回归分析理论
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析法是一种统计方法，用于探究自变量和因变量之间的关系。
通过建立一个数学模型，回归分析可以预测和研究变量之间的相关性。
回归分析法的原理是通过最小化预测值和实际值之间的差异，找到自变量与因变量之间的最佳拟合线。
回归分析法的基本概念包括自变量、因变量、回归方程和残差。
自变量是研究者控制或选择的变量，用于解释因变量的变化。
因变量是研究者感兴趣的变量，被自变量所影响。
回归方程是用来描述自变量和因变量之间关系的数学方程，通常采用线性或非线性形式。
残差是指回归模型中预测值与实际值之间的差异。
回归分析法的原理是通过最小二乘法来确定回归方程的系数，以使残差的平方和达到最小值。
最小二乘法的核心思想是使得回归方程的预测值与实际值之间的误差最小化。
具体来说，就是通过计算残差平方和的最小值，来找到最适合数据的回归方程。
在进行回归分析时，需要进行模型的选择、拟合和检验。
模型的选择通常基于理论、经验和数据。
拟合模型时，需要估计回归方程中的系数，通常采用最小二乘法进行估计。
检验模型时，需要检验回归方程的显著性和拟合优度。
回归分析法可以分为简单线性回归和多元回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，多元回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。
多元回归可以有不同的形式，如线性回归、非线性回归和多项式回归等。
回归分析法的应用广泛，可以用于预测、解释和控制变量。
例如，在经济学中，回归分析可以用于预测消费者支出；在医学研究中，可以用于解释药物对疾病的治疗效果；在市场营销中，可以用于控制广告投入对销售额的影响。
总之，回归分析法是一种统计方法，通过建立数学模型来研究自变量和因变量之间的关系。
它的原理是通过最小化预测值与实际值之间的差异，来找到最佳拟合线。
回归分析法可以应用于各个领域，用于预测、解释和控制变量。
计量经济学回归分析模型
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元）
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629
称i为观察值Yi围绕它旳期望值E(Y|Xi)旳离差
（deviation），是一种不可观察旳随机变量，又称 为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误 差项（stochastic error）。
例2.1中，个别家庭旳消费支出为：
(*)
即，给定收入水平Xi ,个别家庭旳支出可表达为两部分之和: （1）该收入水平下全部家庭旳平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性（systematic）或拟定性（deterministic)部分。
注意： 这里将样本回归线看成总体回归线旳近似替代
则
样本回归函数旳随机形式/样本回归模型：
一样地，样本回归函数也有如下旳随机形式：
Yi Yˆi ˆ i ˆ0 ˆ1 X i ei
式中， ei 称为（样本）残差（或剩余）项（residual），代表
了其他影响Yi 的随机因素的集合，可看成是 i 的估计量ˆ i 。
相应旳函数：
E(Y | X i ) f ( X i )
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
回归分析理论及其在运筹决策中的应用
回归分析理论及其在运筹决策中的应用回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系，并预测因变量的值。
它是一种广泛应用于各个领域的分析工具，特别是在运筹决策中。
本文将简要介绍回归分析的基本原理，并探讨其在运筹决策中的应用。
一、回归分析的基本原理回归分析是通过建立一个数学模型来描述和预测因变量与自变量之间的关系。
常见的回归分析方法包括线性回归、多项式回归、逻辑回归等。
在这些方法中，线性回归是最常用的一种。
线性回归模型可以表示为：Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε其中Y是因变量，X₁、X₂、...、Xₚ是自变量，β₀、β₁、β₂、...、βₚ是回归系数，ε是误差项。
回归分析的目标是估计回归系数，以及判断它们是否显著，从而确定自变量与因变量之间的相关性。
二、回归分析在运筹决策中的应用1. 需求预测：回归分析可以用于预测市场需求，帮助企业制定合理的生产计划和库存管理策略。
通过收集历史销售数据和相关的市场因素，如广告费用、季节性因素等，可以建立一个需求预测模型，并基于模型进行销售预测。
2. 成本分析：回归分析可以用于估计成本与产量之间的关系，帮助企业制定成本控制策略和定价策略。
通过收集生产数据和相关的成本指标，如原材料成本、人工成本等，可以建立一个成本-产量模型，并通过模型分析成本的变化规律。
3. 绩效评估：回归分析可以用于评估员工绩效与各种因素之间的关系，帮助企业进行绩效管理和激励机制设计。
