圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
高考数学圆锥曲线解题十招全归纳
C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 2a 2 2,
焦距 2c=2. a 2, c 1, b2 1. ∴曲线 E 的方程为 x 2 y 2 1. 2
（2）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为 y kx 2, 代入椭圆方程 x 2 y 2 1, 2
a2
4
（II）设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，直线 A1M 的斜率为 k1 ,则直线 A1M 的方程为 y k1(x 2) ，由
y k1(x x2 4y2
2) 4
消
y
整理得
(1
4k12
)
x2
16k2
x
16k12
4
0
2和x1
是方程的两个根，
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。
设直线 l : y k(x 1) ， k 0 ， A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) 。
由
y k(x
y
2
x
1)
消
y
整理，得
k 2 x2
(2k 2
1)x
k2
0
①
由直线和抛物线交于两点，得 (2k 2 1)2 4k 4 4k 2 1 0
3即
xP
9k 2 18k 3 3(1 3k 2)
同理可得：
xQ
9k 2 18k 3 3(1 3k 2)
yP yQ kxP
3(1 k ) kxQ
3(1 k ) ＝ k(xP xQ ) 2 3k ＝
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线是高中数学必考考点，13种常见大题题型及解题模板总结
圆锥曲线是高中数学必考考点，13种常见大题题型及解题模板
总结
圆锥曲线历来都是高中数学必考的大考点！大部分要冲刺高分的学生都会再圆锥曲线丢分！其实圆锥曲线再怎么变形题目，都少不了基础的巩固和突破！
其中最需要巩固就算基础性质的总结！能够吃透好课本上每一个圆锥曲线的基础知识点，能灵活运用起来就能够很快掌握相关题型的考点考法，从而进行轻松解题！
而题型的总结是圆锥曲线最快的提升的方法，特别是这13种典型的圆锥曲线常见大题考法的题型！对其中的大题的考题的得分规律和解题的思维一定要多吃透一下，能够举一反三下来，就基本上突破好圆锥曲线了！
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高中数学圆锥曲线解答题解法圆锥曲线解答题中的十一题型几乎全面版
高中数学圆锥曲线解答题解法题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）题型二：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆Q 为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
221212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -=+g 212k d k+= 22223141122k k k k k -+∴+=g 解得3913k =±满足②式此时053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值， 于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±． （2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
圆锥曲线大题题型归纳
圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等；2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +264y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1 PF 2=60°，则△F 1 PF 2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1、 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。
例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(1,2，离心率为2，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当0AP AQ •=u u u r u u u r时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。
在高考中，经常出现各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。
本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。
常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。
同学们需要掌握二次型的知识，使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。
其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；2. 求曲线方程通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。
此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。
例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向，进而确定方程。
（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。
例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准式求解方程。
3. 定位点通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。
此类问题有多种方法，例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。
4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。
需要掌握各种定理的证明方法，例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。
5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。
需要灵活运用面积公式、积分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。
解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提，可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。
要注意选择坐标系的方向和起点，以便于计算和简化计算公式。
2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件，同学们需要认真理解并灵活运用。
常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。
解析几何圆锥曲线的经典题型
解析几何圆锥曲线的经典题型
解析几何中的圆锥曲线是高考数学中的重点和难点之一。
以下是解析几何中圆锥曲线的经典题型及解析：
1. 定点问题
题目给出圆锥曲线上的一个点，通过该点的坐标和曲线的方程，求出满足条件的参数值。
解题思路：将点的坐标代入曲线方程，通过解方程或方程组来求解参数。
2. 范围问题
题目给出曲线上某个点的坐标范围，要求确定参数的范围。
解题思路：利用曲线的性质和已知条件，通过不等式或不等式组的求解来确定参数的范围。
3. 最值问题
题目要求求出圆锥曲线上的某一点的坐标或某一线段的长度，使其达到最大或最小值。
解题思路：利用曲线的性质和已知条件，通过求导数或使用基本不等式来确定最值。
4. 轨迹问题
题目要求确定满足某种条件的点的轨迹。
解题思路：通过建立轨迹方程，将轨迹问题转化为求圆锥曲线方程的问题。
5. 对称问题
