有理数单元培优测试卷

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图，已知数轴上点A表示的数为-3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12.动点P

从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀

速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P到达A点时，P、Q停止

运动.设运动时间为t秒.

①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数.

②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.

【答案】（1）9；-3+2t

（2）解：①根据题意，得：（1+2）t=12，

解得：t=4，

∴-3+2t=-3+2×4=5，

答：当t=4时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5；

②P与Q重合前：

当2AP=PQ时，有2t+4t+t=12，解得t= ；

当AP=2PQ时，有2t+t+t=12，解得t=3；

P与Q重合后：

当AP=2PQ时，有2（8-t）=2（t-4），解得t=6；

当2AP=PQ时，有4（8-t）=t-4，解得t= ；

综上所述，当t= 秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点

【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是-3+12=9，点P表示的数是-3+2t，

故答案为：9，-3+2t；

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值可求得点B所表示的数；根据路程=速度×时间可得点P运动的距离，再根据平移的点的坐标的性质可得点P表

示的数；

（2）①由题意可列方程求解；②分两种情况讨论求解：

P与Q重合前：

当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解；

当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；

P与Q重合后：

当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；

当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解。

2．

（1）观察发现

，，，……，

．

＝1﹣＝．

＝1﹣＝．

＝________．

（2）构建模型

＝________．(n为正整数)

（3）拓展应用：

① ＝________．

② ＝________．

③一个数的八分之一，二十四分之一，四十八分之一，八十分之一的和比这个数的四分之一小1，这个数是________．

【答案】（1）

（2）

（3）；；20.

【解析】【解答】(1) ＝

=1﹣＝，

故答案为：；(2) ＝

＝1﹣＝，

故答案为：；(3)①原式＝＝1﹣

＝，

故答案为：；

②原式＝＝

＝1﹣＝，

故答案为：；

③设这个数为x，

根据题意得：( )x＝ x﹣1，

整理得： x＝ x﹣1，

去分母得：( )x＝x﹣4，

即(1﹣ )x＝x﹣4，

整理得： x＝x﹣4，

解得：x＝20，

答：这个数是20.

【分析】（1）各项拆项后，计算即可求出值；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）①原式拆项后，计算即可求出值；②原式变形后拆项，计算即可求出值；③设这个数为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

3．观察下列等式：

第1个等式： = = ×(1－ )；

第2个等式： = = ×( － )；

第3个等式： = = ×( － )；第4个等式： = = ×( － )；…

请回答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式： =________=________；

（2）用含n的代数式表示第n个等式： =________=________（n为正整数）；

（3）求的值．

【答案】（1）；

（2）；

（3）解：a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1－ )+ ×( － )+ ×( － )+ ×( －) +…+ = .

【解析】【解答】解：(1)第5个等式：a5= ，

故答案为 .

( 2 )an= ，

故答案为 .

【分析】（1）根据前四个式子的规律，就可列出第5个等式，计算可求解。

（2）根据以上规律，就可用含n的代数式表示出第n个代数式。

（3）根据以上的规律，可得出a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1－ )+ ×( － )+ ×( － )+ ×( －) +…+ ，计算即可求出结果。

4．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值： a=________； b=________； c=________．

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC—AB的值．

（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和x（x>3）个单位长度的速度向右运动，请问：是否存在x，使BC－AB的值随着时间t的变化而不变，若存在求出x；不存在请说明理由．

【答案】（1）-1；1；4

（2）解：BC-AB