通过收集员工的个人信息和绩效数据，如工作经验、教育背景等，可以建立一个绩效评估模型，并通过模型分析不同因素对绩效的影响程度。
4. 风险评估：回归分析可以用于评估风险因素与业务绩效之间的关系，帮助企业进行风险管理和决策规划。
通过收集风险因素的历史数据和业务绩效指标，如市场份额、利润率等，可以建立一个风险评估模型，并通过模型分析风险因素对业务绩效的影响程度。
5. 市场分析：回归分析可以用于分析市场因素对销售额的影响，帮助企业了解市场趋势和竞争态势。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
计量经济学重点
计量经济学重点引言计量经济学是经济学的一个重要分支，旨在通过使用统计学和数学方法来对经济理论进行实证分析。
它的核心目标是通过利用经济数据和数学经济理论的相互关系，解释经济现象，并提供经济政策的科学依据。
本文将介绍计量经济学的一些重要概念和方法，用以帮助读者更好地理解和应用计量经济学。
一、回归分析回归分析是计量经济学中最基本的统计方法之一。
它用于研究因果关系和预测变量之间的关系。
回归分析的核心思想是找到一个最佳的函数来解释因变量和自变量之间的关系。
在回归分析中，因变量是我们希望解释或预测的变量，而自变量是我们认为与因变量相关的变量。
通过建立数学模型并对数据进行估计，我们可以得到最佳的函数来解释因变量和自变量之间的关系。
常用的回归模型包括线性回归模型、多元回归模型和非线性回归模型等。
二、时间序列分析时间序列分析是计量经济学中研究时间序列数据的一种方法。
时间序列数据是按照时间顺序排列的观测值序列，如股票价格、GDP增长率等。
时间序列分析的目标是建立一个统计模型来描述数据的变化趋势和周期性，并进行预测。
时间序列分析涉及到许多重要的概念，包括平稳性、滞后项、自相关性和滑动平均等。
通过对时间序列数据的建模和分析，可以揭示数据背后的规律和趋势，为经济决策提供重要的参考。
三、计量经济学中的假设检验在计量经济学中，假设检验是一个非常重要的工具，用于验证经济模型的有效性和推断。
假设检验的核心思想是根据样本数据对经济理论中的假设进行检验。
假设检验通常包括一个原假设和一个备择假设。
原假设是对经济理论的一个特定假设进行的陈述，备择假设是对原假设的一个否定陈述。
通过计算统计量和确定显著性水平，可以对原假设做出决策，判断是否拒绝原假设。
一些常见的假设检验方法包括t检验、F检验和卡方检验等。
通过假设检验，我们可以评估经济理论的有效性，并对经济政策和决策提供科学依据。
四、面板数据分析面板数据分析是计量经济学中应用最广泛的方法之一，用于处理同时包含多个数据点和时间点的数据集。
回归分析模型在市场营销中的应用研究
回归分析模型在市场营销中的应用研究随着经济的快速发展，市场竞争日益激烈，企业需要采取更好的营销策略来吸引消费者。
如何准确地把握消费者心理和行为，为企业提供更好的战略决策，是市场研究的重要任务。
回归分析模型是市场研究常用的一种方法，本文将从理论和实践角度出发，阐述回归分析模型在市场营销中的应用研究。
一、回归分析模型理论基础回归分析模型是一种统计方法，主要用于解释自变量与因变量之间的关系。
其中，自变量是预测变量，因变量是被预测变量。
在回归分析模型中，自变量与因变量之间的关系可以通过线性回归、非线性回归、多元回归等方式进行建模。
在理论上，回归分析模型可以通过数学公式进行表达。
例如，简单线性回归可以表示为y = α + βx + ε，其中y是因变量，x是自变量，α是截距，β是回归系数，ε是误差项。
这个模型的解释可以简单地理解为y随着x的变化而变化，其中α是y与x都为0时的取值，β表示y随着x变化的速率，ε表示模型的误差部分。
二、回归分析模型在市场营销中的应用1.品牌营销品牌营销是企业提高产品知名度和市场占有率的方式，利用回归分析模型可以预测品牌影响力与消费者购买行为之间的关系。
例如，通过分析广告、促销以及竞争对手等各种因素，建立品牌知名度与消费者购买行为之间的回归模型，企业可以制定更为精准的品牌营销策略。
2.市场定价市场定价是企业制定产品价格的重要策略，利用回归分析模型可以预测价格与销量之间的关系，为企业提供市场策略建议。
例如，通过收集消费者对某产品的价格评价和购买意向数据，建立价格与销量之间的回归模型，企业可以确定最优价格和销售策略。
3.市场预测市场预测是用于预测未来市场趋势和消费者需求的一种方法。
利用回归分析模型可以对市场需求进行预测，为企业提供决策依据。
例如，通过分析消费者购买行为、市场竞争情况和经济环境等因素，建立市场需求与时间趋势之间的回归模型，企业可以预测未来市场趋势和消费者需求，从而制定更好的销售策略。
第7章-回归分析
则有：
X Y
其对应的最小二乘估计为：
X X X TY
T 1
7.3 多元线性回归分析
土地问题是当今世界令人瞩目的重大经济问题，人口和经济 发展都和土地之间存在着密不可分的联系。人口数（X1）、 粮食总产量（X2）和粮食作物面积（X3）是影响土地面积 （Y）的重要因素。因变量土地面积与三个自变量之间呈线 形相关，因此用三元线形回归方程来分析
Q
2
y y
i
2
注意：1、r与Q成反比例关系； 2、以上为多元回归分析的相关系数的通用形式。 当r大于某一给定的临界值时，通过相关性检验，否则不通过。
7.2.3 相关性检验
1.
