数学最优化问题中的函数模型

数学最优化问题中的函数模型

【摘要】最优化问题近十年来在全国乃至各省市的高考中愈演愈烈，寻求最优化是人类的一种本能，解决数学中的最优化问题需要靠各种函数模型来刻画。

【关键词】数学；最优化；函数模型

【中图分类号】g63.22 【文献标识码】b 【文章编号】2095-3089（2013）9-0-01

用最优化解决决策问题时，需把实际决策问题翻译、表述成数学最优化形式，这种表述、翻译实际上就是用各种函数模型去刻画和反映实际生活中的最优化问题。而数学最优化问题中，常利用的函数模型有：一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、三角函数模型、线性规划函数模型以及导数模型求解。

对于一次函数模型f（x）=kx+b（k>0，b>0）：求最优值的问题，1、要根据题目意思列出所求的目标函数；2、将目标函数进行变形成为f（x）=kx+b（k>0，b>0）的形式并求出最优值。利用一次函数模型的典例如：某公司08年在甲已两电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元。甲已的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分。两台为该公司每分钟所做广告，给公司带来的收益为0.3万元和0.2万元。则该公司如何分配广告时间，才能使公司收益最大？本题设两台做广告时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z，则根据题意有z=3000x+2000y，然后将其化成

y=-1.5x+0.0005z形式，并根据x、y的范围求解。

由上例可见，一次函数模型求最优值问题以应用题出现的频率较高，有时也会通过均值定理和函数的单调性求最优值，用均值定理时，务必要注意等号能不能取到的问题，即“一正二定三相等”，有时还不要忘记讨论求得最优值。

还有一种最优化问题可利用二次函数模型来解决，如2003年北京春季高考卷，某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3000元时，若全部租出，若每辆车的月租金每增加50元，末租出的车会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，末租出的车辆每月需要维护费50元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少？

此种问题以现实中的租赁公司月收益为背景，当设每辆车的月租金定为x（3000≤x≤8000）元，租赁公司的月收益为y元，将y表示成x的二次函数关系式，利用二次函数在闭区间上有最值的求法不难求出y的最大值，亦即最大月收益。

二次函数模型是出现最多的一种，在上面求最优值的例题中，我们可以看到：求解此类模型通常分两步：先求出目标函数的单调区间，再根据求出的单调区间进行讨论得最优值。

分段函数模型在解决最优化问题时，也起着举足轻重的作用，如08年湖北理科卷：水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，每初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量v（单位：亿立方米）关于时间t的近似函数关系式为：v（t）={-t2+14t-40（0

求一年内该水库的最大蓄水量。此题所建立的函数关系式是分段函数形式，在求其最值时应先求各段上的最大（小）值，然后将每段上的结果综合比较，其中较大者为所求最大值，较小者为所求最小值。

最优化问题中，常见的还有三角函数模型，如09年福建理科卷，某市拟在长为8km的道路op的一侧修建一运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数y=asin x（a﹥0，﹥0）x∈〔0，4〕的图象，且图象的最高点为s（3，2），赛道的后一部分为折线段mnp，为保证参赛运动员的安全，限定mnp=120。求a、w的值和m、p两点间距离，并解答应如何设计，才能使折线段赛道mnp 最长？此种类型的问题，当把点n设计在线段mp的垂直平分线上时，并设

利用导数求解最优化问题典型的例子，如2009年湖南理科高考

卷：某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端桥墩相距x米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为y万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都看作点，记余下的工程费用为z。写出y关于x的函数关系式，并求当x=640米时，需要建多少个桥墩才能使z最小？此类问题当设需要建n个桥墩，可得y与x之间的函数关系式，对y进行求导，利用导数的有关知识不难求出当n=64时，函数有最小值。

在最优化问题中，出现频率较高的还有一种模型：线性规划模型。用该模型求最优值问题，第一步要根据线性约束条件或者非线性约束条件，作出可行域，第二步根据所给的目标函数找出相应的可行域的顶点，即“最优点”。且“最优点”常常是目标函数化作直线后第一次接触可行域时的点或者是目标函数化作直线后最后一次

离开可行域时的点。第三步把“最优点”代入目标函数经过比较就可求出所求目标函数的最优值。此种类型比较常见的例子如：f（x）=ax2+bx且-1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4求f（-2）的最大值，用线性规划的方法解此例时，可先求出a-b和a+b的范围，设目标函数为z即z=f（-2）=4a-2b，作出上述约束条件的可行域，从而得出最大解。

现实生活中，我们要把抽象的理论与数学实践有机地相结合，将现实生活中的实际问题抽象、归纳并转化成适合的函数模型来解决，这对学好数学并灵活运用数学函数模型去解决生活中的最优化

问题是一种很好的尝试和锻炼，用最优化方法解决定量决策问题无疑是符合时代潮流和形式发展需要的，而且优化建立函数模型方法的呼声也日益高涨。