中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶相似附答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；

（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．

【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，

在中，

分别是的中点，

（2）解：如图1，过点作于，

（舍）或秒

（3）解：四边形为矩形时,如图所示：

解得：

（4）解：当点在上时，如图2，

当点在上时，如图3，

时，如图4，

时，如图5，

综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。

（3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

2．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．

【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入

得：，解得：，

∴抛物线的解析式为：，

对称轴为：直线x=﹣；

（2）解：存在，∵AD=2t，

∴DF=AD=2t，

∴OF=4﹣4t，

∴D（2t﹣4，0），

∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t），

∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论：

①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，

∴，即，解得：t= ；

②当∠FEC=90°，

∴∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴DE= AF，即t=2t，

∴t=0，（舍去），

③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或；

（3）解：∵B（1，0），C（0，2），

∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，

当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）•OD= （t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；

当D在y轴的右侧时，如图2，

∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）•OD= （﹣8t+10+2）•（4t﹣4），即

（2＜t＜）．

综上所述：

【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。

（2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可；

②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。

（3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。

3．如图，抛物线过点，．为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线

分别交于点P、N．

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；

（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标．【答案】（1）解：设直线的解析式为（）∵，

∴解得

∴直线的解析式为

∵抛物线经过点，

∴解得

∴

（2）解：∵轴，则，

∴，

∵点是的中点

∴

∴

解得，（不合题意，舍去）

∴

（3）解：∵，，

∴，

∴

∵

∴当与相似时，存在以下两种情况：

∴解得

∴

∴ ,解得

∴

【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。

（2）由（1）可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M（m,0）可得点N，P用m 表示的坐标，则可求得NP与PM，由NP=PM构造方程，解出m的值即可。

（3）在△BPN与△APM中，∠BPN=∠APM，则有和这两种情况，分别用含m的代数式表示出BP，PN，PM，PA，代入建立方程解答即可。

4．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．