2.
r 的取值范围是 [0,1]
|r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关
其中：x , y 是样本均值；
Sxy xi x yi y
7.2.2 结果及解释
最后得到我国技术贸易额与GDP的关系（亿元）：
y 69.8587 0.0073x
技术贸易（Technology Transactions） 是我国市场体 系的重要部分,是链接科研和生产的桥梁和纽带,属 于市场体系中的生产要素市场.涉及与技术开发、技 术转让、技术咨询、技术服务相关的技术交易活动 及相关主体。
解释：1、技术贸易只有在GDP=69.8587/0.0073 =9452.1之后才能产生； 2、每单位GDP可带动0.0073个单位的技术贸 易交易。
7.2.3 相关性检验
对回归模型描述实际数据的近似程度，也即对所得的 回归模型的可信程度进行检验，称为相关性检验。
r 1
ˆ yi yi
第六章回归分析误差理论与数据处理费业泰-PPT课件
第一节
回归分析的基本概念
二、回归分析思路
1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经 验公式； 2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。
合肥工业大学
误差理论与数据处理
第二节
一、回归方程的确定
19.1
76.30
一元线性回归
一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。
N
一元线性回归
x
t 1 N t 1
N
t
y
t
t
(x
t 1 N
x)
2
N
t 1
1 N xt ( xt ) 2 N t 1
2
(x
t 1 N
t
x )( yt y )
N
t 1
N 1 N x t y t ( x t )( y t ) N t 1 t 1
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。
合肥工业大学 误差理论与数据处理
第二节
一元线性回归
（二）回归方程显著性检验— F检验法 基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越 大Q越小说明y与x的线性关系愈密切。 计算统计量F
U / U F Q / Q
例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：
25.0
77.80
30.1
79.75
36.0
80.80
40.0
82.35
46.5
83.90
50.0
85.10
散点图：
84 82 80 78 76 2025 30 35 40 45 50 误差理论与数据处理
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们预测未来的趋势，分析变量之间的影响关系，以及找出影响因变量的主要因素。
本文将介绍回归分析的基本概念、常见方法和实际应用。
首先，回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种基本类型。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，而多元线性回归则是指有多个自变量和一个因变量的情况。
在进行回归分析时，我们需要先确定自变量和因变量的关系类型，然后选择合适的回归模型进行拟合和预测。
常见的回归模型包括最小二乘法、岭回归、Lasso回归等。
最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化残差平方和来找到最佳拟合直线或曲线。
岭回归和Lasso回归则是在最小二乘法的基础上引入了正则化项，用于解决多重共线性和过拟合的问题。
选择合适的回归模型可以提高模型的预测准确性和稳定性。
在实际应用中，回归分析可以用于市场营销预测、金融风险评估、医学疾病预测等领域。
例如，我们可以利用回归分析来预测产
品销量与广告投放的关系，评估股票收益率与市场指数的关系，或
者分析疾病发病率与环境因素的关系。
通过回归分析，我们可以更
好地理解变量之间的关系，为决策提供可靠的依据。
总之，回归分析是一种强大的统计工具，可以帮助我们理解变
量之间的关系，预测未来的趋势，并进行决策支持。
在实际应用中，我们需要选择合适的回归模型，进行数据拟合和预测分析，以解决
实际问题。
希望本文对回归分析方法有所帮助，谢谢阅读！。
回归分析理论的发展与应用
回归分析理论的发展与应用回归分析是重要统计推断方法。
在实际应用中，回归分析是数理统计学与实际问题联系最为紧密，应用范围最为广泛，也是收效最为显著的统计分析方法；是分析数据，寻求变量之间关系有力的工具。
随着科学技术的发展，生物、医学、农业、林业、经济、管理、金融、社会等领域的许多实际新问题提出，有力地推动了回归分析的发展。