题目要求确定满足某种对称条件的点的坐标。
解题思路：根据对称性质，列出方程组或不等式组求解。
6. 综合问题
题目将圆锥曲线与其他数学知识（如向量、数列、不等式等）结合在一起进行考查。
解题思路：首先明确各部分的联系，然后利用相关性质和公式求解。
7. 实际应用题
题目结合实际背景，考查圆锥曲线的应用。
解题思路：分析实际问题的需求，建立数学模型，再利用圆锥曲线的性质和公式求解。
掌握这些经典题型及其解题思路，对于理解和掌握解析几何中的圆锥曲线非常重要。
数学圆锥曲线题解题技巧方法总结
数学圆锥曲线题解题技巧方法总结圆锥曲线最值问题从方程与曲线着手，反映了数学问题中的数与形的密切关系，这类问题涉及的数学知识较多，解题方法灵活。
下面是小编为大家整理的关于数学圆锥曲线解题技巧，希望对您有所帮助!圆锥曲线解题技巧题型一：求曲线方程<1>曲线形状已知,待定系数法解决<2>曲线形状未知，求轨迹方程题型二：直线和圆锥曲线关系把直线方程代入到曲线方程中，解方程，进而转化为一元二次方程后利用判别式、韦达定理，求根公式等来处理(应该特别注意数形结合的思想)题型三：两点关于直线对称问题求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。
题型四：两直线垂直斜率相乘等于-1题型五：中点弦问题点差法：设曲线上两点为(X1,Y1)，(X2,Y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(注意斜率不存在D的情况讨论)，从而消去四个参数。
题型六：焦点三角形椭圆或双曲线上一点和其两个焦点构成三角形，多用正余弦定理解决问题。
题型七：最值问题(求范围)<1>若命题条件和结论有几何意义，可用图形性质来解答。
<2>若命题条件和结论有函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。
圆锥曲线大题解题技巧首先，我们要知道直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。
其次当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”。
典型例题1：研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解。
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圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义 ：第必定义 中要 重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中 ，与两个定点F 1 ， F 2 的距离的和等于常数2a ，且此 常 数 2a 必定要大于 F 1 F 2 ，当常数等于F 1 F 2 时，轨迹是线段 F 1F 2 ，当常数小于 F 1 F 2 时，无轨迹； 双曲线 中，与两定点 F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 必定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与2a ＜ |F 1 F 2 | 不行忽略 。
若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ， F 2 为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2 | ，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线 的一支。
如 方 程 ( x 6)2y 2( x6)2 y 28表示的曲线是 _____（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心 （极点） 在原点，坐标轴为对称轴时的标准地点的方程） ：（ 1 ） 椭 圆 ： 焦 点 在 x 轴 上 时 x2y 2 1a 2b 2b 0 ）， 焦 点 在 y 轴 上 时 y2 2（ a 2x2 ＝ 1（ ab 0 ）。
方程 Ax2By2abC 表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC ≠ 0，且 A ， B ，C 同号， A ≠ B ）。
若 x, yR ，且 3x22 y26 ，则 xy 的最大 值是 ____， x2y 2 的最小值是 ___（答：5,2 ）22（ 2）双曲线 ：焦点在 x 轴上： x2y 2 =1，焦ab点 在 y 轴 上 ： y2x 2＝ 1 （ a 0, b0 ）。
方程Ax2By2a 2b 2C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC≠ 0，且 A ，B 异号）。
如 设中心在座标原点 O ，焦点 F 1 、 F 2 在座标轴上，离心率 e 2 的双曲线 C 过点 P(4, 10) ，则 C的方程为 _______（答： x 2y 2 6 ）（ 3）抛物线 ：张口向右时 y 22 px( p 0) ，开口向左时y22 px( p 0) ，张口向上时x 22 py( p0) ，张口向下时 x 22 py( p 0) 。
圆锥曲线解题的万能套路
圆锥曲线解题的万能套路圆锥曲线是数学中研究的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这三种曲线都有着各自独特的性质和特点，解题时可以根据这些特点来进行分析和求解。
下面将介绍一些圆锥曲线解题的常用套路。
1.椭圆的解题套路：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
-根据方程的形式，可以判断椭圆的方向（水平或垂直）和长短半轴的比例关系。
-判断椭圆是否关于x轴或关于y轴对称，可以使用对称性质简化计算。
-利用椭圆的性质，可以求解椭圆的焦点、准线和主轴方程。
-在给定椭圆上求点的距离、坐标或方程时，可以利用椭圆的定义方程与给定条件相互联立求解。
2.双曲线的解题套路：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线的长半轴和短半轴。
-根据方程的形式，可以判断双曲线的方向（水平或垂直）和长短半轴的比例关系。
-判断双曲线是否关于x轴或关于y轴对称，可以使用对称性质简化计算。
-利用双曲线的性质，可以求解双曲线的焦点、准线和中心点坐标。
-在给定双曲线上求点的距离、坐标或方程时，可以利用双曲线的定义方程与给定条件相互联立求解。
3.抛物线的解题套路：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为焦距的一半，表示抛物线的焦点到顶点的距离。
-根据方程的形式，可以判断抛物线的开口方向（上下）和焦点的位置。
-判断抛物线是否关于x轴或关于y轴对称，可以使用对称性质简化计算。
-利用抛物线的性质，可以求解抛物线的焦点坐标、准线方程和顶点坐标。
-在给定抛物线上求点的距离、坐标或方程时，可以利用抛物线的定义方程与给定条件相互联立求解。
以上是圆锥曲线解题的一些常用套路。
对于不同类型的圆锥曲线，需要根据其方程的形式和曲线的特点来确定解题的具体方法。
熟练掌握这些套路，并在实际问题中灵活运用，可以更加高效地解决圆锥曲线相关的问题。
圆锥曲线解答题题型及方法归纳总结
题型一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线 与曲线N： 交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E( ,0)，使得
是等边三角形，ห้องสมุดไป่ตู้存在，求出 ；若不存在，请说明理由。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
（Ⅱ）求四边形 的面积的最小值．
题型六：弦或弦长为定值、最值问题
1、已知△ 的面积为 ，
（1）设 ，求 正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。
2、已知椭圆 两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 ，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）求证直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB面积的最大值.
例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
解：设直线 的方程为 ，由 ，进而可求出 的中点 ，又由 在直线 上可求出 ，∴ ，由弦长公式可求出 ．
