.答：AB 的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．【类型二】 求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，∴四边形BFDG 是矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12＝10cm.在Rt △ABG 中，∵∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153cm ，∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法；2．解直角三角形的简单应用.本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.。
28.2解直角三角形(教案)-九年级下学期数学教材解读(人教版)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量高度或距离的情况？”（如测量房顶的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
-例如：已知直角三角形的一个锐角的正弦和余弦值，求该角的正切值。
-将实际问题抽象为解直角三角形的数学模型。
-学生在将实际问题转化为数学模型时，往往难以确定直角三角形的相关边长和角度，需要通过案例分析，引导学生抓住问题的关键。
-例如：在房屋建设中，如何根据屋顶的斜率和底边长度计算屋顶的高度。
-正确使用计算器求解三角函数值。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，在新课讲授环节，我发现通过案例分析的方式能够让学生更直观地理解锐角三角函数在实际中的应用。但在讲解难点内容时，感觉学生们对三角函数间的关系理解不够深入。这可能是因为我在讲解时，没有充分运用图示和实际操作，让学生更直观地感受这些关系。在今后的教学中，我会注意运用更多直观的教学手段，帮助学生突破难点。
-正弦、余弦、正切函数值的计算。
2.学会使用计算器求解直角三角形，并能解决一些与直角三角形有关的实际问题。
-使用计算器进行正弦、余弦、正切函数值的查询；
初中数学《全等三角形》主题单元设计以及思维导图
初中数学《三角形》主题单元教学设计以及思维导图主题单元规划思维导图主题单元标题三角形适用年级七年级所需时间6时主题单元学习概述根据整套教科书的设计，本章在直观操作的基础上，将几何直观与简单推理相结合，更多地注重学生推理意识的树立和对推理过程的理解，注重学生用自己的方式有条理地表达推理过程，这是第三学段“图形与几何”内容中发展推理和论证能力的第一阶段。
1、三角形是最简单的多边形，它不仅是研究多边形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。
而研究三角形全等又是其中重要的部分。
，对于进一步积累数学活动经验、发展空间观念、几何直观和推理能力的培养，都有重要的价值。
2、《三角形全等》的整体单元设计有下面四部分组成：即三角形全等定义及其性质、尺规作图、三角形全等的判别方法、三角形全等的应用。
3、学习重点：三角形全等的判别方法学习难点：根据条件选择正确的判定方法进行全等的判定4、四个专题之间的关系：一个问题的研究的三个步骤无非是：是什么（概念性质）-为什么？（判定）-怎么用（应用）。
全等三角形的四个专题也存在这样的逻辑关系。
即了解三角形全等的定义，进而探究两个三角形全等的判定条件，最后运用三角形全等解决一类测距离的问题。
要说明的是余下的尺规作图专题的设计和与其他价格专题的关系。
将其放在判定之前，是因为基于学生的已有知识，要探究判定条件，只有根据定义，也就是完全重合的两个三角形全等。
所以将这一专题提前，学生通过尺规作三角形，然后进行拼比重合，进而探究说明三角形全等。
5、主要学习方式：通过测量、拼图的活动，提供学生观察、操作、交流的平台，给学生充分实践和探索的空间，注重几何直观和推理能力，注重学生分析问题能力和有条理表达6、预期的学习效果。
掌握全等三角形的性质。
会利用基本作图做三角形。
会运用（SSS、ASA、AAS、SAS）判定两个三角形全等。
主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1．了解图形全等，全等三角形的概念。
苏科版数学九年级下册7.5《解直角三角形》教学设计
苏科版数学九年级下册7.5《解直角三角形》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.5《解直角三角形》是直角三角形相关知识的学习，这部分内容在初中数学中占有重要地位。
通过本节课的学习，学生将掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，从而为后续学习立体几何和物理学打下基础。
本节课内容分为两个部分：一是直角三角形的性质；二是解直角三角形的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数、平行线、相似三角形等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，对于直角三角形的性质和解直角三角形的方法容易混淆，因此在教学中需要强调直角三角形的特殊性质，以及解直角三角形的具体步骤。
三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
2.学会使用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
2.教学难点：解直角三角形的具体步骤和方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、讨论，发现直角三角形的性质和解直角三角形的方法。
2.使用多媒体课件，展示直角三角形的图形，增强学生的空间想象能力。
3.学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4.通过典型例题，讲解解直角三角形的步骤，让学生在实践中掌握方法。
六. 教学准备1.多媒体课件：制作直角三角形的相关图形和典型例题。
2.教学素材：提供一些关于直角三角形的习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、直尺、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示直角三角形的图形，引导学生回顾直角三角形的定义和性质。