回归分析的研究主要是回归模型的参数估计、假设检验、模型选择等理论和有关计算方法。
一、经典回归模型经典回归模型分为线性回归模型和非线性回归模型。
线性回归模型是最基本的，也最简单的情形。
线性回归模型是回归模型学习的起点，在现行的概率统计教材和其它应用性的教材中都有该模型的分析和应用。
线性回归模型虽然简单，但比较有用，在许多实际应用工作发挥了很大作用。
非线性回归模型是上世纪六十年代初提出的，它是线性模型的自然推广，非线性回归模型现已发展成为近代回归分析的一个重要研究分支。
在实际应用中严格符合线性回归模型规律的问题并不多见，大多数问题可以近似为线性回归模型，在不少情形下，用非线性回归模型去拟合给定的数据集可能更加符合实际。
在经典回归模型研究中，通常假设响应变量的期望关于模型的未知参数是线性的或非线性的，随机误差是相互独立的，随机误差服从期望为零，方差相同的正态分布，其模型为：，t=1，2，…，n （1）其中为m维回归系数向量，(t=1，2，…，n)为随机误差，且满足Gauss-Markov假设：(1)随机误差期望为零，即，t=1，2，…，n；(2)随机误差具有等方差，即，t=1，2，…，n；(3)随机误差彼此不相关，即i≠j，i，j=1，2，…，n。
在Gauss-Markov假设中，假设（1）表明误差项不包含任何系统的趋势，因而，响应变量的均值，t=1，2，…，n。
即响应变量的大于或小于其均值的波动完全是一种随机性的，这种随机性来自误差；假设（2）表明误差项是等方差，即要求响应变量在其均值附近的波动完全是一样的，这种要求比较苛刻，一般情况，应该放松，t=1，2，…，n；假设（3）表明响应变量在不同次的观测是不相关的，这种假设在实际应用中比较容易满足，但在一些实际问题中，特别是与时间相联系的问题中，误差往往是相关的。
回归分析理论在高坪水库安全加固工程质量控制中的应用
则 回归数 学模 型 ：
２ ）
＝
∑ （ 一 ＝１３１， ） ．７ １
ｉ ｌ ＝ ｉ １ ＝
式中 Ｕ＝
＞ Ｆ
一
＝Ｌ／ Ｑ ＝Ｌ ￣Ｌ ， ｙ 一Ｕ 。
根 据 回归分 析 理 论 ， 给定 的显 著 性 水 平 ， Ｆ 对 若
， Ｊ ＝∑ （ 一 ）ｙ一 ） ７． ， （ ＝８ ８ ０
∑（ 一 ｙ ）
５， ｇ￣ ｉ ｙ
式 中
对 于 上述 的预 报 变量 与 响应变 量之 间的直 线关 系 ， 需 用拟 合 分析 方法 进行 检验 ， 验上 式是 否 存在 近似 直 检 线关 系 ， 若存 在 近似 直线 关 系 ， 假设 结果 成 立 ， 则 若假设
调质 量 同样 也会 造 成进 度滞 后 和投资 增 加 ， 须合 理 地 必
作者 简 介 ： 林 红 （９ ３一） 男 ， 程 师 ， 事 水 利 水 电 工 程 质 量 监 督 管理 工 作 。 张 １７ ， 工 从
・
８ ・ ７
２１ ０ １年 ８月 第 ８期
张林红 ， ： 等 回归分析理论在 高坪水 库安全加 固工程质 量控 制中的应 用
Ｆ
Ｆ（ ，
高坪水 库 是一 座 以 防洪 、 市 和 工业 供 水 、 溉 为 城 灌
设 响应 变 量 Ｙ是 由两部 分叠 加 而成 ， 一部 分是 预报 变 量 的 线性 函数 。＋ ， 一 部 分是 随 机 因 素 ， 此 可 另 据 得 到数 学模 型 Ｙ＝卢 。＋卢 ＋ 。 同时 根 据 最 小 二 乘估
Ｌ ：∑ （ 一 （ ） ））一 ， ，
：
回归分析
式
分
别
a 和
i
b的 a −
, 得 0 ) = 0
− 2 − 2 n a = + a
∑ ∑
− (Y X +
i i
− b X a
i = 1
i
− b X
∑ ∑
b
=
i n
b
n
i = 1 n
∑
i = 1
i n
Y
i = 1
i
∑
−
X X
i
i = 1
i
b
∑
X
2 i
i = 1
= =
∑
( X
n
i = 1
i
) (Y − X
Yi
) Y
∑
i =1
) 2 (Y i − Y ) +
n
∑
) (Y − Y ) 2 = S S R + S S E
Y
i =1
SST = SSR = = b
n 2
∑
n
i =1
(Yi − Y ) 2 = S YY
n ) 2 ( Y − Y ) = ∑ [( a + b X ) − ( a + b X )] 2 i =1
− Y ) = )
2
∑
a Y −
( X
S S
X Y X X
i = 1
b X
上式的进一步求解： 上式的进一步求解：
S
X Y
=
n
∑
X
i
( X
i = 1
i n
−
X X
) ( Y
n i
− Y
i
第二章 回归分析的基本思想
第二章回归分析的基本思想第一节回归分析的含义回归分析的基本思想根据经济理论建立计量经济学模型时，计量经济学家会大量地用到回归分析（Regression Analysis）技术，这一节我们将根据最简单的线性回归模型--双变量模型介绍回归分析的基本思想。
回归分析的含义回归分析是研究一个变量与另一个（或一些）变量依赖关系的计算方法和理论。
