解题方法及提分突破训练：换元法专题
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解：设 ，两式相加，则
原式
例3解方程组
解：设 ， .
原方程组可化为 解得
∴ 即 解得
∴原方程组的解为
而所谓双换元法，就是根据多项式的特征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式，
3.均值换元
例4解方程组
解：由①可设 ， ，
即 ， ，代入②，得
∴ .
∴
∴原方程组的解为
说明：本题若按常规设法，可设 ， ，此时 ， ﹒因为出现了分数，给运算带来麻烦，所以设 ， ，此时 ， ，没有出现分类，使运算变得简捷.
又∵t≥0，
∴t=4．故选B．
巩固强化答案：
1.解：原式
取“均值”，设
原式
2.解：设 ,则
原式=
=
=
=
= .
3.解：原方程可化为：
.①
设 ,则方程①化为：
.②
解方程②,得
.
当 时，
.
解得, .
当 时,
.
解得, 或 .
经检验,知 , , , 都是原方程的解.
所以,原方程的解为 , , , .
4.解：原方程可化为：
当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1，
所以原方程的解为：x1=-2，x2=-1．
故选D．
2.解：把x2+x整体代换为y，
y2+y=6，
即y2+y-6=0．
Hale Waihona Puke Baidu故选A．
3.
4.解：设x2+y2=t．则由原方程，得t2-t-12=0，
∴（t+3）（t-4）=0，
∴t+3=0或t-4=0，
解得，t=-3或t=4；
6.解方程组：
7.计算：
8.解方程组
9.解方程组
10.解方程组
11.解方程组
12.解方程。
13解方程。代入，求方程的解，并检验。
五．参考答案
真题链接答案：
1.解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，
设y=2x+5，
方程能够变为y2-4y+3=0，
∴y1=1，y2=3，
当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2；
2．（2005•温州）用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）
A．y2+y-6=0B．y2-y-6=0C．y2-y+6=0D．y2+y+6=0
3.（2005•兰州）已知实数x满足 的值是（）
A．1或-2B．-1或2C．1D．-2
4．已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（）
换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。
4.系数对称方程换元
例5解方程：
分析：方程的系数相等，上面方程的系数是对称的，能够通过变形后，换元：
变形：，
，
设，
得，可解出方程。
5.倒数换元
例6分解因式
解：原式
四．巩固强化：
1.分解因式：
2.分解因式： .
3.解方程： ；
4.解方程： .
5..解方程： .
详解：换元法主要有双换元、整体换元、均值换元，倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。
三．典题事例
1.整体换元
例1分解因式：
解：设 ，则
原式
评注：此题还能够设 ，或 ，或 。使用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母实行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.
2．双换元
例2分解因式：
.①
设 ,则方程①化为：
.②
解方程②,得
.
当 时,
.
解得, .
当 时,
.
此方程无解.
经检验,知 都是原方程的解.
所以,原方程的解为 .
5.解：原方程可化为：
.
即 .①
设 ,则方程①化为：
.
解得, .
当 时,
.②
解方程②,得
.
当 时,
.③
,
方程③无实数根.
所以,原方程的根为 .
6.解：设 ,则原方程组可化为：
二．名词释义
概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
经验：换元法，能够使用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，实行巧妙的换元，则能够收到事半功倍的效果，现举例说明.
由(2)得, .(3)
将(3)代入(1),得
.
解得, ( 不能为负,舍去).
∴ .
得
解得,
经检验,知 是原方程组的解.
所以,原方程组的解为 .
7.解：设 ,则
原式=
=
= .
8.解：由①，得 .
设 ，则 ， ，
代入②，得 .
∴ .
∴ ， .
∴原方程组的解是
9.解：设 ， .
原方程组可化为 解得
∴ 即 解得
∴原方程组的解为
10.解：设
原方程组可化为解得
∴，解得
11.解：由①可设 ， ，
即 ， ，代入②，得
∴ .
∴
∴原方程组的解为
12.解：方程的分母都含有
故可设，
然后整理可得，
解得中，
求出方程的解，并检验。
13.解：方程变形为
，
即，
方程可通过互为倒数关系换元：
设，然后整理得，
可解得，
解题方法及提分突破训练：换元法专题
一．真题链接
则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（）
A．x1=1，x2=3B．x1=-2，x2=3C．x1=-3，x2=-1D．x1=-1，x2=-2
原式
例3解方程组
解：设 ， .