题型二：动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C： 的离心率为 ，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
(完整版)圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳,推荐文档
（2）焦点弦长问题：（2 法）椭圆和双曲线：（公式一）左焦点弦长：
--------------------------------；图示： ----------------------------；图示：
;右焦点弦长：---;公式一适用于：
;（公式二）--------------------------------；其中：
;适用于：
; 抛物线：形式一：
;公
式一：
;图示：
;公式一适用于：
;焦点弦公式二：
;公式 2 适用于：
; STEP2:除了这三种特殊弦长以外，其余弦长求解都用
【弦长公式】（保底方法）；【弦长公式】3 类型：【类 1】
;
;
;适用于：
;【类
2】
;
;
;适用于：
于：
;【类 3】
;
;
;
;适用
5.圆锥曲线题题型二：中点问题的固定套路：【2 法】首选方法：中点弦公式；次选：中点 公式+韦达定理：-------------------------；--------------------------；-------------------------；---------； 6. 圆锥曲线题题型三：垂直问题的固定套路：首先看是否是 2 种特殊的垂
；结论二：【任意
点对称】
；（2）轴对称问题：结论一：【x 轴对称】
；结论二：【y 轴对称】
；结论四【y=b 对称】：
；结论三【x=a 对称】------------------------------------------
；结论 5【y=x 对称】：
；结论 6【y=-x 对称】：
；结论 7【y=x+c 对称】：
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳(精讲精练)(原卷版)
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳【命题规律】1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．【核心考点目录】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 核心考点二：蒙日圆 核心考点三：阿基米德三角形 核心考点四：仿射变换问题 核心考点五：圆锥曲线第二定义 核心考点六：焦半径问题 核心考点七：圆锥曲线第三定义 核心考点八：定比点差法与点差法 核心考点九：切线问题 核心考点十：焦点三角形问题 核心考点十一：焦点弦问题 核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 核心考点十六：圆锥曲线与四心问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ） A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．7．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【方法技巧与总结】1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求122a F F >；在双曲线的定义中，要求2a <12F F ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．【核心考点】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线222116x y b-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则12AM BM +的最小值________． 例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A -，()2,4B -，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点Q 为抛物线:E 24y x =上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则PA PQ QH ++的最小值为______．例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当 0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>， 12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虚轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =， PAB 面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足 3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是 ______________ ；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点（其中C 点在第一象限），设点M ､N 分别为 12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是 ____________ ．核心考点二：蒙日圆 【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（ ） A ．229x y += B ．227x y += C ．225x y += D ．224x y +=例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点三：阿基米德三角形 【典型例题】例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下特征： ①P 点必在抛物线的准线上；②PF AB ⊥．若经过抛物线24y x =的焦点的一条弦为AB ，“阿基米德三角形”为PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形．．．．．．．（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23（即右图中阴影部分面积等于PAB 面积的23）．若抛物线方程为22(0)y px p =>，且直线2p x =与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p =（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，PAB 为阿基米德三角形．抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P ．给出如下结论，其中正确的为（ ）（1）若弦AB 过焦点，则ABP 为直角三角形且90APB ︒∠=； （2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）PAB 的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+； （4）PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）．A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）核心考点四：仿射变换问题 【典型例题】例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______．记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______．Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______．例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB面积最大值为_______．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =-，,AD DF AE EQ λμ==（,λμ是非零实数），求22λμ+=______________．