其中，前一个变量称为被解释变量（Explained Variable）或因变量（Dependent Variable），后一个变量称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。
在本书中，为统一符号，统一用y表示因变量，x代表自变量，如果有多个自变量，则用适当的下标表示各个不同的自变量，如有n个自变量，则用x1，x2，…，xn表示。
例如，我们可能对某种商品的需求量与该商品的价格、消费者的收入以及其他竞争性商品的价格之间的关系感兴趣；可能对失业率变动与产出增长之间的关系感兴趣；可能对股票价格指数与利率、GDP增长率等因素之间的关系感兴趣；可能对职工工资与受教育年限之间的关系感兴趣；也可能对购买书报支出金额与收入之间的关系感兴趣。
在这些例子中，有的有理论基础，如需求定理就提供了这样的一个理论基础，即某种产品的需求量依赖于该产品的价格、消费者的收入以及竞争性产品的价格等因素；而奥肯定律则表明失业率的降低依赖于实际产出的增长。
一、回归分析与因果关系要特别注意的是，变量之间的因果关系是回归分析的前提，在被解释变量与解释变量之间存在因果关系的基础上，才能进行回归分析，否则，回归分析没有任何意义。
例如，某段时间内，河水与股市都上涨，显然，如果进行回归分析，则也能建立起回归模型，但得到的结果没有什么意义，因为，河水的上涨与股市的上涨之间并没有什么依赖关系。
二、回归分析与相关分析相关分析是讨论变量之间相关程度的一种统计分析方法。
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析定义：利用数据统计原理，对大量统计数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程(函数表达式)，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法。
分类：1. 根据因变量和自变量的个数来分类：一元回归分析；多元回归分析；2. 根据因变量和自变量的函数表达式来分类：线性回归分析；非线性回归分析；几点说明：1. 通常情况下，线性回归分析是回归分析法中最基本的方法，当遇到非线性回归分析时，可以借助数学手段将其化为线性回归；因此，主要研究线性回归问题，一点线性回归问题得到解决，非线性回归也就迎刃而解了，例如，取对数使得乘法变成加法等；固然，有些非线性回归也可以直接进行，如多项式回归等；2. 在社会经济现象中，很难确定因变量和自变量之间的关系，它们大多是随机性的，惟独通过大量统计观察才干找出其中的规律。
随机分析是利用统计学原理来描述随机变量相关关系的一种方法；3. 由回归分析法的定义知道，回归分析可以简单的理解为信息分析与预测。
信息即统计数据，分析即对信息进行数学处理，预测就是加以外推，也就是适当扩大已有自变量取值范围，并承认该回归方程在该扩大的定义域内成立，然后就可以在该定义域上取值进行“未来预测”。
固然，还可以对回归方程进行有效控制；4. 相关关系可以分为确定关系和不确定关系。
但是不管是确定关系或者不确定关系，只要有相关关系，都可以选择一适当的数学关系式，用以说明一个或者几个变量变动时，另一变量或者几个变量平均变动的情况。
相关关系线性相关非线性相关彻底相关不相关正相关负相关正相关负相关回归分析主要解决的问题：回归分析主要解决方面的问题；1. 确定变量之间是否存在相关关系，若存在，则找出数学表达式；2. 根据一个或者几个变量的值，预测或者控制另一个或者几个变量的值，且要估计这种控制或者预测可以达到何种精确度。
回归模型：回归分析步骤：1. 根据自变量与因变量的现有数据以及关系，初步设定回归方程；2. 求出合理的回归系数；3. 进行相关性检验，确定相关系数；4. 在符合相关性要求后， 即可根据已得的回归方程与具体条件相结合， 来确定事物的未来 状况，并计算预测值的置信区间；回归分析的有效性和注意事项：有效性： 用回归分析法进行预测首先要对各个自变量做出预测。
统计理论7_单因素回归分析
单因素回归分析版权所有：多多医善•变量间关系的度量•一般线性回归•Logistic回归•Cox比例风险模型变量间关系的度量◆函数关系◆是一一对应的确定关系◆设有两个变量x 和y ，变量y 随变量x 一起变化，并完全依赖于x ，当变量x 取某个数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称y 是x 的函数，记为y = f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量◆各观测点落在一条线上版权所有：多多医善变量间关系的度量◆相关关系◆变量间关系不能用函数关系精确表达◆一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定◆当变量x 取某个值时，变量y 的取值可能有几个◆各观测点分布在直线周围版权所有：多多医善变量间关系的度量◆相关系数◆r 的取值范围是[-1,1]◆|r|=1，为完全相关◆r =1，为完全正相关◆r =-1，为完全负正相关◆r = 0，不存在线性相关关系◆-1≤r<0，为负相关◆0<r≤ 1，为正相关◆|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切版权所有：多多医善变量间关系的度量相关系数版权所有：多多医善变量间关系的度量相关系数版权所有：多多医善变量间关系的度量◆相关系数的显著性检验◆r 的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化：当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r的抽样分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数ρ很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。
而当ρ远离0时，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态。
◆当ρ为较大的正值时，r 呈现左偏分布；当ρ为较小的负值时，r 呈现右偏分布。
只有当ρ接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量。
◆检验两个变量之间是否存在线性相关关系等价于对回归系数b1的检验，采用R.A.Fisher提出的t 检验。
版权所有：多多医善回归分析◆回归分析的概念◆从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式◆对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著◆利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度版权所有：多多医善回归分析◆回归分析与相关分析的区别◆相关分析中，变量x 变量y 处于平等的地位；回归分析中，变量y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化◆相关分析中所涉及的变量x 和y 都是随机变量；回归分析中，因变量y 是随机变量，自变量x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量◆相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x 对变量y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制版权所有：多多医善回归分析回归分析的类型版权所有：多多医善一般线性回归◆涉及一个自变量的回归◆因变量y与自变量x之间为线性关系◆被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示◆用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示◆因变量y与自变量x之间为线性关系◆主要用于线性关系的预测和估计版权所有：多多医善一般线性回归模型◆描述因变量y 如何依赖于自变量x 和误差项的方程称为回归模型◆一般线性回归模型可表示为y = β0 + β1 x + ε◆y 是x 的线性函数(部分)加上误差项◆线性部分反映了由于x 的变化而引起的y 的变化◆误差项ε是随机变量，反映了除x 和y 之间的线性关系之外的随机因素对y 的影响，是不能由x和y 之间的线性关系所解释的变异性◆β0 和β1 称为模型的参数版权所有：多多医善一般线性回归方程◆描述y 的平均值或期望值如何依赖于x 的方程称为回归方程◆一般线性回归方程的形式如下E( y ) = β0+ β1 x◆方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程◆β0 是回归直线在y 轴上的截距，是当x=0 时y的期望值◆β1 是直线的斜率，称为回归系数，表示当x 每变动一个单位时，y 的平均变动值版权所有：多多医善一般线性回归方程◆一般线性回归方程的最小二乘估计◆使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得β0 和β1 的方法。
8.回归分析方法
2.一元线性回归分析法
2.一元线性回归分析法
实际值
Syy
Q U
理论值
一元线性回归分析法
2.一元线性回归分析法
a y bx
x y x y b x x x
i i 2 i i i
2.一元线性回归分析法
2.一元线性回归分析法
相关性检验 X，y之间是否真的有回归模型描述的关系？ 回归方程的可信性：回归方差占总方差的比重：
ˆ 4、将 a, b 两个参数值代入 y a bx
5、根据
ˆ 中求出 y
值；
ˆ y 值正负或大小，说明相关程度
6、如有要求；编制相关分析图。
2.一元线性回归分析法
张秀
等 运用布拉德福定律测定检索工具的完整性 情 报科学 2006，24（1）：69-73 CNKI期刊数与发表论文数的分布
