4.5非线性校正算法

最小二乘法原理：
设被逼近函数为f(xi)，逼近函数为g(xi),
xi为x上的离散点，逼近误差为 ：
V xi f xi g xi
记为 ：
V
i 1
n
2
X i
min
实现；为了使逼近函数简单起见，通常选择 多项式。
二、直线拟合
设有一组实验数据如下图所示，现在要求一条最接近于这 些数据点得直线。直线可有很多，关键是找一条最佳直线。 设这组实验数据的最佳拟合方程为：y = a1 x + a0，式中，
其中：
y1 y0 a1 , x0 x1
a0 y0 a1 x0
若（x0，y0）、（x1，y1），取在非线性特性曲线f(x) 或数组的两端点A、B，如下图中的直线表示插值方程， 这种线性插值就是最常用的直线方程校正法
y y1 B y1 L(x) P(x) f(x) y0 0 A x a b y0 0 A a b x f(x) y B
n

i 1
n
2 xi

i 1
n
xi
三、曲线拟合
为了提高拟合精度，通常对n个实验数据对（xi，yi） 选用m次多项式 ：
y f x a0 a1 x a2 x am x
2 m
a x
i j 1
m



由此可得如下方程组：
n m j k 2 ( yi a j xi ) xi 0 a k i 1 j 0
i 1, 2 ,, n
计算a0，a1，……，am的线性方程组为 ：


m xi xim
x
j
来作为描述这些数据的近似函数关系式（回归方程）。 若把（xi，yi）的数据代入多项式就可得n个方程简记 为：
Vi yi

j 0
m
a j xij ,
i 1, 2,, n
式中，Vi为在xi处由回归方程计算得到的值与测量得到的 值之间的误差。根据最小二乘原理，为求取系数aj的最 佳估计值，应使误差Vi的平方之和最小，即： 2 n n n j 2 yi a0 , a1 ,, am Vi a j xi min i 1 i 1 j 1
1.插值函数的常见形式―― m 次多项式： m
z ( x) Pm ( x)
a x
i i 0
i
2. 插值函数多项式系数的确定
从标定数据中选取 (m+1)组数据作为插值点，解以下 a0 , a1 , a 2 , a m (m+1) 元方程组可求得(m+1) 个多项式系数
一般来说，阶数m越高，逼近 f(x) 的精度越高，但阶数 越高，计算越繁冗，计算时间也会增加，故多项式的阶数 一般不超过三阶。
n
2

i 1
n
xi
n

i 1

n

i 1
a1

i 1
n
xi y i

i 1
xi

i 1 2
yi
将各测量数据 代入方程组， 即可解得回归 方程的回归系 数a0和a1， 从而得到这组 测量数据在最 小二乘意义上 的最佳拟合直 线方程。
非等距节点分段直线插值
四、抛物线插值
如图所示将曲线分成四段，每一段都可以用一个二阶抛物线方程
y ai x2 bi x ci (i 1,2,3,4) 来描绘。其中，抛物线的系数 a , b , c i i i
可通过下述方法获得：每一段找出三点 立方程 2
xi 1 , xi1 , xi
zy
(x x ) y
• 查表法优点：
不需要进行计算或只需简单的计算；
• 查表法缺点：
需要在整个测量范围内标定实验测得很多的测试数据。
4.5.2 插值法 一、插值函数和插值点：
插值法是从标定或校准实验的n对测定数(xi,yi)(i=1,2,…,n)中， 求得一个函数作为实际的输出读数x与被测量真值y的函数关系 的近似表达式。这个表达式 必须满足两个条件：
4.5.1 查表法
查表法就是1,2,...n)在内存中建立一张输入/输出数据表，再根据 A/D数据x通过查这个表查的y，并将查得的y作为显示数 据z。具体步骤如下： （1）在系统的输入端逐次加入一个个已知的标准被测 量 y1 , y2 ...yn ，并记下对应的输出读数 x1 , x2 ,..., xn 。
2 y
i 1
n i
n
i
a0 a1 xi 0
a0 a1 xi 0
2x y
i 1
i
解得：
a0

