巩固定理.1 勾股定理(沪科版)
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弦 勾 股
受台风影响，一棵树在离地面4米处断 裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
4米
3米
相传2500年前，一次，毕 达哥拉斯去朋友家作客．在宴 席上他看着朋友家的方砖地面 发起呆来．主人觉得非常奇怪， 就想过去问他．谁知毕达哥拉 斯突然恍然大悟的样子，站起 来，大笑着跑回家去了.后来知 道是因为他从中发现了直角三 毕达哥拉斯 角形三边的数量关系，赶着回 (公元前572----前 家证明去了。 492年),古希腊著名 那么，他朋友家的地板到底 的哲学家、数学家、 是怎样呢？我们也观察一下看看 天文学家。 能发现什么？
B A C 图1 每个小方格的面积均为1 A的面 积 B的面 积 C的面 积
图1 图2
A、B、C 面积关系 直角三角 形三边关 系
4 9
9 25
13 34
Aa
c
b
B
C
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
图2
a2+b2=c2
设：直角三角形的 三边长分别是a、b、c， 猜想:两直角边a、b与 斜边c 之间的关系？
c
运用勾股定理时应注意： ⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边； ⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。
学以致用
4、在 ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,
则ABC面积为____, 24 斜边为上的高为_____. 4.8
5、已知：△ABC，AB＝AC＝17，
A
15 BC＝16，则高AD＝＿＿＿， 120 . S△ABC＝＿＿＿
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
2 a
+
2 b
=
2 c
即:直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。 在西方又称毕达哥拉 斯定理！
A
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方
பைடு நூலகம்
c2=a2 + b2 b c
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
赵爽弦图
有趣的总统证法: 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在 数学史上被传为佳话
a b
c
c b
a
1 S 梯 形 (a b )( a b ) 2 1 1 1 2 S 梯形 ab ab c 2 2 2
2 a
+
2 b
=
2 c
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称 为"股"。我国古代学者把直角三角形较 短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
解：根据勾股定理得： C 2 2 2 AC = 6 + 8 =36+64 =100 即：AC=10（不合题意，舍去） 8m 答：梯子至少长10米。
B
D C
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是 售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
∵
582 + 462 = 5480
即 742 = 5476
∴售货员没搞错
荧屏对角线大约为74厘米
1 、如图，学校有一块长方形花园，有极 少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 4 步路, 却踩 出了一条“路”，仅仅少走了____ 伤了花草。 （假设1米为2步） 4 C B
“路”
5
3
A
2、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了 安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为6 米，问至少需要多长的梯子？
判断题：
①直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一 定满足下面的式子： a2+b2 =c2 第三边长是5. ( (
× ×
).. )
②直角三角形的两边长分别是3和4，则
学以致用 1、如图已知a＝3，b＝4
a
c
b
求c=? 2、如图已知： c ＝10，a＝6， 求b=? a 3、如图已知： c ＝13，a＝5， 求阴影部分面积？
=
2 c
a 方 法 一
b c c
a a
b
(2)
b a
c
c
b
b
(3)
(4)
大正方形的面积可以 如何表示？
a
c
(1)
2 a
+
2 b
=
2 c
b
(2)
方 法 二
c
a
c
b
b－ a
(3)
c
c
(4)
大正方形的面积可以 如何表示？
朱实 c 中黄实 b a ( b- a) 2
这个图案公元 3 世纪我 国汉代的赵爽在注解《周髀 算经》时就已经给出，人们 称它为“赵爽弦图”．赵爽 根据此图指出：四个全等的 直角三角形（红色）可以如 图围成一个大正方形，中间 的部分是一个小正方形 （黄色）．
则b=______ 8
2、 ΔABC中，∠C=90º 5 ①若a=3cm, b=4cm,则c= ____cm ②若a=12cm, c=13cm,则b= __ 5 cm ③若c=17cm, a =8cm,则b= 15 __ cm
B
C
A
1、 勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 2、勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 的平方和， 等于斜边c的平方: a2 + b2 = c2 。 3、勾股定理的主要作用是 ：在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长。 4、我们利用“面积法”证明勾股定理，这体 现了数学中数形结合的思想。
2
2
a c b
2
C
b= c2-a2
2
a
B
c a b
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米 处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处， 这棵树折断前有多高？
4米
3米
勾股定理有什么作用呢？ 已知直角三角形任意两边求第三边 一定要在直角三角形中哦！ 1.在△ABC中, ∠C=90°，a =6,c=10,
a
A
C b
c B
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
如果用三角形的边长表示 正方形面积，你会发现等腰直 角三角形三边有什么关系？ 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2 + b2 = c2
将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上 述结论是否依然成立？
分别算出图中各正方形的面积，看看能得出什么结论？
C
a
(1)
b
(2)
利用准备好的四个全等的直 角三角形，a、b表示两条直角边， c表示斜边。
动手实践：这四个全等的直 角三角形可以拼成一个正方 形吗？有些什么不同的方法？ 思考：拼出的正方形面 积用含a、b、c的式子可以 怎么表示？ 能得到我们要证明的结论吗？