0.8539
f n2927
查相关系数临界值表 因为 所以回归方程在
R0.01 0.7977
R R0.01
的检验水平下有统计意义。 0.01
即可以认为大豆的蛋白质含量与脂肪含量有线性相关性。
第一节 简单线性回归方法 二、多元线性回归模型
1. 多元线性回归模型
2. 多元线性回归系数的确定
儿子身高与父母身高发现父母的身高可以预测子女的身高两者近乎一条直线当父母越高或越矮时子女的身高会比一般儿童高或矮儿子与父母身高的这种现象拟合出一种线形关系其回归直线方程为33730516x这种趋势及回归方程表明
第八章 回归分析法
1.概述:回归的概念
Francis
Galton：神童，与达尔文 同一个外祖父。 特立独行、知识渊博而又毁誉不一。 人体测量学、实验心理学、生物统计学、地理学、遗 传学…… 优生学：“种族主义者和法西斯蒂的精神领袖和鼻
Stata面板数据回归分析理论与实践
Stata面板数据回归分析理论与实践面板数据回归分析是计量经济学中一种常用的经验分析方法，它结合了时间序列数据与横截面数据的特点，能够有效地控制个体之间的异质性，并提供更为准确的估计结果。
Stata软件作为一种功能强大、使用方便的统计分析工具，广泛应用于面板数据回归分析的实践中。
本文将介绍Stata面板数据回归分析的基本理论和实践技巧。
一、面板数据回归分析的基本理论面板数据回归分析要求样本数据包含时间维度和个体维度，其中时间维度表示时间序列，个体维度表示横截面数据。
在进行面板数据回归分析之前，需要对数据进行合理的整理和准备工作。
首先，应对数据进行面板单位的定义和标识，即确定个体和时间的标识符。
常见的面板单位标识符有个体编号和时间标识，可以用数字或字符进行表示。
其次，需要进行面板数据的平衡性检验。
平衡面板数据是指同一时间期内没有个体缺失的数据，通常是为了保证面板数据的可靠性而进行的处理。
最后，应对面板数据进行描述性分析，包括统计个体和时间的数量、观测变量的分布情况等。
这些分析可以帮助我们更好地理解数据的特征和结构。
二、Stata面板数据回归分析的实践技巧在使用Stata软件进行面板数据回归分析时，需要掌握一些常用的命令和技巧，以便有效地进行数据操作和模型估计。
1. 面板数据的导入和保存使用Stata软件导入面板数据的基本命令是"import"，可以导入多种格式的数据文件，如Excel文件、文本文件等。
导入后的数据可以使用"save"命令保存为Stata数据文件格式，方便后续的分析和处理。
2. 面板数据的变量操作在进行面板数据回归分析时，可能需要对数据进行变量操作，如生成新的变量、删除不需要的变量等。
Stata提供了一系列的命令，如"generate"、"drop"等，可以帮助我们方便地进行变量操作。
3. 面板数据的描述性统计通过Stata软件提供的命令，可以对面板数据进行描述性统计，包括计算平均值、标准差、相关系数等统计量。
第四章Minitab相关与回归分析
4.点击Stat-Regression-Regression，弹出：
因变量y 自变量x
点击OK
结果输出：
结果输出(续)：
预测方程 系数的t检验 拟合优度R2
方程的F检验
一元线性回归模型预测
回归预测分为点预测和区间预测两部分
1.点预测的基本公式：
yˆ f a bx f
回归预测是一种有条件的预测，在进行回归预 测时，必须先给出xf的具体数值。 2.预测误差及发生预测误差的原因。
关
|r|=0 不存在线性关系或存在非线性相关；
系
数 值： |r|＝1 完全线性相关
0<|r|<1不同程度线性相关(0~0.3 微弱；0.3~0.5 低度；
0.5~0.8 显著；0.8~1 高度)
符号：r>0 正相关；r<0 负相关
相关系数的检验：
相关系数的检验( t 检验)
H0 : ρ=0, H1 : ρ≠0
输入数据，点击
Graph-Scatterplot
绘制散点图：
2.弹出如下对话框：选择销售量资料C2进入因变 量Y，广告费支出C1进入自变量X，点击OK将绘制 Y与X的散点图。
点击OK
散点图结果及意义：
3.从此散点图 可以看出：销 售收入C2与 广告费支出 C1间存在着 明显的线性相 关关系，我们 可以进一步建 立回归模型对 其进行分析。
相关分析及其实现
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联 系的重要统计方法，两者在有关现实经济和管理 问题的定量分析中，具有广泛的应用价值。
变量之间关系 相关关系 函数关系
因果关系 互为因果关系 共变关系 确定性依存关系
随机性 依存 关系
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一、多元线性回归
表达式：
1、b=regress(Y,X)确定回归系数的点估计值
2、[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型
①bint表示回归系数的区间估计.