提问：你们知道直角三角形有哪些特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）展示直角三角形的性质，引导学生观察、思考，发现直角三角形的性质。
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初中数学《解直角三角形》单元教学设计以及思维导图解直角三角形
适用年级九年级
所需时间 4课时
主题单元学习概述
本主题的教学活动是以测楼高为专题，在专题目标的驱动下，引导学生学习相关的知识: 如何解直角三角形，同时让学生探究在直角三角形中，满足什么条件的直角三角形可以求解的分析过程，从而解决要测量楼高需要测量哪些数据,需要什么工具,最后带领学生实地进行测量，共同探讨怎样测量的问题，最后达到解决即会测、怎么测、怎么计算等问题。
学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。
主题单元规划思维导图
主题单元学习目标
知识技能:
1、理解直角三角形中各元素之间的关系;
2、会运用勾股定理直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直接三
角形;
3、会用数形结合思想解决实际问题，培养学生的数形结合思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。
过程与方法:
1、经历综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直接三角形的过程，
2、培养动手能力、观察能力及信息技术应用能力;
3、经历探索并会解直角三角形的过程，体会并掌握转化、数形结合等数学思想方法(
情感态度与价值观:
1(通过解直角三角形的学习，体会数学在生活中的应用的广泛性. 2(通过设计测量等活动，欣赏数学之美，培养审美意识( 3(通过运用几何语言进行有条理的表达，体会解直角三角形知识的应用价值。
4(通过小组合作学习，培养主动参与、勇于探究的精神. 5(通过师生共同活动，在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
对应课标
1(理解解直角三角形及其勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数等概念，了解解直角三角形的意义。
2(探索解直角三角形过程。
掌握它的应用。
3(理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与边的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。
1. 解直角三角形有哪些元素,
2. 勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函
数概念,
主题单元问题3. 怎样把斜三角形转化为直角三角形, 设计 4. 怎样把实际问题转化成解直角三角形问题,
5. 学习了解直角三角形的相关概念及解法，如何应
用,
专题1:解直角三角形及有关的定义专题划分专题2:探究把实际问题转化成解三角形
专题一解直角三角形及有关的定义
所需课时 1课时
专题一概述
本专题是解直角三角形这一主题的起始专题，进一步学习整个主题的基础。
本专题的内容包括解直角三角形及相关的概念，解直角三角形至少有一个元素是边等基础知识(
本专题的重点是解直角三角形的相关概念，难点是解直角三角形( 本专题的主要学习活动包括在学生已有知识和经验的基础上，在老师指导下系统准确地提炼出解直角三角形的定义;理解并掌握解直角三角形等概念。
(
学生的主要学习成果包括:理解并掌握解直角三角形的定义及相关概念，会借助工具(纸、笔、三角尺、量角器等)画出直角三角形( 专题学习目标知识技能:
(
会画出直角三角形(
了解解直角三角形的有关概念。
过程与方法:
经历解直角三角形的过程，培养动手能力、观察能力及信息技术应用能力
情感态度与价值观:
通过对解直角三角形，培养言必有据的思维品格(
1(怎样给解直角三角形下定义,
2. 解直角三角形要用到哪些数学知识, 专题问题设计
所需教学材料和资源
信息化资源几何画板课件
常规资源作图工具(直尺，三角尺，量角器等) 教学支撑环境学生在多媒体教室，几何画板软件其他硬纸片等
学习活动设计
第一课时解直角三角形
活动1:说说勾股定理的定义、锐角三角函数的定义、两锐角互余直角三角形定义。
生活中哪里有解直角三角形,
说说你对解直角三角形的认识(
通过说一说的活动，既可让学生梳理自己的经验和认识，也可受到他人的启发(
此处重在让学生开口、唤起参与愿望，激发兴趣，没有标准答案(
活动2:尝试给解直接三角形三角形下定义
【活动步骤】
解直角三角形的定义;
(1)每个学生思考什么是解直角三角形; (2)小组合作，组内交流各自的想法;
(3)教师组织班内交流，明确定义:
活动3:我来解直角三角形
【活动步骤】
1(说一说解直角三角形需要哪些元素; 2(思考:怎样解可保证不重不漏, 3(尝试:我解直角三角形
4(小组交流
5(班内交流
【技术应用】演示解直角三角形的过程(
第二课时:解直角三角形的实际应用
活动1:认识解直角三角形的应用【活动步骤】
1(解直角三角形要用到三角形的勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数，说一说。
2(按课本上的例3给出解法(
3(思考:怎样转化为直角三角,
5(班内交流:解直角三角形方法。
(
【技术应用】学生尝试用几何画板画出一个直角三角，检验所解的直角三角形是否正确(
活动2:认识仰角、俯角
【活动步骤】
1(自学仰角、俯角的定义(
2(画仰角、俯角(
活动3:解直角三角形实际应用
【活动步骤】
1(提出问题:如何把例3中的三角形转化为直角三角形, 2(组内交流探究方法( 3(学生尝试(
4(班内交流
5(阅读与思考:课本88页“例3”
【技术应用】学生总结规律
第三课时
以学校小组或兴趣小组为单位活动
活动1:解直角三角形的实际应用
【活动步骤】
1(提出问题:自学方位角的定义(
2(学生尝试(
【技术应用】借助几何画板进行探究;或:借助方格纸进行探究(
活动2:分割三角形
【活动步骤】
1(提出问题:把三角形转化为直角三角形:小组交流( 3(整理自己的想法和做法，用合适的解法完成例5 【技术应用】借助几何画板进行探究( 1(能否用严格的数学语言描述解直角三角形、仰角、评价要点俯角的概念( 2(能否借助工具将三角形转化为直角三角形(。