实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)

实验09 数值微积分与方程数值求解

（第6章 MATLAB 数值计算）

一、实验目的

1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。

2. 掌握代数方程数值求解的方法。

3. 掌握常微分方程数值求解的方法。

二、实验内容

1. 求函数在指定点的数值导数

232()1

23,1,2,302

6x x x f x x x x x

==

程序及运行结果：

2. 用数值方法求定积分

(1) 22210

cos 4sin(2)1I t t dt π

=

++⎰

的近似值。

程序及运行结果：

《数学软件》课内实验

王平

(2) 222

1I dx x

π

=+⎰

程序及运行结果：

3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组

6525494133422139211

x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪

⎨

++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：

4. 求非齐次线性方程组的通解

123412341

2342736352249472

x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪

+++=⎨⎪+++=⎩

5. 求代数方程的数值解

(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。

程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：

(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。

23

sin ln 70

3210

50y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-

+=⎨⎪++-=⎩

6. 求函数在指定区间的极值

(1) 3cos log ()x

x x x x

f x e ++=在(0,1)内的最小值。

(2) 332

12112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。

7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线

22

50(0)0

'(0)0xd y dy

y dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪

=⎨⎪=⎪⎪⎩

程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：

令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：

'112'

21

12

5

1(0)0,(0)0

y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩

8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线

123213

312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1

y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨

=-⎪⎪===⎩

程序及运行结果：

三、实验提示

四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）

6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分

1. 数值差分与差商

对任意函数f(x)，假设h>0。

➢ 向前差分：()()()f x f x h f x ∆=+- ➢ 向后差分：()()()f x f x f x h ∇=--

➢ 中心差分：()(/2)(/2)f x f x h f x h δ=+-- 当步长h 充分小时，有

➢ 向前差商：()

'()f x f x h ∆≈

➢ 向后差商：()

'()f x f x h ∇≈

➢ 中心差商：()

'()f x f x h

δ≈

2. 数值微分的实现

MATLAB 没有提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff 。 ➢ DX=diff(X)：计算向量X 的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n -1。 ➢ DX=diff(X,n)：计算X 的n 阶向前差分。 例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。

➢ DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A 的n 阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列；dim=2，按行。

例6.18 （向前差分）求1~3阶差分p156

设x 由[0,2π]间均匀分布的10个点组成，求sin x 的1~3阶差分。

例6.19 （数值导数）3种方法求导p157

=+

()52

f x x

用不同的方法求f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f '(x)的图像。

6.2.2 数值积分 p157

1. 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法： ➢ 梯形法

➢ 辛普生(Simpson)•法

➢ 牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法 基本思想：

将整个积分区间[a ,b ]分成n 个子区间 [x i

, x i +1

]，i =1,2,…,n ，其中x 1

=a ，x n +1=b

这样求定积分问题就分解为求和问题。 2. 数值积分的实现

(1) 被积函数是一个解析式

调用格式： quad(fname,a,b,tol,trace)

quadl(fname,a,b,tol,trace)

➢ fname 是被积函数名。

➢ a 和b 分别是定积分的下限和上限。 ➢ tol 用来控制积分精度，默认tol=10-6

。

➢ trace 控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认trace=0。