插值多项式中的误差

i 0
n
则ห้องสมุดไป่ตู้
f ( n 1 ) ( ) n 1 ( x) |Rn ( x)| ( n 1)!
1 M n1 Nn1 ( n 1)!
6
1.中, 若f ( x) x , 三个节点为 144,169,225 例1: 在上节例
试估计用Lagrange 线性和二次插值做 f (175)近似值的 截断误差 .
在区间 (a, b)内至少有一个点 , 使得 (t )的n 1阶导数为零
( n1) ( ) 0
(t ) f (t ) Pn (t ) K ( x)n1 (t )
由于 因此
( n1) ( n1) (t ) f (n1) (t ) Pn(n1) (t ) K ( x)n 1 (t ) ( n1) (n1) ( ) f (n1) ( ) Pn(n1) ( ) K ( x)n 1 ( )
§ 5.2 插值多项式中的误差
一、插值余项
从上节可知 , y f ( x)的Lagrange 插值
Ln ( x) y j l j ( x)
j 0
n
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0,1,, n Ln ( x) f ( x) 不会完全成立
因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
( x) 0 , ( xi ) 0 , i 0,1,2,, n
由于Pn ( x)和n1 ( x)为多项式 ,因此若f ( x)可微, 则 (t )也可微
3
根据Rolle定理, (t )在区间(a, b)上有至少n 1个零点
再由Rolle定理, (t )在区间(a, b)上有至少n个零点 依此类推
从以上分析可知 , 在求 175 时 用Lagrange 二次插值比线性插值的 误差更小
8
1 例2. 设函数 f ( x ) 1 x 2 , x [ 5,5] 10 将[ 5 ,5]n等份取 n 1个节点 xi 5 ih , h , i 0 ,1, , n n
144 x 225
7
N2 | 2 ( x)| |(175 169)(175 225)| 300 N3 | 3 ( x)| |(175 144)(175 169)(175 225)| 9300
1 1 2 4 1 . 71 10 M N 1 . 14 10 300 |R1 ( x)| 2 2 2! 2 1 1 |R2 ( x)| M 3 N 3 1.51 10 6 9300 2.35 103 3! 6
11
2
不同次数的Lagrange插值多项式的比较图
f(x)=1/(1+x 2) n=10
1.5
1
n=2 n=4
0.5
0
n=6
-0.5 n=8 -1
-1.5 -5
-4
-3
-2
-1 0 1 Runge 现象
2
3
4
5
12
结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果 越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现 象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.
且 ( xi ) f ( xi ) Pn ( xi ) K ( x)n1 ( xi )
i 0,1,, n Rn ( xi ) K ( x)n1 ( xi ) 0 因此, 若令x xi , (t )在区间 [a, b]上至少有n 2个
互异的零点x, x0 , x1 ,, xn ,即
1
假设在区间 [a, b]上f ( x)的插值多项式为 Pn ( x)
令
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Pn ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
13
定理1. 设f ( x)在区间 [ a , b]上n 1阶可微, Pn ( x)为f ( x)在[ a , b]上的
n次插值多项式 , 插值节点为 { xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n1) ( ) Rn ( x) n1 ( x) (n 1)!
n
Lagrange型余项
其中 n 1 ( x) ( x xi ) , (a, b) , 且依赖于x.
i 0
5
设
M n 1 max | f ( n 1 ) ( x )|
a x b
Nn1 | n 1 ( x )| | ( x xi )|
设 其中
Rn ( x) K ( x)n1 ( x)
n1 ( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
K ( x)为待定函数
Rn ( x) f ( x) Pn ( x) K ( x)n1 ( x)
2
f ( x) Pn ( x) K ( x)n1 ( x) 0 若引入辅助函数 (t ) f (t ) Pn (t ) K ( x)n1 (t ) 则有 ( x) f ( x) Pn ( x) K ( x)n1 ( x) 0
n
n 2 ,4,6,8,10
9
%lagrangen.m function y=lagrangen(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n Lagrange插值多项式 L=1; 求插值的Matlab程序. for j=1:n if j~=k L=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s; end y; 10
比较不同的插值多项式次数对插值的影响
%Chazhibijiao.m x=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2); plot(x,z,'k',x,y,'r') axis([-5 5 -1.5 2]);pause,hold on for n=2:2:10 x0=linspace(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pause end y2=1./(1+x0.^2);y=interp1(x0,y2,x); plot (x,y,'k'),hold off gtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6') gtext('n=8'),gtext('n=10') gtext('f(x)=1/(1+x^2)')
f ( n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
4
所以
f ( n1) ( ) K ( x) (n 1)! f ( n1) ( ) Rn ( x) K ( x)n1 ( x) n1 ( x) (n 1)!
称Rn ( x)为插值多项式 Pn ( x)的余项(截断误差 )
解:
设R1 ( x)为Lagrange 线性插值的余项 R2 ( x)为二次Lagrange 插值的余项
f ( x )
1 2 x
169 x 225
3 1 2 f ( x ) x 4
5 3 2 f ( x ) x 8
M 2 max | f ( x)| | f (169)| 1.14 104 M 3 max | f ( x)| | f (144)| 1.51 106
试就n 2,4,6,8,10作f ( x)的n次Lagrange 插值多项式
并作图比较. 解:
1 yi f ( xi ) 1 xi2
作n次Lagrange 插值多项式
n ( x xi ) 1 Ln ( x) 2 j 0 1 x j i 0 ( x j xi ) i j