核心考点五：圆锥曲线第二定义 【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ）A B ．8 C ．12 D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线24y x =焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C ．若2AB BF =，则线段BC 的中点到准线的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．163D ．203核心考点六：焦半径问题 【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为（ ）A ．B ．2C D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是（ ） A．)∞+ B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，O 是坐标原点，若12||PF PF OP +，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．32D ．2核心考点八：圆锥曲线第三定义 【典型例题】例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线1PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ） A ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，过点1F 且斜率为k 的直线与圆222x y a +=交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），线段1F B 与椭圆交于点M ，2MF 延长线与椭圆交于点N ，且122||,2AF MB MF F N ==，则椭圆的离心率为___________，直线1AF 的斜率为___________．例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D ．23核心考点八：定比点差法与点差法 【典型例题】例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB的中点为(1,)M m （0m >），那么k 的取值范围是（ ）A ．12k <-B ．1122k -<<C ．12k >D ．12k <-，或12k >例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（ ） A ．3-B ．13-C ．34-D ．43-例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为A B ．12C D 核心考点九：切线问题 【典型例题】例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n +=．过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆228x y +=相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线例28．（2023·全国·高三专题练习）设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD核心考点十：焦点三角形问题 【典型例题】例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．8B ．C ．16D ．例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F -，动点P 在椭圆上，若12PF F △的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例32．（2023·全国·高三专题练习）已知(P 在双曲线22214x y b-=上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ，则2MP MF ⋅的值为（ ）A ．1B ．1C ．2D ．核心考点十一：焦点弦问题 【典型例题】例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（ ）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 【典型例题】例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________．例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 【典型例题】例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P为C 上不与左､右顶点重合的一点，I 为12PF F △的内心，且12322IF IF PI +=，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F △的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为（ ） A ．2B ．32C D ．53例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．2,⎡⎣核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 【典型例题】例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______． 例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F 的直线与T 交于,A B 两点，且2AF FB =，T 的准线l 与x 轴交于C ，CBF 的面积为T 的通径长为___________．例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于22b a（a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ l ⊥于点Q ，且1MQ MF +的最小值为3，则双曲线C 的通径为__________．核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 【典型例题】例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E 的焦点分别为1F ，2F ，经过2F 且与1F 2F 垂直的光线经双曲线E 反射后，与1F 2F 成45°角，则双曲线E 的离心率为（ ）AB1 C．D．1例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4C y x =，一条平行于x 轴的光线1l 从点()8,4P 射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线2l 射出，则AB =（ ） A ．7B ．174C ．214D ．254核心考点十六：圆锥曲线与四心问题 【典型例题】例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B ．若G 点为PAB 的外心，则1PAGF =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,A O B ，若抛物线2C 的焦点恰为AOB ∆的内心，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．32BC4D ．122例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）ABCD【新题速递】一、单选题1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆E ：221164x y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，圆1O 的方程为()22114x y ⎛++= ⎝⎭，动点P 在曲线E 上运动，动点Q 在圆1O 上运动，若12A A P △的面积为PQ 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +的值为（ ）AB ．C ．D ．