i 1
n
yi

i 1 n
n
2 xi xi2

i 1 n
n
xi yi xi
常用的校正算法： 查表法
插值法
拟合法
离散数据的获得
• 标定实验
在规定的实验条件下，给测试系统的输入端逐次加入一个个 已知的标准的被测量y1,y2„yn，并记下对应的输出读数(A/D转 换结果)x1,x2„xn。这样就获得n对输入/输出数据(xi,yi)， (i=1,2„n)这些“标定”数据就是y=f(x)的离散方式描述。
（2）把标准输入y i （i=1,2...n)值存储在存储器的某一 单元，把 x i 作为存储器中这个存储单元的地址，把对应 的 y i 值作为该单元的存储内容，这样就在存储器里面 建立一张标定数据表。
(3)实际测量时，让微机根据输出读数 x i 去访问该存储 地址，读出该地址中存储的y i 即为对应的被测量的真值， 将从表中查得的y i 作为显示数据 z ，应该说是不存在误 差的。 (4)若实际测量的输出数据x是在x i和xi 1之间，可按最邻 近的一个标准读数 x i或 xi 1去查找对应的y i 或 y i 1作为 被测量的近似值，很显然这个结果有一定的误差，可以 用线性内插进行修正，即按照下式子计算出要显示的数 据 yi 1 yi i i xi 1 xi
Vi pn ( xi ) f ( xi ) , i 1,2,...,n
Vi
表示拟合误差，如果对于所有的x的取值都满足 Vi
ε为允许的拟合误差，则直线方程 就是理想的校正方程。 显然，如果对于非线性比较严重或测量范围比较宽的非 线性特性，采用一种直线方程进行校正很难满足仪表的精 度要求。故
xi
2 i

xim 1
x

a0 m 1 a1 i xi2 m am xim
y x y
i

i i xim yi
由上式可求得m+1个未知数aj的最佳估计值。
（含两端点）联
yi 1 ai xi 1 bi xi 1 ci 2 yi1 ai xi1 bi xi1 ci yi ai xi2 bi xi ci 可以求出 ai , bi , ci
分段插值流程图
4.5.3 拟合法 一、最小二乘法 利用n次多项式进行拟合，可以保证在n+1 个节点上校正误差为零，因为拟合曲线折线恰好经 过这些节点。但是，如果这些实验数据有随机误差， 得到得校正方程并不一定能反映出实际的函数关系。 因此，对于含有随机误差得实验数据的拟合，通常 选择误差平方和的最小这一标准来衡量逼近结果， 这就是最小二乘法原理。
z ( x) 的表达式比较简单，便于计算机处理。 第一， 故一般为多项式。
第二，在所有选定的校准点(也称插值点) 上满足：
zi (x i ) f (x i) y i
满足上式的 z ( x) 称为 y f ( x) 的插值函数。xi为插值 节点
二、插值函数的常见形式及其求解
法 等距节点分段直线校正 线性插值 正法 非等距节点分段直线校
4.5.2.1 等距节点分段直线校正发
等距节点算法适用于非线性特性曲率变化不大的场合，每段曲线都用 一个直线方程代替。分段数n取决于非线性程度和仪表的精度要求。精 度越高，n越大。每段直线的方程为
P1i ( x) a1i x a0i , i 1,2,...,n
例，已知热敏电阻的阻值R(kΩ)与温度t(℃)的关系式如 表4-5-1所示
三、线性插值
线性插值是从一组数据（xi，yi）中选取两个代表性的 （x0，y0）、（x1，y1），然后根据插值原理，求出插值 方程 ：
x x0 x x1 p1 ( x) y0 y1 a1 x a0 x0 x1 x0 x1
四、最佳一致逼近法
插值法要求逼近函数z=φ(x)与被逼近函数y=f(x)在节点上有相同的函 数值，而在非节点处φ(x)就不一定保证很好的逼近函数f(x) ,而实际问题 上要求在整个测量区间上都能够很好的逼近f(x),针对这种情况，我们可 以采用最佳一致逼近法。 最佳一致逼近就是保证 f(x)与φ(x)之间的最大误差小于给定精度 ， 既保证不等式成立
a1和a0称为回归系数。
y
x x x x x
x
x
x
x x x x xx x
x
0
x
令：
a
0 , a1
Vi yi a0 a1 xi
i 1 i 1
n
n
2
根据最小二乘原理，要使φa0，a1为最小，对a0，a1求 偏导，令其为0，可得 ：
a0
a1
对于曲率变化较大的分线性特性，若要满足精度要求，分段数n就会 变得很大，同时 a1i 和a0的数目也会增加，占用内存增加，故这时宜采 i 用非等距节点分段直线校正法