②r表示残差
③rint表示置信区间
④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F 对应的概率p
说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；
时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0
⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05)
3、rcoplot(r,rint)画出残差及其置信区间
4、实例演示，函数使用说明
(1)输入数据
(2)回归分析及检验
运行结果解读如下
参数回归结果为
，对应的置信区间分别为[-33.7017,1.5612]和[0.6047,0.834]
r2=0.9282(越接近于1，回归效果越显著)，F=180.9531，p=0.0000，由p<0.05,可知回归模型y=-16.073+0.7194x成立
(3)残差分析作残差图
从残差图可以看出，除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点。
(4)预测及作图
二、一元多项式回归
1、一元多项式回归函数
(1)[p,S]=polyfit(x,y,m)确定多项式系数的MATLAB命令
说明：x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)；p=(a1,a2,…,am+1)是多项式
y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1的系数；S是一个矩阵,用来估计预测误差
(2)polytool(x,y,m)调用多项式回归GUI界面，参数意义同polyfit
2、预测和预测误差估计
(1)Y=polyval(p,x)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y
(2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.5
3、实例演示说明
观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s的表达式(即回归方程s=a+bt+ct2)
t(s)1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30
s(cm)11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13
t(s)8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30
s(cm)61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48
解法一：直接作二次多项式回归
故回归模型为
解法二：化为多元线性回归
故回归模型为：
预测及作图
三、多元二项式回归
1、多元二项式回归Matlab命令
rstool(x,y,'model',alpha)
输入参数说明：
x：n*m矩阵；
Y：n维列向量；
alpha：显著性水平(缺省时为0.05)；
mode：由下列4个模型中选择1个(用字符串
2、实例演示说明
设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量
需求量100 75 80 70 50 65 90 100 110 60
收入1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300
价格5 7 6 6 8 7 5 4 3 9
解法一：选择纯二次模型
在x1对应的文本框中输入1000，X2中输入6，敲回车键，此时图形和相关数据会自动更新
此时在GUI左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.47981，表示平均收入为1000、价格为6时商品需求量为88.4791
点击左下角的Export按钮，将会导出回归的相关参数beta、rmse和residuals到工作空间(workspace)
在Export按钮下面可以选择回归类型
在Matlab命令窗口中输入
将得到如下结果
故回归模型为
解法二：将上面饿模型转换为多元线性回归
1.1.2 求数字特征
例2 已知50个数据x=[451.42 43.895 27.185 312.69 12.863 383.97 683.1 292.842 35.338 612.4 608.54 15.76 16.355 190.07 586.92 57.581 367.57 631.45 717.63 692.67 84.079 454.36 441.83 353.25 153.61 675.64 699.21 727.51 478.38 554.84 121.05 450.75 715.88 892.84 273.1 254.77 865.6 232.35 804.87 908.4 231.89 239.31 49.754 78.384 640.82 190.89 843.87 173.9 170.79 994.3]，计算其数字特征。
输入数据，利用下列提供的函数可以求得各数字特征。
min(x): 向量x的元素的最小值
max(x): 向量x的元素的最大值
mean(x): 向量x的元素的算术平均值
geomean(x):向量x的元素的几何平均值
（n个正数的连乘积的n次算术根叫做这n个数的几何平均数）
median(x): 向量x的元素的中位数
var(x):向量x的元素的方差
std(x): 向量x的元素的标准差
diff(x): 向量x的相邻元素的差
sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting）
length(x): 向量x的元素个数
sum(x): 向量x的元素总和
prod(x): 向量x的元素总乘积
原理
表征依变数Y的变异中有多少百分比,可由控制的自变数X来解释.
相关系数（coefficient of correlation）的平方即为决定系数。
它与相关系数的区别在于除掉|R|=0和1情况，
由于R2<R,可以防止对相关系数所表示的相关做夸张的解释。
决定系数：在Y的总平方和中，由X引起的平方和所占的比例，记为R2(R的平方)
决定系数的大小决定了相关的密切程度。
当R2越接近1时，表示相关的方程式参考价值越高；相反，越接近0时，表示参考价值越低。
这是在一元回归分析中的情况。
但从本质上说决定系数和回归系数没有关系，就像标准差和标准误差在本质上没有关系一样。
在多元回归分析中，决定系数是通径系数的平方。
表达式：R^2=SSR/SST=1-SSE/SST
其中：SST=SSR+SSE，SST (sum of squares for total)为总平方和，SSReg (sum of squares for regression为回归平方和，SSE (sum of squares for error) 为残差平方和。
注：（不同书命名不同）
回归平方和：SSR(Sum of Squares for regression) = ESS (explained sum of squares)
残差平方和：SSE（Sum of Squares for Error）= RSS (residual
sum of squares)
总离差平方和：SST(Sum of Squares for total) = TSS(total sum of squares)
SSE+SSR=SST RSS+ESS=TSS
意义：拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。
观察点在回归直线附近越密集。
取值范围：0-1.
作用
编辑
判定系数只是说明列入模型的所有解释变量对因变量的联合的影响程度，不说明模型中单个解释变量的影响程度。
对时间序列数据，判定系数达到0.9以上是很平常的；但是，对截面数据而言，能够有0.5就不错了。
用例
编辑
判定系数达到多少为宜？
没有一个统一的明确界限值；
若建模的目的是预测因变量值，一般需考虑有较高的判定系数。
若建模的目的是结构分析，就不能只追求高的判定系数，而是要得到总体回归系数的可信任的估计量。
判定系数高并不一定每个回归系数都可信任。