2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线22:182x y C -=与直线2y =±围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体E ，则旋转体E 的体积是（ ）A ．32π3B ．64π3C ．80π3D ．160π33．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设12F F 、是双曲线22:1810y C x -=的左、右两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且1212OP PF PF =-，则1PF O 的面积为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．124．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（ ）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+； ②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1． 其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P 为抛物线()220y px p =>上一动点，点Q 为圆22:(1)(4)1C x y ++-=上一动点，点F 为抛物线的焦点，点P 到y 轴的距离为d ，若PQ d +的最小值为2，则p =（ ） A ．12p =B ．1p =C ．2p =D ．4p =7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与C 的左支的交点A 满足221212sin sin BF AF F AF B F F ∠=∠，则双曲线C的离心率为（ ）A ．3B．CD8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，,A B 是直线x y m +=上的两点，且10AB =．若对于任意点()()cos ,sin 02πP θθθ≤<，存在,A B 使90APB ∠=成立，则m 的最大值为（ ） A．B．C．D．9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②③C ．①②D ．①③10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆22:4O x y +=和圆22:4210M x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，下列说法中错误的是（ ）． A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段ABD ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则EF的最大值为4二、多选题11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知F 是抛物线2:2C x y =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（ ）A ．若AF y ⊥轴，则1AF =B ．若2AF =，则AOFC ．AB 长度的最小值为2D ．若AOB 90∠=，则8OA OB ⋅≥12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点)P在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是2⎡⎣ C ．存在点Q 使得210QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为2 13．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 为()1,0，过点()3,2M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（ ） A ．PM PF +的最小值为B ．C 的准线方程为=1x -C ．4OA OB ⋅≥-D ．当PF l ∥时，点P 到直线l 的距离的最大值为14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12 D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B ．设直线MA ，MB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅=则______16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的离心率2≥e ，直线1y x =-+交双曲线于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则双曲线实轴长的最小值是__________．17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(1)10C x y +++=相交于A ，B 两点，则||AB =________．18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的准线方程为2x =-，焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ､B 为抛物线C |2||BF AB =，则点F 到AB 的距离为______．19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足：22(2)(1)1x y ++-=，则 1 2 x y -+的取值范围是______．20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线M ：24x y =，圆C ：22(3)4x y +-=，在抛物线M 上任取一点P ，向圆C 作两条切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则CA CB ⋅的取值范围是______ ．。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：5,2）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B 异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y p x p =->，开口向上时22(0)x p y p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
圆锥曲线解题的万能套路
圆锥曲线解题的万能套路可以归纳为以下步骤：
1. 确定焦点位置：根据题目给定的条件，确定圆锥曲线的焦点位置，是位于X 轴上还是Y轴上。
2. 设而不求：设定圆锥曲线上的两点坐标，然后根据点在曲线上的性质，列出方程，但不求解。
3. 点差法：如果题目涉及弦的中点问题，可以使用点差法。
将两个点在曲线上的坐标分别带入方程，然后作差，化简后可以求得中点的坐标。
4. 联立方程：将题目给定的图形方程与圆锥曲线方程联立，形成一元二次方程组。
5. 使用韦达定理：利用韦达定理，将方程组的解用函数的k表示出来。
6. 求切线方程：如果需要求切线方程，可以通过图形的一个切点代入，求得切线斜率，进而得到切线方程。
7. 弦长公式：如果需要求弦长，可以使用弦长公式，将直线方程与图形方程联立，化简后得到一元二次不等式，通过韦达定理求解。
8. 求最值：根据题目给定的条件，利用函数关系或几何关系求出最值。
9. 求轨迹方程：根据题目给定的条件，利用待定系数法或定义法求出轨迹方程。
以上步骤可以作为圆锥曲线解题的万能套路，但具体解题过程中还需根据题目的具体情况进行灵活应用。
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圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳：纪福双【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。
中的2-----4类；分门别类按套路求解；1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。