(3)
(4)
2 a a
C
(1)
+
2 b
受台风影响，一棵树在离地面4米处断 裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵 树折断前有多高？
4米
3米
相传2500年前，一次，毕 达哥拉斯去朋友家作客．在宴 席上他看着朋友家的方砖地面 发起呆来．主人觉得非常奇怪， 就想过去问他．谁知毕达哥拉 斯突然恍然大悟的样子，站起 来，大笑着跑回家去了.后来知 道是因为他从中发现了直角三 毕达哥拉斯 角形三边的数量关系，赶着回 (公元前572----前 家证明去了。 492年),古希腊著名 那么，他朋友家的地板到底 的哲学家、数学家、 是怎样呢？我们也观察一下看看 天文学家。 能发现什么？
B A C 图1 每个小方格的面积均为1 A的面 积 B的面 积 C的面 积
图1 图2
A、B、C 面积关系 直角三角 形三边关 系
4 9
9 25
13 34
Aa
c
b
B
C
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
图2
a2+b2=c2
设：直角三角形的 三边长分别是a、b、c， 猜想:两直角边a、b与 斜边c 之间的关系？
c
运用勾股定理时应注意： ⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边； ⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。
学以致用
4、在 ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,
则ABC面积为____, 24 斜边为上的高为_____. 4.8
5、已知：△ABC，AB＝AC＝17，
A
15 BC＝16，则高AD＝＿＿＿， 120 . S△ABC＝＿＿＿
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
2 a
+
2 b
=
2 c
即:直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。 在西方又称毕达哥拉 斯定理！
A
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方
பைடு நூலகம்
c2=a2 + b2 b c
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
赵爽弦图
有趣的总统证法: 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在 数学史上被传为佳话
a b
c
c b
a
1 S 梯 形 (a b )( a b ) 2 1 1 1 2 S 梯形 ab ab c 2 2 2
2 a
+
2 b
=
2 c
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称 为"股"。我国古代学者把直角三角形较 短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
解：根据勾股定理得： C 2 2 2 AC = 6 + 8 =36+64 =100 即：AC=10（不合题意，舍去） 8m 答：梯子至少长10米。
B
D C
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是 售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
∵
582 + 462 = 5480
即 742 = 5476
∴售货员没搞错
荧屏对角线大约为74厘米
1 、如图，学校有一块长方形花园，有极 少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 4 步路, 却踩 出了一条“路”，仅仅少走了____ 伤了花草。 （假设1米为2步） 4 C B
“路”
5
3
A
2、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了 安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为6 米，问至少需要多长的梯子？
判断题：
①直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一 定满足下面的式子： a2+b2 =c2 第三边长是5. ( (
× ×
).. )
②直角三角形的两边长分别是3和4，则
学以致用 1、如图已知a＝3，b＝4
a
c
b
求c=? 2、如图已知： c ＝10，a＝6， 求b=? a 3、如图已知： c ＝13，a＝5， 求阴影部分面积？
=
2 c
a 方 法 一
b c c
a a
b
(2)
b a
c
c
b
b
(3)
(4)
大正方形的面积可以 如何表示？
a
c
(1)
2 a
+
2 b
=
2 c
b
(2)
方 法 二
c
a
c
b
b－ a
(3)
c
c
(4)
大正方形的面积可以 如何表示？
朱实 c 中黄实 b a ( b- a) 2
这个图案公元 3 世纪我 国汉代的赵爽在注解《周髀 算经》时就已经给出，人们 称它为“赵爽弦图”．赵爽 根据此图指出：四个全等的 直角三角形（红色）可以如 图围成一个大正方形，中间 的部分是一个小正方形 （黄色）．
则b=______ 8
2、 ΔABC中，∠C=90º 5 ①若a=3cm, b=4cm,则c= ____cm ②若a=12cm, c=13cm,则b= __ 5 cm ③若c=17cm, a =8cm,则b= 15 __ cm
B
C
A
1、 勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 2、勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 的平方和， 等于斜边c的平方: a2 + b2 = c2 。 3、勾股定理的主要作用是 ：在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长。 4、我们利用“面积法”证明勾股定理，这体 现了数学中数形结合的思想。
2
2
a c b
2
C
b= c2-a2
2
a
B
c a b
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米 处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处， 这棵树折断前有多高？
4米
3米
勾股定理有什么作用呢？ 已知直角三角形任意两边求第三边 一定要在直角三角形中哦！ 1.在△ABC中, ∠C=90°，a =6,c=10,
a
A
C b
c B
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
如果用三角形的边长表示 正方形面积，你会发现等腰直 角三角形三边有什么关系？ 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2 + b2 = c2
将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上 述结论是否依然成立？
分别算出图中各正方形的面积，看看能得出什么结论？
C
a
(1)
b
(2)
利用准备好的四个全等的直 角三角形，a、b表示两条直角边， c表示斜边。
动手实践：这四个全等的直 角三角形可以拼成一个正方 形吗？有些什么不同的方法？ 思考：拼出的正方形面 积用含a、b、c的式子可以 怎么表示？ 能得到我们要证明的结论吗？
(3)
(4)
2 a a
C
(1)
+
2 b