3.3运输问题

3.4.3 运输问题的表上作业法
(1)寻找初始可行解的方法-最大差额法（Vogel法）
3. ①如果只剩一行或一列未划去，停止； ②如果只有带正供应量（或需求量）的一行或一列
未划去，则用最小元素法确定分配数量； ③如果所有本划掉的行或列的供需量都是0了，则用
最小元素 法确定分配0给相应的格，然后停止； ④否则，对未划去的行或列再计算次小元素和最小
– （4）线段的转折方向（向上或向下，向左式向右），不受 限制。
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6
5
5
III 5 9 10 2 3 3 4
10
18 7 4 1
3 12 15
3 3 12 12
3.4.3 运输问题的表上作业法
(2)解的最优性检验——闭回路法（踏石法）
例：下表中空格x11有红线所标的闭回路，则其检验数为如图，绿
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
m行
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
原因是运输问题中虽有(m十n)个结构约束条件， 但由于总产量等于总销量，故只有(m+n-1)个 结构约束条件是线性独立的； (4)为使迭代顺利进行，基变量的个数在迭代过程中 保持为(m+n-1)个。
3.4.3 运输问题的表上作业法
采用表上作业法
步骤：
录找初始可行解 最优性检验 若不是最优解，
销地 产地
A1
B1
x11 C11
B2
B3
…..
… x12 C1 x13 C13 2
Bn
x1n C1n
产量
a1
A2
x21 C21
… x22 C2 x23 C23
2
x2n C2n
a2
……
…
…
…
…
Am 销量
Cm1
b1
Cm2
b2
… Cm3
b3
…..
Cmn
am
bn
3.4.1 运输问题的一般数学模型
wenku.baidu.com
各产地产量之和等于各销地的销量之和，则 称为产销平衡 问题，即
分配表{xij}
x13
5
10
18 7 4 1
12 15
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6
5
5
II 5 9 10 2
10
18 7 (4) 1
x33 12 15
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
20 11 3 6
分配表{xij}
5
5 f(x)=121，比
III 5 9 (10) 2 3 3 4
5
3
7 10
5 15
3 3 12 12
分 配 表 {xij}
5
5
3
7 10
3 7 5 15
3 3 12 12
f(x)=98，比 最低费用法 又低了23
3.4.3 运输问题的表上作业法
(2)解的最优性检验——闭回路法（踏石法）
检验解的最优性，要计算（空格）非基变量的检验数， 当所有的非基变量均不小于0时，当前解为最优解。
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6 22 9 5 4 5
III 5 9 10 2 3 3 4 -5 10
18 7 4 1 19 4 3 12 15
3 3 12 12
3.4.3 运输问题的表上作业法
(2)解的最优性检验——位势法（对偶变量法）
• 用闭回路法判定一个运输方案是否为最优方案，需要找出所有空 格的闭回路,并计算出其检验数。当运输问题的产地和销地很多 时，空格的数目很大计算检验数的工作十分繁重，而用对偶变量 法（也称位势法）就要简便得多。
要求空格的检验数，首先要找出它在运输表上的闭回 路。在运输表中，每个空格总可以和基变量的格用水 平和垂直3.2线.2段交替联在一闭合回路上。可以证明每个 空格都唯一存在这样的一条闭回路
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6
5
5
III 5 9 10 2 3 3 4
10
18 7 4 1
元素的差额，并转到步骤2
最大差额法（Vogel法）
• 采用最大差额费用解例3.21
编号
运费 表{wij}
20 11 3 6 3
I
5 9 10 2 3
18 7 4 1 3
13 2 1 1
编号
运 费 表 {wij}
20 11 3 6 3
II
5 9 10 2 7
18 7 4 1 3
13 2 1 1
编号
运 费 表 {wij}
称检验数。当所有非基变量的检验数均大于零时，则已得到最优解。
3.4.3 运输问题的表上作业法
(2)解的最优性检验——闭回路法（踏石法）
• 例：下表中空格x11有红线所标的闭回路，则其检验数为 如图，绿线所示闭回路为空格x12的闭回路，蓝线所示闭 回路为空格x14的闭回路。
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
1. 原理： • 对产销平衡运输问题，若用u1, u2, ... , um分别表示前 m个约束
等式相应的对偶变量，用v1, v2, …, vn 分别表示后n 个等式约束相 应的对偶变量，即有对偶变量向量
Y= （ u1, u2, ... , um, v1, v2, …, vn ） • 这时可将运输问题的对偶规划写成：
3 12 15
3 3 12 12
3.4.3 运输问题的表上作业法
(2)解的最优性检验——闭回路法（踏石法）
• 构造闭回路必须遵循下列原则：
– （1）必须从非基变量出发，并回到原非基变量为止；
– （2）它由连续的水平和垂直线段连接而成．
– （3）这些线段的转折点（拐角点）必须是基变量，为此， 线段可以穿越某些基变量或其他非基变量所在格，
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
n行
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
3.4.3 运输问题的表上作业法
•步骤： –录找初始可行解 –最优性检验 –若不是最优解，则调整，若是，则 结束
3.4.3 运输问题的表上作业法
(1)解X必须满足模型中的所有约束条件， (2)基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关； (3)解中非零变量xij的个数不能大于(m十n-1)个，
3.4.3 运输问题的表上作业法
(2)解的最优性检验——闭回路法（踏石法）
同理，可求出其他空格（非基变量）的检验数： 因为24<0, 则初始解不是最优解。
