专升本 高数第六章级数概论

的函数项级数称为 (x x0) 的幂级数.其中 an (n 0,1,2,...)
称为该幂级数的第 n 项系数.当 x0 0 时， an xn a0 a1x a2 x2 ... an xn ... n0
称为 x 的幂级数.
2.收敛半径：R lim an
a n n1
第六章 级数
3.前项部分和：sn u1 u2 ... un
4.部分和数列：s1, s2 ,..., sn
5.余项： rn un
6.
收敛：
k n1
limsn
s
s 7.和：
n
8.发散： lim sn不存在 n
第六章 级数
一、数项级数
（二）性质
1.若 un s ，则 Cun Cs(c 0) .
（三）正项级数
1.定义：设 un n 1
，若 un 0(n 1,2,...)
，则称 un n 1
为正项级数.
2.定理
定理1（比较审敛法）设 un, vn 均为正项级
数，且 un vn (n 1,2,...) 则 n1 n1
（1）若
vn收敛，则
u
n
收敛.
n 1
n 1
（2）若
u
n
发散，则
vn
发散.
n 1
n 1
（大收小收，小发大发）
第六章 级数
快速判断法：若 un 是分式，且分母、分子关于n 的最高
次幂分别是
p, q，当 p q 1时，正项级数
un
收敛；
当
p
q
1
时正项级数
u
发散.
n
n 1
n 1
定理2（比值审敛法）设 un 是正项级数，且
，则
lim un1
u n n
n 1
2!
n!
第六章 级数
二、幂级数
（四）泰勒级数与麦克劳林级数
4.泰勒展开式
f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
...
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
...
n0
f
(n) (x0 n!
)
x
x0
n
5.麦克劳林展开式
f (x) f (0) f (0)x f (0) x 2 ... f (n) (0) x n ... f (n) (0)x n
当 x R, R 时，有 an xn bn xn an bn xn Sx T x.
n0
n0
n0
3.（逐项微分运算）
当 x R, R
时，有
收敛半径仍为 S x
an x n
an x n nan x n1
R
.
n0
n0
n0
4. （逐项微分运算）
当 时，有 x R, R
n1
项级数的一个收敛点
发散点：若数项级数
fn (x0 )
n1
收敛，则称 x0 为函数
项级数的一个发散点
收敛域：收敛点的全体
和函数：S(x) f1(x) f2 (x) ... fn (x) ...
第六章 级数
二、幂级数
（二）幂级数
1.幂级数：
形如 an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ... n0
)
(x
x0
)n
Rn (x)
2.泰勒级数
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)
2
...
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
...
称 f (x)为在 x x0 处的泰勒级数.
3.麦克劳林级数
f (0) f (0)x f (0) x2 ... f (n) (0) xn ...
2!
n!
n0 n!
6. 常见初等函数的麦克劳林展开式
1
xn 1 x x2 ... xn ...( 1 x 1)
（二）幂级数
3.收敛区间：(R, R)
4.收敛域：考虑 x R
时，数项级数
an
Rn
的敛散性
n0
（三）性质
设
an xn Sx, x R1, R1 ,
bn xn T x, x R2 , R2 ,
R min R1, R2
n0
n0
1.幂级数的和函数在收敛区间内连续.
2. （加法运算）
若交错级数
(1)
n1
un
满足莱布尼茨条件：
（1）
un
n1
un1(n 1,2,...)
（2）
lim
n
un
0
则该级数收敛
第六章 级数
（五）任意项级数
1.绝对收敛
设 un 为任意项级数，若 un
收敛，则称
n 1
un
是绝对收敛的.
n 1
n 1
定理：若级数 un 是绝对收敛，则级数 un 也收敛.
x
S
0
x dx
x
an xn dx
0 n0
n0
x 0
an xn
dx
an x n1 n0 n 1
收敛半径 仍为 R .
第六章 级数
二、幂级数
（四）泰勒级数与麦克劳林级数
1.泰勒公式
f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
...
f
(n) (x0 n!
n 1
n 1
2.条件收敛
若级数 un
收敛，而级数
un
发散，则称级数
n 1
un
是条件收敛的.
n 1
n 1
第六章 级数
二、幂级数
（一）函数项级数
1.定义
函数项级数： fn (x) f1(x) f2 (x) ... fn (x) ...
n1
收敛点：若数项级数 fn(x0) 收敛，则称 x0 为函数
第六章 级数
（次重点）
第五章 常微分方程
级数
• 知识结构
数项级数
幂级数
基本概念 级数 部分和 收敛 发散
性质
正项级数 交错级数
任意项 级数
两重要 级数 几何级数 P-级数
函数项 级数
幂级数 基本概念
幂级数 性质
泰勒级数
麦克劳林 级数
第六章 级数
一、数项级数
（一）基本概念 1.数项级数： un u1 u2 ... un ... n1 2.一般项（通项）：un
（1）当 1 时，级数收敛；
（2）当 1 时，级数发散；
（1）当 1 时，失效；
注意：比值审敛法一般适用于 un 中含有 n! 或关于 n 的
若干连乘积形式.
第六章 级数
（四）交错级数
1.定义
设 un 0(n 1,2,...) ，级数 (1)n1un 称为交错级数 n1 2.莱布尼茨判别法
n 1
n1
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2.若
un A, vn B
，则 un vn A B .
n1
n1
n1
3.在级数的前面加上或去掉有限项，不会改变级
数的敛散性，但收敛级数的和一般会改变.
4.级数收敛的必要条件：若级数 un 收敛，则
n 1
un 0
5.若
un 0
，则级数
un
发散.
n 1
第六章 级数
一、数项级数