第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————；2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————；3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————；4.圆锥曲线题题型一：弦长问题的固定套路：STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2）中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法”，结论：中点弦公式：椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：抛物线：形式二：____________;“点”_______________________;_________________;“差”__________________________________;“设而不求法”______________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）--------------------------------；法二次选：中点公式；→（2）焦点弦长问题：（2法）椭圆和双曲线：（公式一）左焦点弦长：--------------------------------；图示：__________________;右焦点弦长：--------------------------------；图示：__________________;公式一适用于：__________________________;（公式二）--------------------------------；其中：________________;适用于：__________________________; 抛物线：形式一：________;公式一：__________________;图示：_____________________;公式一适用于：__________________________;焦点弦公式二：____________________;公式2适用于：__________________________;→ STEP2:除了这三种特殊弦长以外，其余弦长求解都用【弦长公式】（保底方法）；【弦长公式】3类型：【类1】___________;___________;_______________;适用于：__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于：__________________________;【类3】___________;____________;_______________;适用于：__________________________;5.圆锥曲线题题型二：中点问题的固定套路：【2法】首选方法：中点弦公式；次选：中点公式+韦达定理：-------------------------；--------------------------；--------------------------；---------；6. 圆锥曲线题题型三：垂直问题的固定套路：首先看是否是2种特殊的垂直问题：（1）涉及圆的直径问题：【2法】：法一：“圆的直径式方程”____________________________________;法二：向量垂直法：____________________；____________________________________; （2）“原点张角垂直问题”首选方法：向量垂直法+韦达定理【最快！】图示：_____________________;套路：___________________；_______________________________；7．圆锥曲线题题型四：对称问题的固定套路：“结论法+代入法最快！”【2题型】（1）中心对称问题：结论一：【原点对称】_______________________________；结论二：【任意点对称】_______________________________；（2轴对称问题：结论一：【x轴对称】_______________________________；结论二：【y轴对称】_______________________________；结论三【x=a对称】------------------------------------------；结论四【y=b对称】：______________________；结论5【y=x对称】：__________________________；结论6【y=-x对称】：_______________________________；结论7【y=x+c对称】：___________________；结论8【y=-x+c对称】：_____________________；结论9【任意直线Ax+By+C=0对称】：_______________________________；8.圆锥曲线题题型五：切线问题的固定套路：【大纲内2题型】（1）圆的切线问题：【3套路8结论】（1）“点线距等于半径”________________________；（2）斜率乘积等于-1；______________；（3）勾股定理：__________________；结论：（1）【切线长公式】_______________________;（2）【圆心在原点时】_______________________;（3）【切点弦直线方程】_______________________;（4）_______________________;（5）_______________________;（6）_______________________;（7）________________________;（2）抛物线的切线问题：【导数法】（2形式）【形式一】________；____________________；【形式二】_________；__________________________；9.圆锥曲线题题型六：焦点三角形问题的固定套路：_________+___________+_____________+___________+_____________+___________+____ _________;【相关结论】：【两焦半径】左焦半径_____________;右焦半径_____________;特别的，通径：______________;半通径：______________;【三边长】_____________;_____________;_____________;【周长】_____________;【两焦半径乘积】_____________;【焦点三角形面积】_____________;_____________;作用：_____________;_____________;【余弦定理式】_____________;_____________;_____________;【正弦定理式】________;【求解离心率】__________;_________;________;__________;_____;【焦点三角形中内心公式】_____________________;10.圆锥曲线题题型七：向量问题的固定套路：【平行问题，垂直问题，夹角问题这三种问题“向量法最快”！平解几中，向量问题均采用“坐标运算”最佳！】首先：坐标化→→【平面向量10公式】【向量平行】_____________________;【向量垂直】_____________________;【向量夹角公式】_____________________;【加减式】_____________________;【数乘式】_____________________;【向量数量积公式】_____________________;【向量模的公式】_____________________;【量模转化公式】_____________________;【向量平方差公式】_____________________;【向量完全平方公式】_____________________;11.圆锥曲线题题型八：夹角问题的固定套路：【2类】（1）定性讨论型【向量法最快！】→→“成锐角时《=》向量数量积>0；”“成钝角时《=》向量数量积<0；”“成直角时《=》向量数量积=0；”（2）定量计算型：【2法】（1）向量数量积公式_____________________;（2）两直线夹角公式_____________________;12.圆锥曲线题题型9：斜率问题的固定套路：方法基础：斜率3公式：_____________________;_____________________;_____________________;【凡与中点相关的斜率问题】首选：中点弦公式。