原方程组可化为 解得
∴ 即 解得
∴原方程组的解为
而所谓双换元法，就是根据多项式的特征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式，
3.均值换元
例4解方程组
解：由①可设 ， ，
即 ， ，代入②，得
∴ .
∴
∴原方程组的解为
说明：本题若按常规设法，可设 ， ，此时 ， ﹒因为出现了分数，给运算带来麻烦，所以设 ， ，此时 ， ，没有出现分类，使运算变得简捷.
又∵t≥0，
∴t=4．故选B．
巩固强化答案：
1.解：原式
取“均值”，设
原式
2.解：设 ,则
原式=
=
=
=
= .
3.解：原方程可化为：
.①
设 ,则方程①化为：
.②
解方程②,得
.
当 时，
.
解得, .
当 时,
.
解得, 或 .
经检验,知 , , , 都是原方程的解.
所以,原方程的解为 , , , .
4.解：原方程可化为：
当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1，
所以原方程的解为：x1=-2，x2=-1．
故选D．
2.解：把x2+x整体代换为y，
y2+y=6，
即y2+y-6=0．
Hale Waihona Puke Baidu故选A．
3.
4.解：设x2+y2=t．则由原方程，得t2-t-12=0，
∴（t+3）（t-4）=0，
∴t+3=0或t-4=0，
解得，t=-3或t=4；
6.解方程组：
7.计算：
8.解方程组
9.解方程组
10.解方程组
11.解方程组
12.解方程。
13解方程。代入，求方程的解，并检验。
五．参考答案
真题链接答案：
1.解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，
设y=2x+5，
方程能够变为y2-4y+3=0，
∴y1=1，y2=3，
当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2；
2．（2005•温州）用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）
A．y2+y-6=0B．y2-y-6=0C．y2-y+6=0D．y2+y+6=0
3.（2005•兰州）已知实数x满足 的值是（）
A．1或-2B．-1或2C．1D．-2
4．已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（）
换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。
4.系数对称方程换元
例5解方程：
分析：方程的系数相等，上面方程的系数是对称的，能够通过变形后，换元：
变形：，
，
设，
得，可解出方程。
5.倒数换元
例6分解因式
解：原式
四．巩固强化：
1.分解因式：
2.分解因式： .
3.解方程： ；
4.解方程： .
5..解方程： .
详解：换元法主要有双换元、整体换元、均值换元，倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。
三．典题事例
1.整体换元
例1分解因式：
解：设 ，则
原式
评注：此题还能够设 ，或 ，或 。使用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母实行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.
2．双换元
例2分解因式：
.①
设 ,则方程①化为：
.②
解方程②,得
.
当 时,
.
解得, .
当 时,
.
此方程无解.
经检验,知 都是原方程的解.
所以,原方程的解为 .
5.解：原方程可化为：
.
即 .①
设 ,则方程①化为：
.
解得, .
当 时,
.②
解方程②,得
.
当 时,
.③
,
方程③无实数根.
所以,原方程的根为 .
6.解：设 ,则原方程组可化为：
二．名词释义
概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
经验：换元法，能够使用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，实行巧妙的换元，则能够收到事半功倍的效果，现举例说明.
由(2)得, .(3)
将(3)代入(1),得
.
解得, ( 不能为负,舍去).
∴ .
得
解得,
经检验,知 是原方程组的解.
所以,原方程组的解为 .
7.解：设 ,则
原式=
=
= .
8.解：由①，得 .
设 ，则 ， ，
代入②，得 .
∴ .
∴ ， .
∴原方程组的解是
9.解：设 ， .
原方程组可化为 解得
∴ 即 解得
∴原方程组的解为
10.解：设
原方程组可化为解得
∴，解得
11.解：由①可设 ， ，
即 ， ，代入②，得
∴ .
∴
∴原方程组的解为
12.解：方程的分母都含有
故可设，
然后整理可得，
解得中，
求出方程的解，并检验。
13.解：方程变形为
，
即，
方程可通过互为倒数关系换元：
设，然后整理得，
可解得，
解题方法及提分突破训练：换元法专题
一．真题链接
则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（）
A．x1=1，x2=3B．x1=-2，x2=3C．x1=-3，x2=-1D．x1=-1，x2=-2