24 c24 c23 c33 c34 2 10 4 1 5 31 c31 c33 c23 c21 18 4 10 5 19 32 c32 c33 c23 c22 7 4 10 9 4
有n个销地B1, B2, …, Bn ，各销地的销量分别为b1, b2, …, bn
假定从产地Ai （i=1,2, … ,m)运往销地 Bj (j=1,2, … ,n)物品数量为xij，单位物品的运费为cij
列出运价表见下表：
3.4.1 运输问题的一般数学模型
•表3-1, Cij为单位物品的运送费用， xij为运送数量
3.4.2 运输问题数学模型的特点
约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 基变量的个数远小于决策变量的个数 例3.1
销地 产地
A1
B1
x11 20
B2
B3
x12 11 x13 3
Bn
x14 6
A2
x21 5
x22 9 x23 10 x14 2
A3
x31 18
x32 7 x33 4
x34 1
销量
3
3
12
12
产量
5 10 15
3.4.2 运输问题数学模型的特点
• 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 • 基变量的个数远小于决策变量的个数
min ω c11x11c12x12c13x13c14x14 c21x21c22x22c23x23c24x24 c31x31c32x32c33x33c34x34
空中交通系统优化与管理
第3章 线性规划问题
第4节运输问题
主要内容
运输问题的一般数学模型 运输问题数学模型的特点 运输问题的表上作业法
初始调运方案 解的检验 解的调整
产销不平衡的运输问题及其求解方法 应用举例
3.4.1 运输问题的一般数学模型
1. 问题的提出
某种物资有m个产地A1，A2，…，Am，各产地的产量 分别为a1, a2, …, am
m
n
ai bj
i1
j1
否则称为产销不平衡问题
3.4.2 运输问题数学模型的特点
mn
min
cij xij
i1 j1
n
xij ai
j1 m
i1
xij
bj
xij 0
i 1,2,,m 产地约束 j 1,2,,n 销量约束
运输问题有mn个 决策变量，m+n 个 约束条件。由于产 销平衡条件，只有 m+n–1个相互独立， 因此，运输问题的 基变量只有m+n–1 个
2
1
3
销量 bj 3 3
m n 7 有6个基变量
产量
3 4 ai
5
9
10
3 12 15
12 12
34
f (x) wij xij 205
i1 j1
3.4.3 运输问题的表上作业法
(1)寻找初始可行解的方法-最低费用法(最小元素法)
编号
运费表{wij}
20 11 (3) 6
I 5 9 10 2
20 11 3 6 3
III
5 9 10 2 7
18 7 4 1 3
13 4 1 5
编号
运 费 表 {wij}
20 11 3 6 8
IV
5 9 10 2 7
18 7 4 1 3
13 - - 5
分 配表 {xij}
5
3
10
15
3 3 12 12
分 配 表 {xij}
5
3
7 10
15
3 3 12 12
分 配 表 {xij}
20 11 3 6
5
5
III 5 9 10 2 3 3 4
10
18 7 4 1
3 12 15
3 3 12 12
11 c11 c21 c23 c14 20 5 10 3 22 12 c12 c22 c23 c13 11 9 10 3 9 14 c14 c13 c33 c34 6 3 4 1 4
10 西北角法低
18 7 4 1
3 12 15 84
3 3 12 12
3.4.3 运输问题的表上作业法
(1)寻找初始可行解的方法-最大差额法（Vogel法）
• 采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小 之间的差额中选最大)优先分配的原则
• 最大差额法的步骤为： 1. 对于单位运价表的每一行和每一列，都计算出该行 （列）中次小元素和最小元素的差额； 2. 选择具有最大差额的行或列（如果这样的行或列有几 个，可任选一行或列），将尽可能多中单位运价最小 的格。调整供需后划掉已满足的行或列（若有某行和 某列同时满足，则仅划去其中之一）。供应量或需求 量为0的行或列不能再用来计算以后的差额。
x11 x12 x13 x14
a1
x21 x22 x23 x24
a2
x31 x32 x33 x34 a3
x11
x12
x21 x22
x31
b1
x32
b2
x13
x23
x33 b3
x14
x24
x34 b4
3.4.2 运输问题数学模型的特点
约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 基变量的个数远小于决策变量的个数
线所示闭回路为空格x12的闭回路，蓝线所示闭回路为空格x14的闭回路。
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6
5
5
III 5 9 10 2 3 3 4
10
18 7 4 1
3 12 15
3 3 12 12
对x11的闭合回路，若让x11增加1，则其拐点（基变量）须减1或加1 才能维持销量或产量的平衡。
则调整，若是， 则结束。
寻求初始调 运方案
该方案 为最优 方案？
是 已得到最优 方案，停止
否
求出更佳的 调运方案
3.4.3 运输问题的表上作业法
(1)寻找初始可行解的方法-西北角法
从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配 xij 的分配公式
xij
min((baji
i 行已分配的总量) j 列已分配的总量)
改变以后的总运费的改变量为C11- C13 + C32 – C21 ，若C11- C13 + C32 – C21 >=0, 则不能对其进行改变，若C11- C13 + C32 – C21 <0, 则可变后可
让总运费减少。因此我们将11 c11 c21 c23 c14 20 5 10 3 22
i 行尚余物资量 j 列待分物资量
例3.4.1 销地
B1
产地
B2
B3
B4
产量
A1
x11 20
x12 11 x13 3
x14 6
5
A2
x21 5
x22 9 x23 10 x14 2
10
A3
x31 18
x32 7 x33 4
x34 1
15
销量
3
3
12
12
例3.4.1 西北角法
销地
运量
12
产地
1 32