2021届高考数学总复习：椭圆及其性质

探 究
b2y＋2 λ＝1(λ＞－b2)．
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首
页
10
4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的
课 △PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，则
前
自 主
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
回
课
顾
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
前
自
主
因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝
回
1 2
顾
c＝1，
课 堂
ac＝21，
解得ab22＝＝43，，
考 点
a2＝b2＋c2，
探
究
故椭圆C的标准方程为x42＋y32＝1.]
15
，所以
课 后 限 时 集 训
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16
课 前 自 主
3．过点A(3，－2)且与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1有相同焦点的椭圆的方程
回
课
顾
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是 后
限
椭圆．
课
堂
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．
考
( )时 集
(
)训
点 探 究
(3)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．
()
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12
课
前
自 主 回 顾
(4)ax22＋by22＝1(a＞b＞0)与ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)的焦距相等．
堂
考
点
探
究
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4
课
前
自
主
回 顾
1．椭圆的定义
课 后
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 常数
(大于|F1F2|)的
限 时
课 堂
点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点
集
，两焦点间的距 训
考 点
离叫做椭圆的 焦距
．
探
究
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5
课
前 自
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且
时 集
课
堂 考 点
焦点坐 F__1(_－__c_,0_)_，_F_2(_c_,_0_)
训
F__1(_0_，__－__c_)_，F_2_(_0_，__c)_
探
标
究
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8
课
前
自 性 半轴长
主
长半轴长为 a ，短半轴长为_b__
回 顾
质
离心率
e＝ c ，且e∈(0,1) a
课 后
限
a，b，c的
时
c2＝a2－b2
集
课 堂
关系
训
考
点
探
究
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9
[常用结论]
课 前 自 主
1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为
2b2 a
，过焦点
回
顾 最长弦为长轴．
课 后
限
2．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
时
集
课 堂 考 点
3．与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为a2x＋2 λ＋ 训
主
回 顾
a，c为常数：
课 后
(1)若a＞c，则集合P为 椭圆 ．
限 时
课 堂
(2)若a＝c，则集合P为 线段 ．
集 训
考 点
(3)若a＜c，则集合P为 空集 ．
探
究
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课 前
2．椭圆的标准方程和几何性质
自
主
回 标准方程
顾
ax22＋by22＝1(a>b>0)
课 堂
图形
考
点
探
究
6
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
后
限
课
(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，
时 集 训
ຫໍສະໝຸດ Baidu
堂
考 点
S△PF1F2取最大值，为bc.
探
究
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
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页
11
课
前
自 主
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
课 后
( )限 时
集
课
堂
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
训
考
点
探
究
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13
课
二、教材改编
前
自
主 回 顾
1．设P是椭圆
x2 25
＋
y2 16
＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦
课
后
点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
限 时
集
课
A．4
B．5
C．8
D．10
训
堂
考
点 探
D [依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]
究
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14
课
前 自 主
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 12 ，
回
课
顾 则椭圆C的方程是( )
后
限
课
A.x32＋y42＝1
B.x42＋ y23＝1
时 集 训
堂
考 点 探
C.x42＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
究
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课
D [设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
第九章 平面解析几何
第五节 椭圆 第1课时 椭圆及其性质
2
课
前
自
主
回 顾
[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世 课 后
界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方
限 时
集
课 程及简单几何性质．
训
堂
考
点
探
究
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3
课
前
自 主 回
课前自主回顾
课
顾
后
限
时
集
课
训
回
课
顾 为( )
后
限
课
A.1x52 ＋1y02 ＝1
B.2x52 ＋2y02 ＝1
时 集 训
堂
考 点 探
C.1x02 ＋1y52 ＝1
D.2x02 ＋1y52 ＝1
究
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17
课
前
自
主
回 顾
A
[设所求椭圆的方程为
x2 9＋λ
＋
y2 4＋λ
＝1(λ＞－4)，则有
9 9＋λ
＋
课 后 限
课 堂
4＋4 λ＝1，解得λ＝6，故所求椭圆方程为1x52 ＋1y02 ＝1.]
课
则S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.
后 限 时
代入椭圆的方程，得x52＋14＝1，解得x＝ 215，
集 训
因此点P的坐标为
215，1或
215，－1.]
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20
课
前
自 主 回
课堂考点探究
课
顾
后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
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21
考点1 椭圆的定义及应用
课
前 自
时 集 训
考
点
探
究
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18
课
前
自
主
回 顾
4．已知点P是椭圆
x52＋
y2 4
＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点
课 后 限
时
课 F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为
堂
．
集
训
考
点
探
究
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19
课
前
自
主 回
2.
顾
课 堂 考 点 探 究
215，1或
215，－1
[设P(xP，yP)，xP＞0，由题意知|F1F2|＝
课 后
限
时
集
训
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7
课
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
前
自 主
对称性
对称轴：坐标轴 ；对称中心：_原__点__
回
顾 性 顶点坐 A1(－a,0)，A2(a,0)，
课
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－ 后 限
质 标 B1(0，－b)，B2(0，b) b,0)，B2(b,0)
利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
主
回 顾
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足 课
后
椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程